Ізогональне спря́ження — геометричне перетворення, що отримується відображенням прямих, поєднуючих початкові точки з вершинами заданого трикутника відносно бісектрис кутів трикутника.
Означення
Точки і називаються ізогонально спряженими (застаріла назва — ізогональними) в трикутнику , якщо , , . Коректність цього означення можна довести через теорему Чеви в синусній формі, існує також чисто геометричне доведення коректності означення. Ізогональне спряження — перетворення, що ставить точці у відповідність ізогонально спряжену до неї. На всій площині окрім прямих, що містять сторони трикутника, ізогональне спряження є взаємно-однозначним відображенням.
Властивості
- Ізогональне спряження залишає на місці лише центри вписаного і зовнівписаних кіл.
- Точка, ізогонально спряжена точці на описаному колі — нескінченно віддалена. Напрямок, який задає ця точка, перпендикулярний прямій Сімсона цієї точки.
- Якщо точки , , симетричні точці відносно сторін трикутника, то центр описаного кола ізогонально спряжений до точки .
- Якщо в трикутник вписаний еліпс, то його фокуси ізогонально спряжені.
- Проєкції ізогонально спряжених точок на сторони лежать на одному колі (вірно і зворотне). Центр цього кола — середина відрізка між точками.
- Образ прямої при ізогональному спряженні — коніка, описана навколо трикутника.
- Якщо коніка ізогонально спряжена до прямої , то [en] всіх точок на будуть проходити через точку, ізогонально спряжену трилінійному полюсу .
Пари ізогонально спряжених точок
- Центр описаного кола та ортоцентр.
- Точка перетину медіан та точка Лемуана.
- Точки Брокара
- Точка Аполлонія та точка Ферма.
Координатний запис
В барицентричних координатах ізогональне спряження записується так:
- ,
де , , — довжини сторін трикутника. В трилінійних координатах його запис має форму:
- ,
тому вони зручні при роботі з ізогональним спряженням.
Див. також
Наслідки
- З ізогонального спряження можна вивести теорему Паскаля.
Примітки
- Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Izogonalne sprya zhennya geometrichne peretvorennya sho otrimuyetsya vidobrazhennyam pryamih poyednuyuchih pochatkovi tochki z vershinami zadanogo trikutnika vidnosno bisektris kutiv trikutnika Tochki P displaystyle P ta P displaystyle P izogonalno spryazheniPeretvorennya nad tochkami vseredini trikutnikaOznachennyaTochki P displaystyle P i P displaystyle P nazivayutsya izogonalno spryazhenimi zastarila nazva izogonalnimi v trikutniku ABC displaystyle triangle ABC yaksho ABP CBP displaystyle angle ABP angle CBP BAP CAP displaystyle angle BAP angle CAP BCP ACP displaystyle angle BCP angle ACP Korektnist cogo oznachennya mozhna dovesti cherez teoremu Chevi v sinusnij formi isnuye takozh chisto geometrichne dovedennya korektnosti oznachennya Izogonalne spryazhennya peretvorennya sho stavit tochci u vidpovidnist izogonalno spryazhenu do neyi Na vsij ploshini okrim pryamih sho mistyat storoni trikutnika izogonalne spryazhennya ye vzayemno odnoznachnim vidobrazhennyam VlastivostiIzogonalne spryazhennya zalishaye na misci lishe centri vpisanogo i zovnivpisanih kil Tochka izogonalno spryazhena tochci na opisanomu koli neskinchenno viddalena Napryamok yakij zadaye cya tochka perpendikulyarnij pryamij Simsona ciyeyi tochki Yaksho tochki Pa displaystyle P a Pb displaystyle P b Pc displaystyle P c simetrichni tochci P displaystyle P vidnosno storin trikutnika to centr opisanogo kola PaPbPc displaystyle P a P b P c izogonalno spryazhenij do tochki P displaystyle P Yaksho v trikutnik vpisanij elips to jogo fokusi izogonalno spryazheni Proyekciyi izogonalno spryazhenih tochok na storoni lezhat na odnomu koli virno i zvorotne Centr cogo kola seredina vidrizka mizh tochkami Obraz pryamoyi pri izogonalnomu spryazhenni konika opisana navkolo trikutnika Yaksho konika a displaystyle alpha izogonalno spryazhena do pryamoyi l displaystyle l to en vsih tochok na a displaystyle alpha budut prohoditi cherez tochku izogonalno spryazhenu trilinijnomu polyusu l displaystyle l Pari izogonalno spryazhenih tochokCentr opisanogo kola ta ortocentr Tochka peretinu median ta tochka Lemuana Tochki Brokara Tochka Apolloniya ta tochka Ferma Koordinatnij zapisV baricentrichnih koordinatah izogonalne spryazhennya zapisuyetsya tak x y z a2x b2y c2z displaystyle x y z mapsto left frac a 2 x frac b 2 y frac c 2 z right de a displaystyle a b displaystyle b c displaystyle c dovzhini storin trikutnika V trilinijnih koordinatah jogo zapis maye formu x y z 1x 1y 1z displaystyle x y z mapsto frac 1 x frac 1 y frac 1 z tomu voni zruchni pri roboti z izogonalnim spryazhennyam Div takozhIzotomichne spryazhennyaNaslidkiZ izogonalnogo spryazhennya mozhna vivesti teoremu Paskalya PrimitkiD Efremov Novaya geometriya treugolnika Odessa 1902