Закон нуля і одиниці

Зако́н нуля́ чи одиниці — твердження в теорії ймовірностей про те, що всяка остаточна подія, тобто подія настання якої визначається лише скільки завгодно віддаленими елементами послідовності незалежних випадкових подій або випадкових величин, має ймовірність нуль або одиниця.

Формулювання

Нехай дано ймовірнісний простір ${\displaystyle (\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )}$ і визначена на ньому послідовність незалежних випадкових подій ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$. Нехай ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$ — її . Тоді якщо ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{\infty }}$, то ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=0}$ або ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=1}$.

Приклад

Нехай ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ послідовність незалежних випадкових величин. Тоді ряд

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}}$

є збіжним або розбіжним майже напевно.

Див. також

• Лема Бореля — Кантеллі;
• Теорема про нескінчених мавп.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)