В історії математики словосполучення італійська школа алгебричної геометрії сточується робіт протягом більш ніж піввіков

В історії математики словосполучення італійська школа алгебричної геометрії сточується робіт протягом більш ніж піввікового періоду (розквіт припав приблизно на 1885—1935) вчених різних країн в галузі біраціональної геометрії, зокрема, теорії алгебричних поверхонь. Було приблизно 30—40 провідних математиків, які зробили найбільший внесок у цей напрям, з яких приблизно половина дійсно були італійцями. Лідерами цієї школи вважають римських математиків Гвідо Кастельнуово, Федеріго Енрікеса і Франческо Севері, роботи яких містили глибокі відкриття і визначили стиль наукової школи.

Алгебричні поверхні

Докладніше: Алгебрична поверхня

Особливу увагу до алгебричних поверхонь — алгебричних многовидів розмірності 2 — викликала побудова повної геометричної теорії алгебричних кривих (розмірності 1): близько 1870 з'ясовано, що теорія кривих разом з ^[en] тягне за собою теорему Рімана — Роха і всі її уточнення (через геометрію ^[en]).

була сміливою й успішною спробою повторити класифікацію кривих за їхнім родом g. Вона відповідає грубій класифікації: g= 0 (проєктивна пряма); g = 1 (еліптична крива); і g > 1 («кренделі» з незалежними голоморфними 1-формами). У випадку поверхонь класифікація Енрікеса була поділом на п'ять подібних великих класів, три з яких були аналогами класів кривих, а ще два — еліптичні розшарування і , як їх називають тепер — є разом з двовимірними абелевими многовидами «проміжною територією». Ця класифікація породила деяку кількість знакових ідей, які сучасною мовою комплексних многовидів сформулював Куніхіко Кодайра у 1950-х, і поліпшили, щоб включити явища, які виникають у простій характеристиці Оскар Зарицький, школа Шафаревича та інші близько 1960. Також отримано версію теореми Рімана — Роха для поверхонь.

Проблеми в основах

Деякі доведення, отримані в рамках італійської школи, нині не вважають задовільними з причин труднощів у основах цієї науки. Таким є, наприклад, часте використання італійськими математиками біраціональних реалізацій у розмірності три поверхонь, які мають неособливі реалізації тільки за вкладання в проєктивні простори вищої розмірності. Щоб обійти ці питання, розроблено витончені методи роботи з ^[en] (фактично, теорію ^[en] для гіперплоских перетинів можливих вкладень у проєктивні простори). Багато сучасних технік виявлено в зародковому вигляді, і в багатьох випадках виразне висловлення цих ідей перевищило технічні можливості мови.

Геометри

За Гверраджіо та Настасі (стор. 9, 2005) Луїджі Кремону «вважають засновником італійської школи алгебричної геометрії». Пізніше вони пояснюють, що в Турині співпраця Д'Овідіо і «привела зусиллями їх або їхніх учнів, італійську алгебричну геометрію до повної зрілості». Учень Сеґре, писав (1926, с. 269), що [Коррадо Сегре] «можна назвати батьком цієї чудової італійської школи, яка досягла настільки багато в біраціональній теорії алгебричних множин». Про це Бригалья і Чіліберто (2004) кажуть: «Сеґре очолював і просував вперед школу геометрії, яку Луїджі Кремона заснував 1860 року». За даними проєкту «Математична генеалогія» справжня плодючість школи почалася з Гвідо Кастельнуово і Федеріго Енрікеса. У США багатьох учнів виховав Оскар Зарицький.

Список математиків італійської школи включає також таких італійців: ^[ru], ^[en], Кампеделлі, , , , ^[ru], Франческо Севері, (також вагомий внесок зробили Джино Фано, Розаті, Тореллі, Джузеппе Веронезе).

В інших країнах у подібних галузях працювали і (Велика Британія), (США), і Шарль Еміль Пікар (Франція), (Бельгія), і Макс Нетер, а пізніше Еріх Келер (Німеччина), Ієронім Георг Цейтен (Данія), ^[ru] (Росія).

Ці люди працювали швидше в алгебричній геометрії, ніж у гонитві за проєктивною геометрією як синтетичною геометрією, яка в той період була величезного масштабу, але, з історичної точки зору, безперспективним напрямком досліджень.

Прихід топології

Нова алгебраїчна геометрія, спадкоємиця італійської школи, відрізнялася також інтенсивним використанням алгебричної топології. Основоположником цієї тенденції був Анрі Пуанкаре; у 1930-ті її розвинули Лефшец, Годж і . Сучасний синтез зблизив їхні роботи, а також школи Анрі Картана, ^[en] і Куніхіко Кодайри, з традиційним матеріалом.

Занепад школи

У ранні роки італійської школи, за Кастельнуово, стандарти строгості були в ній такими ж високими, як у всій іншій математиці. За Енрікеса стало вважатися допустимим використовувати більш неформальні аргументи, наприклад «принцип неперервності», який стверджує, що те, що справедливе аж до якоїсь межі, справедливе і за цієї межі — принцип, який не мав не те що строгого доведення, але навіть задовільного формулювання. Спочатку це не позначалося негативно, оскільки інтуїція Енрікеса була досить тонкою, щоб його твердження виявилися насправді істинними, і використання таких міркувань дозволило йому висувати дещо спекулятивні результати про алгебричні поверхні. На жаль, приблизно від 1930 і далі під керівництвом Севері стандарти строгості розмилися ще сильніше, аж до тієї міри, що результати виявлялися не просто недостатньо обґрунтованими, але навіть безнадійно хибними. Наприклад, 1934 року Севері заявив, що простір класів раціональної еквівалентності циклів на алгебричній поверхні скінченновимірний, але 1968 року Мамфорд показав, що це хибне для поверхонь додатного геометричного роду; або, наприклад, 1946 року Севері опублікував статтю, в якій проголосив доведення того, що поверхня степеня 6 у тривимірному просторі має не більше 52 особливих точок, але ^[en] має 65 особливих точок. Севері не погоджувався з неадекватністю своїх аргументів, що спричинило гострі суперечки щодо статусу деяких результатів.

До 1950 стало занадто складно говорити, які із заявлених результатів були коректними, і неформальна інтуїтивна школа алгебричної геометрії остаточно занепала через свої слабкі основи. Приблизно від 1950 по 1980 докладалися значущі зусилля до того, щоб урятувати від остаточного краху якомога більше тверджень, надавши їм строгого алгебричного стилю алгебраїчної геометрії, заснованої Вейлем і Зарицьким. Зокрема, в 1960-х Кодайра і Шафаревич з його учнями переписали алгебричних поверхонь більш строго, а також поширили її на всі компактні комплексні поверхні; у 1970-х Фултон і Макферсон поставили класичні обчислення теорії перетинів на строгий ґрунт.

Література

Babbit, Donald; Goodstein, Judith (August 2009), (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 56 (7): 800—808, MR 2546822, Zbl 05605682, архів оригіналу (PDF) за 4 липня 2021, процитовано 18 вересня 2021{{}}: Обслуговування CS1: Сторінки з Zbl, який містить тимчасовий ідентифікатор ().
Baker, H. F. (1926), Corrado Segre, Journal of the London Mathematical Society, 1 (4): 263—271, doi:10.1112/jlms/s1-1.4.263, JFM 52.0032.08, архів оригіналу за 15 квітня 2013, процитовано 18 вересня 2021.
Aldo Brigaglia (2001) «The creation and the persistence of national schools: The case of Italian algebraic geometry», Chapter 9 (pages 187—206) of Changing Images in Mathematics, Umberto Bottazzini and Amy Delmedico editors, Routledge.
Aldo Brigaglia & Ciro Ciliberto (2004) «Remarks on the relations between the Italian and American schools of algebraic geometry in the first decades of the 20th century», 31:310-19.
Coolidge, J. L. (May–June 1927), , Bulletin of the American Mathematical Society, 33 (3): 352—357, doi:10.1090/S0002-9904-1927-04373-7, JFM 53.0034.09, MR 1561376, архів оригіналу за 28 жовтня 2020, процитовано 18 вересня 2021.
Guerraggio, Angelo; Nastasi, Pietro (2005), Italian mathematics between the two World Wars, Science Networks. Historical Studies, т. 29, Birkhäuser Verlag, ISBN , MR 2188015
Mumford, David (1968), , Journal of Mathematics of Kyoto University, 9: 195—204, ISSN 0023-608X, MR 0249428, архів оригіналу за 10 січня 2021, процитовано 18 вересня 2021
Vesentini, Edoardo (2005), (PDF), Rendiconti di Matematica e delle sue applicazioni, 25 (2): 185—193, MR 2197882, Zbl 1093.01009, архів оригіналу (PDF) за 15 березня 2012, процитовано 18 вересня 2021.

Посилання

David Mumford. email about the errors of the Italian algebraic geometry school under Severi [ 6 червня 2010 у Wayback Machine.]
Kevin Buzzard. what mistakes did the Italian algebraic geometers actually make? [ 1 березня 2012 у Wayback Machine.]
A. Brigaglia, C. Ciliberto, & E. Sernesi. Geometria algebraica italiana [ 16 травня 2005 у Wayback Machine.] at University of Palermo.