Коло дев'яти точок, або коло Ейлера, проходить через дев'ять важливих точок трикутника — середини сторін, основи трьох висот і середини відрізків, що з'єднують ортоцентр з вершинами трикутника. Центр цього кола вказаний як точка X(5) в енциклопедії центрів трикутника [ru].
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWhMMkUwTDA5eWRHOWpaVzUwWlhKZllXNWtYMk5wY21OMWJXTnBjbU5zWlM1emRtY3ZNakl3Y0hndFQzSjBiMk5sYm5SbGNsOWhibVJmWTJseVkzVnRZMmx5WTJ4bExuTjJaeTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Властивості
- Центр кола дев'яти точок
лежить на прямій Ейлера трикутника посередині між ортоцентром
і центром описаного кола
. Центроїд
також лежить на цій лінії на відстані 2/3 від ортоцентра до центра описаного кола, так, що
Таким чином, якщо пара з цих чотирьох центрів відома, положення двох інших легко знайти.
- [en] 1984 року, досліджуючи задачу, нині відому як задача визначення трикутника Ейлера, показав, що якщо положення цих центрів для невідомого трикутника задано, то інцентр трикутника лежить всередині [en] (кола, діаметром якого є відрізок між центроїдом і ортоцентром). Тільки одна точка всередині цього кола не може бути центром вписаного кола — це центр дев'яти точок. Будь-яка інша точка всередині цього кола визначає єдиний трикутник.
- Відстань від центра кола дев'яти точок до інцентра
задовольняє формулам:
де і
— радіуси описаного і вписаного кіл відповідно.
- Центр кола дев'яти точок є центром описаного кола серединного трикутника, ортотрикутника і трикутника Ейлера. Загалом, ця точка є центром описаного кола трикутника, який має вершинами будь-які три з дев'яти перерахованих точок.
- Центр кола дев'яти точок збігається з центроїдом чотирьох точок — трьох точок трикутника і його ортоцентра.
- З дев'яти точок на колі Ейлера три є серединами відрізків, що з'єднують вершини з ортоцентром (вершини трикутника Ейлера — Феєрбаха). Ці три точки є відображеннями середин сторін трикутника відносно центра кола дев'яти точок.
- Таким чином, центр кола дев'яти точок є центром симетрії, що переводить серединний трикутник у трикутник Ейлера — Феєрбаха (і навпаки).
- За теоремою Лестер центр кола дев'яти точок лежить на одному колі з трьома іншими точками — двома точками Ферма і центром описаного кола.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkptTDB0dmMyNXBkR0ZmY0c5cGJuUXVjM1puTHpRd01IQjRMVXR2YzI1cGRHRmZjRzlwYm5RdWMzWm5MbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
- Точка Косніти трикутника, пов'язана з , ізогонально спряжена центру кола дев'яти точок. (див. рис.)
- Пряма
, що проходить через дві точки Вектена
і
, перетинає пряму Ейлера у центрі дев'яти точок трикутника
.
Координати
Трилінійні координати центра кола дев'яти точок рівні:
Барицентричні координати центра рівні:
Примітки
- Kimberling, 1994, с. 163–187.
- Encyclopedia of Triangle Centers [ 24 листопада 2015 у Wayback Machine.], accessed 2014-10-23.
- Dekov, 2007.
- Stern, 2007, с. 1–9.
- Euler, 1767, с. 103–123.
- Guinand, 1984, с. 290–300.
- Franzsen, 2011, с. 231—236.
- Тут не слід плутати трикутник Ейлера з теорії чисел (на зразок трикутника Паскаля) і трикутник Ейлера як трикутник, утворений точками Ейлера. Точки Ейлера — це середини відрізків, що з'єднують ортоцентр із вершинами трикутника.
- Енциклопедія центрів трикутника приписує це спостереження Ренді Гатсону (Randy Hutson, 2011).
- Yiu, 2010, с. 175–209.
- Rigby, 1997, с. 156–158.
Література
- Kimberling. Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle // Mathematics Magazine. — 1994. — Т. 67, вип. 3 (4 липня).
- Stern. Euler’s triangle determination problem // Forum Geometricorum. — 2007. — Т. 7 (4 липня). з джерела 26 жовтня 2021. Процитовано 26 жовтня 2021.
- Dekov. Nine-point center // Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. — 2007. — 4 липня.
- Euler. Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. — 1767. — Т. 11 (4 липня). з джерела 22 жовтня 2021. Процитовано 26 жовтня 2021.
- Andrew P. Guinand. Euler lines, tritangent centers, and their triangles // The American Mathematical Monthly. — 1984. — Т. 91, вип. 5 (4 липня).
- William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Вип. 11 (4 липня). з джерела 22 жовтня 2021. Процитовано 26 жовтня 2021.
- Paul Yiu. The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10 (4 липня).
- Rigby. Brief notes on some forgotten geometrical theorems // Mathematics and Informatics Quarterly. — 1997. — Т. 7 (4 липня).
Посилання
- Weisstein, Eric W. Центр кола 9 точок(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.