Лема Бореля — Кантеллі

Ле́ма Боре́ля — Канте́ллі в теорії ймовірностей — це результат, що виражає властивості нескінченної множини подій. Використовується зокрема при доведенні сильного закону великих чисел. Як правило подаються дві леми, хоча іноді лемою Бореля — Кантеллі називають лише першу з них.

Перша лема

Нехай задано ймовірнісний простір ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ і послідовність подій ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}$. Позначимо

${\displaystyle A=\limsup \limits _{n\to \infty }A_{n}\equiv \bigcap \limits _{m=1}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{n=m}^{\infty }A_{n}\right)}$.

Тоді якщо ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)}$ є збіжним, то ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=0}$.

Доведення

Спершу зазначимо, що ${\displaystyle \limsup \limits _{n\to \infty }A_{n}\subset \bigcup \limits _{n=m}^{\infty }A_{n}}$. Тому згідно з властивостями ймовірності маємо для усіх k:

${\displaystyle P\left(\limsup \limits _{n\to \infty }A_{n}\right)\leq P\left(\bigcup \limits _{n=m}^{\infty }A_{n}\right)\leq \sum \limits _{n=m}^{\infty }P\left(A_{n}\right)\rightarrow 0}$.

Остання границя пояснюється тим, що сума залишкових членів збіжного ряду ряду прямує до нуля. З виведених нерівностей одержуємо твердження теореми.

Друга лема

Якщо всі події ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ сумісно незалежні, і ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)}$ є розбіжним, то ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=1}$.

Доведення

Достатньо довести, що для всіх k виконується:

${\displaystyle P\left(\bigcup \limits _{n=k}^{\infty }A_{n}\right)=1}$

Справді ймовірність перетину тоді теж буде рівною одиниці.

Отже зафіксуємо k і розглянемо часткове об'єднання до деякого m > k

Оскільки доповнення незалежних подій теж є незалежними, маємо

${\displaystyle P\left(\bigcap \limits _{n=k}^{m}A_{n}^{c}\right)=\prod \limits _{n=k}^{m}P(A_{n}^{c})=\prod _{n=k}^{m}\left(1-P\left(A_{n}\right)\right)}$

Зважаючи, що ${\displaystyle 1-x\leq e^{-x}}$ маємо

${\displaystyle \prod _{n=k}^{m}\left(1-P\left(A_{n}\right)\right)\leq \prod _{n=k}^{m}e^{-P(A_{n})}=\exp(-\sum \limits _{n=k}^{m}P(A_{n}))}$

Останній вираз згідно з припущенням леми прямує до нуля при ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$ тому:

${\displaystyle P\left(\bigcap \limits _{n=k}^{m}A_{n}^{c}\right)\rightarrow 0}$

Однак виконується

${\displaystyle P\left(\bigcap \limits _{n=k}^{m}A_{n}^{c}\right)=P\left(\Omega \setminus \bigcup \limits _{n=k}^{m}A_{n}\right)=1-P\left(\bigcup \limits _{n=k}^{m}A_{n}\right)}$

звідки при ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$ отримаємо бажаний результат.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Verlag 2004