Гіпотези Поллока

Гіпо́тези По́ллока — кілька гіпотез про фігурні числа, які висунув 1850 року британський математик-аматор, член Королівського товариства сер . Ці гіпотези можна розглядати як доповнення теореми Ферма про багатокутні числа, зокрема розширення теореми на випадок просторових фігурних чисел.

1. Гіпотеза 1: будь-яке натуральне число є сумою не більше ніж дев'яти кубічних чисел. Доведена на початку XX століття. Зазвичай достатньо семи кубів, але 15 чисел (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, послідовність A018889 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) вимагають восьми, а двом числам (23 і 239) потрібні всі дев'ять. Якщо, крім додавання, допускати віднімання, то достатньо і п'яти кубів (можливо, що навіть чотирьох, але це поки що не доведено).
2. Гіпотеза 2: будь-яке натуральне число є сумою не більше ніж одинадцяти . Досі не доведено і не спростовано.
3. Гіпотеза 3: будь-яке натуральне число є сумою не більше ніж п'яти тетраедричних чисел. Досі не доведено, хоча перевірено для всіх чисел, менших від 10 мільярдів. Виявлено 241 число, для яких чотирьох тетраедричних чисел недостатньо (17, 27, 33, 52, 73, …, послідовність A000797 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS), найпевніше, останнє з них дорівнює 343867.
4. Гіпотеза 4, узагальнювальна частина попередніх. Позначимо ${\displaystyle m}$ число вершин одного з п'яти правильних многогранників, а ${\displaystyle n}$ — число його граней (4, 6, 8, 12 або 20). Тоді кожне натуральне число є сумою не більше ніж ${\displaystyle m+1}$ фігурних чисел, відповідних цьому многограннику, тобто:

(${\displaystyle n=4}$, тетраедр) не більше 5 тетраедричних чисел;

(${\displaystyle n=6}$, октаедр) не більше 7 ;

(${\displaystyle n=8}$, куб) не більше 9 кубічних чисел;

(${\displaystyle n=12}$, ікосаедр) не більше 13 ікосаедричних чисел;

(${\displaystyle n=20}$, додекаедр) не більше 21 .

Цю гіпотезу досі не доведено й не спростовано.

Примітки

1. Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5 (7 July). — P. 922—924.
2. Деза Е., Деза М., 2016, с. 231—232, 239, 337.
3. . , Vol. II: Diophantine Analysis. — Dover, 2005. — С. 22—23. — .
4. . Архів оригіналу за 21 листопада 2021. Процитовано 21 листопада 2021.
5. Деза Е., Деза М., 2016, с. 231—232.
6. (2005), , , т. 2, New York: Dover, с. 22—23, архів оригіналу за 21 листопада 2021, процитовано 21 листопада 2021.
7. Weisstein, Eric W. Гіпотеза Поллока(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• Деза Е., ^[ru]. Фигурные числа. — М. : МЦНМО, 2016. — 349 с. — .

Посилання

• Pollock's Conjecture [ 21 листопада 2021 у Wayback Machine.] (англ.)