Центроїд трикутника (також барицентр трикутника і центр ваги трикутника) — точка перетину медіан у трикутнику .
Центроїд традиційно позначається латинською буквою . Центроїд трикутника належить до чудових точок трикутника і його згадано в енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга, як точку X(2).
Властивості
- Центроїд ділить кожну медіану у відношенні 2:1, починаючи від вершини.
- Центроїд лежить на відрізку, що з'єднує ортоцентр і центр описаного кола, і ділить його у відношенні 2:1 (див. лінія Ейлера).
- Якщо у вершинах трикутника помістити рівні маси, то центр мас (барицентр) отриманої системи буде збігатися з центроїдом. Більш того, центр мас трикутника з рівномірно розподіленою масою також міститься у центроїді.
- Якщо
— центроїд трикутника
то для будь-якої точки
справджується рівність
.
- Центроїд є точкою, для якої сума квадратів відстаней до вершин трикутника набуває найменшого значення (теорема Лейбніца).
- Три відрізки прямих, що з'єднують вершини трикутника з центроїдом, розбивають цей трикутник на три рівновеликих трикутники (з рівними площами).
- Три відрізки прямих, що з'єднують середини сторін трикутника з центроїдом, розбивають цей трикутник на три рівновеликих чотирикутники (з рівними площами).
- При ізогональному сполученні центроїд переходить у точку Лемуана (в точку перетину трьох симедіан трикутника).
- Побудуємо дві прямі, кожна з яких проходить через точку Аполлонія і точку Торрічеллі, що не збігається з ізогонально спряженою їй. Такі прямі перетнуться в центроїді трикутника.
- Нехай
— трикутник на площині. Коло, що проходить через центроїд і дві точки Аполлонія трикутника
, називається колом Паррі трикутника
.
- Три чевіани, проведені через довільну точку
всередині трикутника, ділять своїми кінцями сторони трикутника на шість відрізків. Добуток довжин трьох із шести відрізків, які не мають спільних кінців, максимальний, якщо точка
збігається з центроїдом.
- Сума квадратів сторін трикутника дорівнює потроєній сумі квадратів відстаней від центроїда до вершин:
.
- Нехай
,
і
— відстані від центроїда до сторін з довжинами, які відповідно дорівнюють
,
і
. Тоді
- і
,
- де
— площа трикутника.
Історія
Факт того, що три медіани перетинаються в одній точці, довів ще Архімед.
Варіації й узагальнення. Центроїди в чотирикутнику
- Центроїд (барицентр або центр мас) довільного чотирикутника лежить у точці перетину середніх ліній чотирикутника і відрізка, що з'єднує середини діагоналей, і ділить всі три відрізки навпіл.
- В опуклого чотирикутника, вписаного в коло, «центроїд площі» або центр мас його площі Ga, вершинний центроїд або центр мас чотирьох його вершин Gv і точка перетину його діагоналей P колінеарні. Відстані між цими точками задає формула
Див. також
Примітки
- Е. Смирнова. [1] — Litres, 2017-09-05. — С. 165. з джерела 8 травня 2021
- Зетель, 1962.
- Altshiller-Court, (1925, с. 70—71)
- Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007
- Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), , Mathematical Olympiad Treasures, Springer, с. 44—46, 50, ISBN , MR 2025063, архів оригіналу за 8 травня 2021, процитовано 8 травня 2021
- Bradley, Christopher (2011), (PDF), архів оригіналу (PDF) за 17 січня 2021, процитовано 8 травня 2021
Література
- [ru] Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 80-81. — ISBN 5-94057-170-0.
- Дм. Ефремов. 1902 год
- Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М: Учпедгиз, 1962. 153 с.
- Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (вид. 2nd), New York: , LCCN 52013504
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Centroyid trikutnika takozh baricentr trikutnika i centr vagi trikutnika tochka peretinu median u trikutniku Centroyid tradicijno poznachayetsya latinskoyu bukvoyu M displaystyle M Centroyid trikutnika nalezhit do chudovih tochok trikutnika i jogo zgadano v enciklopediyi centriv trikutnika Klarka Kimberlinga yak tochku X 2 VlastivostiCentroyid dilit kozhnu medianu u vidnoshenni 2 1 pochinayuchi vid vershini Centroyid lezhit na vidrizku sho z yednuye ortocentr i centr opisanogo kola i dilit jogo u vidnoshenni 2 1 div liniya Ejlera Yaksho u vershinah trikutnika pomistiti rivni masi to centr mas baricentr otrimanoyi sistemi bude zbigatisya z centroyidom Bilsh togo centr mas trikutnika z rivnomirno rozpodilenoyu masoyu takozh mistitsya u centroyidi Yaksho M displaystyle M centroyid trikutnika ABC displaystyle ABC to dlya bud yakoyi tochki O displaystyle O spravdzhuyetsya rivnist OM 13 OA OB OC displaystyle overrightarrow OM frac 1 3 overrightarrow OA overrightarrow OB overrightarrow OC Centroyid ye tochkoyu dlya yakoyi suma kvadrativ vidstanej do vershin trikutnika nabuvaye najmenshogo znachennya teorema Lejbnica Tri vidrizki pryamih sho z yednuyut vershini trikutnika z centroyidom rozbivayut cej trikutnik na tri rivnovelikih trikutniki z rivnimi ploshami Tri vidrizki pryamih sho z yednuyut seredini storin trikutnika z centroyidom rozbivayut cej trikutnik na tri rivnovelikih chotirikutniki z rivnimi ploshami Pri izogonalnomu spoluchenni centroyid perehodit u tochku Lemuana v tochku peretinu troh simedian trikutnika Pobuduyemo dvi pryami kozhna z yakih prohodit cherez tochku Apolloniya i tochku Torrichelli sho ne zbigayetsya z izogonalno spryazhenoyu yij Taki pryami peretnutsya v centroyidi trikutnika Nehaj ABC displaystyle ABC trikutnik na ploshini Kolo sho prohodit cherez centroyid i dvi tochki Apolloniya trikutnika ABC displaystyle ABC nazivayetsya kolom Parri trikutnika ABC displaystyle ABC Tri cheviani provedeni cherez dovilnu tochku O displaystyle O vseredini trikutnika dilyat svoyimi kincyami storoni trikutnika na shist vidrizkiv Dobutok dovzhin troh iz shesti vidrizkiv yaki ne mayut spilnih kinciv maksimalnij yaksho tochka O displaystyle O zbigayetsya z centroyidom Suma kvadrativ storin trikutnika dorivnyuye potroyenij sumi kvadrativ vidstanej vid centroyida do vershin AB2 BC2 CA2 3 GA2 GB2 GC2 displaystyle AB 2 BC 2 CA 2 3 GA 2 GB 2 GC 2 Nehaj qa displaystyle q a qb displaystyle q b i qc displaystyle q c vidstani vid centroyida do storin z dovzhinami yaki vidpovidno dorivnyuyut a displaystyle a b displaystyle b i c displaystyle c Todi 173qaqb ba qbqc cb qaqc ca displaystyle frac q a q b frac b a quad frac q b q c frac c b quad frac q a q c frac c a i qa a qb b qc c 23S displaystyle q a cdot a q b cdot b q c cdot c frac 2 3 S de S displaystyle S plosha trikutnika IstoriyaFakt togo sho tri mediani peretinayutsya v odnij tochci doviv she Arhimed Variaciyi j uzagalnennya Centroyidi v chotirikutnikuCentroyid baricentr abo centr mas dovilnogo chotirikutnika lezhit u tochci peretinu serednih linij chotirikutnika i vidrizka sho z yednuye seredini diagonalej i dilit vsi tri vidrizki navpil V opuklogo chotirikutnika vpisanogo v kolo centroyid ploshi abo centr mas jogo ploshi Ga vershinnij centroyid abo centr mas chotiroh jogo vershin Gv i tochka peretinu jogo diagonalej P kolinearni Vidstani mizh cimi tochkami zadaye formulaPGa 43PGv displaystyle PG a tfrac 4 3 PG v Div takozhCentr inerciyi Ortocentr Incentr Chudovi tochki trikutnikaPrimitkiE Smirnova 1 Litres 2017 09 05 S 165 z dzherela 8 travnya 2021 Zetel 1962 Altshiller Court 1925 s 70 71 Johnson Roger A Advanced Euclidean Geometry Dover Publ Co 2007 Andreescu Titu Enescu Bogdan 2004 Mathematical Olympiad Treasures Springer s 44 46 50 ISBN 978 0 8176 4305 8 MR 2025063 arhiv originalu za 8 travnya 2021 procitovano 8 travnya 2021 Bradley Christopher 2011 PDF arhiv originalu PDF za 17 sichnya 2021 procitovano 8 travnya 2021Literatura ru Elementarnaya geometriya V 2 t M MCNMO 2004 S 80 81 ISBN 5 94057 170 0 Dm Efremov 1902 god Zetel S I Novaya geometriya treugolnika Posobie dlya uchitelej 2 e izdanie M Uchpedgiz 1962 153 s Altshiller Court Nathan 1925 College Geometry An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle vid 2nd New York Barnes amp Noble LCCN 52013504