Ідемпотентність (лат. idem — такий самий, лат. potens — сильний) — властивість унарних та бінарних операцій в алгебрі та логіці. Термін «ідемпотентність» означає властивість, яка проявляється в тому, що повторна її дія над будь-яким об'єктом уже не змінює результату. Тобто повторне виконання операцій з об'єктом не змінює результату, досягнутого при першому виконанні. Термін запропонував американський математик Бенджамін Пірс в статтях 1870-х років.
Ідемпотентність | |
Досліджується в | теорія категорій |
---|---|
Підтримується Вікіпроєктом |
Визначення
- Унарна операція чи функція називається ідемпотентною, якщо її застосування двічі до будь-якого значення аргументу дає таке ж значення, як і застосування один раз:
- Бінарна операція називається ідемпотентною, якщо для довільного елемента виконується:
Закон ідемпотентності кон'юнкції та диз'юнкції
Закон ідемпотентності — це закон математичної логіки, по якому з логіки виключаються коефіцієнти і показники ступенів.
Закон ідемпотентності можна отримати з закону поглинання, з використанням закону дистрибутивності:
Так логічне множення двох висловлювань рівносильне , тобто: і читається так « і рівносильне ».
Закон ідемпотентності відносно диз'юнкції виводиться безпосередньо із закону нуля та одиниці:
Логічне додавання двох висловлювань , рівносильне , тобто: і читається так « або рівносильне ».
Формулювання закону: повторення висловлювання через «і» та «або» рівносильне самому висловлюванню. Наприклад, «Марс — планета і Марс — планета» є те ж саме, що «Марс — планета»; « Сонце — зірка або Сонце — зірка» те ж саме, що «Сонце — зірка».
Наслідки ідемпотентності кон'юнкції та диз'юнкції
- Наслідками ідемпотентності диз'юнкції є рівність
- Наслідками ідемпотентності кон'юнкції є рівність А = АА = ААА = АААА =…
В алгебрі логіки можна обходитися без степенів. Всі «степені» висловлення А рівні самому А (звідси літерний сенс слова «ідемпотентність»).
Приклади ідемпотентних операцій
- Об'єднання і перетин множин є ідемпотентними бінарними операціями.
- Операції булевої алгебри: кон'юнкція та диз'юнкція є ідемпотентними бінарними операціями.
- Бінарні операції є ідемпотентними.
- Операція проектування (знаходження проєкції) є ідемпотентною унарною операцією.
- Звернемо увагу на те, що одну і ту ж імпліканту можна склеїти з іншими імплікантами багаторазово, так як в логіці діє закон ідемпотентності:
тому будь-яку константу можна розмножити
- Розглянемо алгебру множин (алгебру Кантора, алгебру класів)
Носієм якої є булеан універсальної множини 1, сигнатурою — операції об'єднання , перетину та доповнення . Закон ідемпотентності об'єднання та перетину виконується для операції алгебри Кантора:
- Ідемпотентна операція в інформатиці — дія, багаторазове повторення якої призводить до тих же змін, що й при одноразовому.
Прикладом такої операції можуть служити GET- запити в протоколі HTTP. По специфікації сервер повинен повертати одні й ті ж відповіді на ідентичні запити (за умови що ресурс не змінився між ними з інших причин). Така особливість дозволяє кешувати відповіді, знижуючи навантаження на мережу
Елемент
- Ідемпотентний елемент в алгебрі — елемент напівгрупи, що зберігається при піднесення до степеня.
Варіант: Ідемпотентний елемент — елемент напівгрупи або кільця, рівний своєму квадрату: .
- Ідемпотентний елемент містить ідемпотентний елемент (позначається ), якщо .
- Для асоціативних кілець і напівгруп відношення є відношенням часткового порядку в множині ідемпотентних елементів і називається природним частковим порядком на множині .
- Два ідемпотентних елемента та кільця називаються ортогональними, якщо .
Прикладні приклади
Прикладні приклади, з якими багато людей змогло зіткнутися в їх щоденному житті, включаючи кнопки виклику ліфта і кнопки переходу. Початкова активація кнопки переміщає систему в очікування. Подальші активації кнопки між початковою активацією і запитом, що задовольняється, не мають ніякого ефекту.
Лінійний оператор
Ідемпотентний лінійний оператор — те саме, що і .
Для простору нескінченної розмірності
де σ — спектр A, а P — (ідемпотентний оператор).
Див. також
Література
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет