Фундаментальною групою в алгебраїчній топології і пов'язаних з нею галузях математики, називається алгебраїчний об'єкт, який зіставляється топологічному простору і вимірює, грубо кажучи, кількість дірок у ньому. Наявність дірки визначається неможливістю неперервно стягнути деяку замкнуту петлю в точці. Фундаментальна група є першою (гомотопічною групою).
Означення
Нехай — топологічний простір, і
— точка в
, яку називатимемо відміченою. Розглянемо множину неперервних відображень
, таких що
. Такі функції називаються петлями в точці
.
- Дві петлі
і
вважаються еквівалентними, якщо вони гомотопні одна одній. Відповідні класи еквівалентності називаються гомотопічними класами.
- Добутком двох петель називається петля, що визначається їх послідовним проходженням:
- Оберненою до петлі
є петля
для
. Одиничною петлею буде
для кожного
.
Добутком двох гомотопічних класів і
називається гомотопічний клас
добутку петель. Множина гомотопічних класів петель з таким добутком стає групою. Одиницею групи є клас тотожної, або нерухомої петлі, оберненим елементом — клас петлі, пройденої у зворотному напрямі. Ця група і називається фундаментальною групою простору
з відміченою точкою
і позначається
.
Усі подані вище означення мають сенс оскільки виконується:
- Якщо
і
, то
.
- Для
виконується
.
- Для довільної петлі
існує
і
.
Якщо — простір, то з точністю до ізоморфізму фундаментальна група не залежить від відміченої точки. Тому для таких просторів можна писати
замість
не боячись викликати плутанину.
Приклади
- У
, є тільки один гомотопічний клас петель. Отже, фундаментальна група тривіальна, тобто
.
- Одновимірні сфери
(кола). Кожен гомотопічний клас складається з петель, які навиваються на коло задану кількість разів, яка може бути додатною або від'ємною залежно від напряму. Отже, фундаментальна група одновимірної сфери ізоморфна
.
- Фундаментальна група орієнтованої замкнутої поверхні роду
може бути задана твірними
з єдиним співвідношенням:
.
- Фундаментальною групою графу «вісімки» є вільна група з двома породжувальними елементами.
Властивості
- Вільні групи і лише вони можуть бути реалізовані як фундаментальні групи графів.
- Довільна група може бути реалізована як фундаментальна група двовимірного клітинного комплексу.
- Довільна може бути реалізована як фундаментальна група замкнутого 4-вимірного многовиду.
Посилання
- Фундаментальна група на сайті PlanetMath
Див. також
- (Фундаментальна область)
- Залишково скінченна група
Література
- Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967)
- Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет