Коло дев’яти точок — це коло, яке можна побудувати для будь-якого трикутника. Така назва через те, що воно проходить через дев’ять важливих точок, шість з яких лежать на самому трикутнику (за винятком тупокутних трикутників). Ці точки:
- Середина кожної сторони трикутника;
- Основа кожної висоти;
- Середини відрізків, що сполучають вершини трикутника з ортоцентром.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelZtTDFSeWFXRnVaMnhsTGs1cGJtVlFiMmx1ZEVOcGNtTnNaUzV6ZG1jdk1qQXdjSGd0VkhKcFlXNW5iR1V1VG1sdVpWQnZhVzUwUTJseVkyeGxMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
Коло дев’яти точок також відоме як коло Феєрбаха або коло Ейлера.
Доведення теореми про Коло 9 точок
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlF4THlWRU1DVTVRU1ZFTUNWQ1JTVkVNQ1ZDUWlWRU1DVkNSVjhsUkRBbE9UVWxSREFsUWprbFJEQWxRa0lsUkRBbFFqVWxSREVsT0RBbFJEQWxRakF1Y0c1bkx6SXlNSEI0TFNWRU1DVTVRU1ZFTUNWQ1JTVkVNQ1ZDUWlWRU1DVkNSVjhsUkRBbE9UVWxSREFsUWprbFJEQWxRa0lsUkRBbFFqVWxSREVsT0RBbFJEQWxRakF1Y0c1bi5wbmc=.png)
Доведемо тепер, що точки — основи висот, — , середини відрізків, що сполучають ортоцентр та вершини трикутника, —
та основи медіан —
лежать на одному колі (рис. 2). З'єднаємо точки
та
,
та
,
та
,
та
. Отримаємо паралелограм
, тому що
— серединна лінія в трикутнику
, тобто відрізок
паралельний
.
— серединна лінія в трикутнику
, звідки випливає, що
паралельний
. Аналогічним чином доводиться, що
паралельний
, але також паралельний висоті
, тоді
, звідки випливає, що
. Тому паралелограм є прямокутником. Тепер з'єднаємо точки
та
,
та
,
та
,
та
. Так само отримаємо, що
— прямокутник. У цих прямокутниках дві спільні вершини, тому ці прямокутники лежать на одному колі, бо в них спільний діаметр. Ми довели, що середини відрізків, отриманих сполученням ортоцентра та вершин трикутника, та основи медіан, належать одному колу. Зараз доведемо, що основи висот також належать цьому колу.
та спирається на діаметр (бо діагоналі в прямокутниках є діаметрами кола, що описане навколо прямокутника) кола, утвореного з середин відрізків, отриманих сполученням ортоцентра та вершин трикутника, і основ медіан, тобто точка
лежить на колі. Аналогічним чином можна довести, що основи висот
i
також належать цьому колу.
Теорема Феєрбаха
Теорема Феєрбаха стверджує, що
Коло дев'яти точок довільного трикутника дотикається до вписаного кола і всіх трьох зовнівписаних кіл цього трикутника. |
Ця теорема була сформульована і доведена в 1822-у році.
Посилання
- Weisstein, Eric W. Коло дев’яти точок(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
В іншому мовному розділі є повніша стаття Nine-point circle(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської.
|
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kolo dev yati tochok ce kolo yake mozhna pobuduvati dlya bud yakogo trikutnika Taka nazva cherez te sho vono prohodit cherez dev yat vazhlivih tochok shist z yakih lezhat na samomu trikutniku za vinyatkom tupokutnih trikutnikiv Ci tochki Seredina kozhnoyi storoni trikutnika Osnova kozhnoyi visoti Seredini vidrizkiv sho spoluchayut vershini trikutnika z ortocentrom Dev yat tochok Kolo dev yati tochok takozh vidome yak kolo Feyerbaha abo kolo Ejlera Dovedennya teoremi pro Kolo 9 tochokMalyunok 2 Dovedemo teper sho tochki osnovi visot H1 H2 H3 displaystyle H 1 H 2 H 3 seredini vidrizkiv sho spoluchayut ortocentr ta vershini trikutnika A B C displaystyle A B C ta osnovi median M1 M2 M3 displaystyle M 1 M 2 M 3 lezhat na odnomu koli ris 2 Z yednayemo tochki M2 displaystyle M 2 ta A displaystyle A M2 displaystyle M 2 ta M1 displaystyle M 1 M1 displaystyle M 1 ta B displaystyle B B displaystyle B ta A displaystyle A Otrimayemo paralelogram M2A B M1 displaystyle M 2 A B M 1 tomu sho A B displaystyle A B seredinna liniya v trikutniku ABH displaystyle ABH tobto vidrizok A B displaystyle A B paralelnijAB displaystyle AB M1M2 displaystyle M 1 M 2 seredinna liniya v trikutniku ABC displaystyle ABC zvidki viplivaye sho A B displaystyle A B paralelnij M1M2 displaystyle M 1 M 2 Analogichnim chinom dovoditsya sho A M2 displaystyle A M 2 paralelnij B M1 displaystyle B M 1 ale takozh paralelnij visoti CH3 displaystyle CH 3 todi M2C B 90 displaystyle angle M 2 C B 90 circ zvidki viplivaye sho B M1M2 90 displaystyle angle B M 1 M 2 90 circ Tomu paralelogram ye pryamokutnikom Teper z yednayemo tochki M2 displaystyle M 2 ta C displaystyle C C displaystyle C ta B displaystyle B B displaystyle B ta M3 displaystyle M 3 M3 displaystyle M 3 ta M2 displaystyle M 2 Tak samo otrimayemo sho M2B C M3 displaystyle M 2 B C M 3 pryamokutnik U cih pryamokutnikah dvi spilni vershini tomu ci pryamokutniki lezhat na odnomu koli bo v nih spilnij diametr Mi doveli sho seredini vidrizkiv otrimanih spoluchennyam ortocentra ta vershin trikutnika ta osnovi median nalezhat odnomu kolu Zaraz dovedemo sho osnovi visot takozh nalezhat comu kolu A H1M1 90 displaystyle angle A H 1 M 1 90 circ ta spirayetsya na diametr bo diagonali v pryamokutnikah ye diametrami kola sho opisane navkolo pryamokutnika kola utvorenogo z seredin vidrizkiv otrimanih spoluchennyam ortocentra ta vershin trikutnika i osnov median tobto tochka H1 displaystyle H 1 lezhit na koli Analogichnim chinom mozhna dovesti sho osnovi visot H2 displaystyle H 2 i H3 displaystyle H 3 takozh nalezhat comu kolu Teorema FeyerbahaTeorema Feyerbaha stverdzhuye sho Kolo dev yati tochok dovilnogo trikutnika dotikayetsya do vpisanogo kola i vsih troh zovnivpisanih kil cogo trikutnika Cya teorema bula sformulovana i dovedena v 1822 u roci PosilannyaWeisstein Eric W Kolo dev yati tochok angl na sajti Wolfram MathWorld V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Nine point circle angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad