Трактриса (від лат. trahere — тягнути) крива, по якій рухається об'єкт, якщо його тягнути по [en] за мотузку фіксованої довжини, якщо напрямок руху тягача є ортогональним до початкового положення мотузки та швидкість тягача нескінченно мала величина. Тому трактриса буде кривою погоні.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkl6TDFSeVlXTjBjbWw0TG5OMlp5OHhPREJ3ZUMxVWNtRmpkSEpwZUM1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
З геометричної точки зору трактрису визначають як трансцендентну криву, для якої довжина відрізка дотичної від точки дотику до точки перетину з фіксованою прямою є сталою величиною.
Ця крива була вперше описана Клодом Перро в 1670. Пізніше її досліджували Ісаак Ньютон (1676) і Християн Гюйгенс (1692).
Рівняння трактриси
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTh5THpJM0wxUnlZV04wY21sNGRISjVMbWRwWmc9PS5naWY=.gif)
Припустимо, об'єкт розташовано в точці (a,0) (або (4,0) як на малюнку, наведеному вище), а тягач знаходиться в початку координат, тоді довжиною мотузки a (4 на малюнку). Тягач починає рухатися уздовж осі y в додатному напрямку. У кожний момент руху мотузка буде дотичною до кривої y = y (x) описаного об'єкта, так що крива повністю визначається рухом тягача. Математично рух можна описати за допомогою диференціального рівняння:
з початковою умовою y (a) = 0, розв'язком якого є
Перша частина цього рішення також може бути записана, як
де arsech є оберненою гіперболічною функцією ареакосеканс.
Від'ємна гілка відповідає випадку, коли тягач переміщується у від'ємному напрямку від початку координат. Обидві гілки належать до трактриси та зустрічаються в особливій точці (a, 0).
Параметричний опис:
Визначення трактриси
Важливою ознакою трактриси є постійність відстані між точкою P на кривій та перетином дотичної в Р з асимптотою кривої.
Трактриса може бути розглянута в різні способи:
- Це геометричне місце точок центру гіперболічної спіралі при її розмотці (без ковзання) на прямій.
- Евольвента ланцюгової лінії, яка описує повністю гнучку, нееластичну, однорідну струну, прикріплену до двох точок, яку помістили у гравітаційне поле. Ланцюгова лінія задається рівнянням
.
- Траєкторія, яка визначається серединою заднього моста автомобіля, який тягне канат з постійною швидкістю і в постійному напрямку (на початку руху перпендикулярного до автомобіля).
Функція має горизонтальні асимптоти. Крива симетрична щодо осі Y. Радіус кривини .
Поверхня обертання трактриси навколо своєї асимптоти (осі x), є псевдосферою. У 1868 році Еудженіо Бельтрамі вивчав псевдосферу, як поверхню постійної від'ємної гаусової кривини. Псевдосфера є локальною моделлю неевклідової геометрії. Ця ідея була здійснена Едвардом Казнером та Джеймсом Ньюменом у книзі «Математика та Уява», де вони показали іграшковий потяг, який перетягували за допомогою кишенькового годинника для створення трактриси.
Властивості трактриси
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTh4THpGaEwwVjJiMngxZEdVeUxtZHBaZz09LmdpZg==.gif)
Площа, обмежена трактрисою і її асимптотою:
Довжина дуги, від точки (0 ; а) до довільної точки трактриси:
Радіус кривини:
Практичне застосування
В 1927 році була запатентована розробка — рупорний гучномовець, який заснований на припущенні, що фронт хвилі, яка проходить через рупор має сферичну форму з постійним радіусом. Ідея полягає в тому, щоб звести до мінімуму спотворення, викликані внутрішнім відбиттям звуку в рупорі. Отримана форма є поверхнею обертання трактриси.
Обчислювальні машини
- В жовтні та листопаді 1692 року Християн Гюйгенс описав три трактриси створені машинами.
- В 1693 році Лейбніц оприлюднив машину, яка, в теорії, може інтегрувати будь-яке диференціальне рівняння. Машина була тягової конструкції.
- В 1706 році побудував тягову машину для того, щоб реалізувати гіперболічну квадратуру.
- В 1729 році побудував тяговий пристрій, що дозволив накреслити логарифмічні функції.
Примітки
Посилання
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Tractrix |
- Едвард Казнер і Джеймс Ньюмен (1940) , стор. 141–143.
- J. Денніс Лоуренс (1972). Каталог спеціальних плоских кривих. Dover Publications. с. 5, 199. ISBN .
- Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Tractrix в архіві MacTutor (англ.)
- Tractrix на PlanetMath
- Famous curves on the plane. на PlanetMath
- Tractrix на MathWorld
- ЗДР карманного годинника Лейбніца на PHASER
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет