Евольвента

Евольвента (від лат. evolvens — що розгортає) плоскої лінії ${\displaystyle L}$  — це лінія ${\displaystyle L_{*}}$, по відношенню до якої ${\displaystyle L}$ є еволютою. Іншими словами, це крива, що описується кінцем гнучкої нерозтяжної нитки закріпленої в деякій точці, що змотується з плоскої кривої.

Приклад побудови евольвенти кривої

Рівняння евольвенти

Якщо лінія ${\displaystyle l}$ задана рівнянням ${\displaystyle {\bar {r}}={\bar {r}}(s)\ }$ (${\displaystyle s}$ — параметр довжини кривої), то рівняння властивості її евольвенти має вигляд

${\displaystyle {\bar {\psi }}={\bar {r}}+(\alpha -s){\dot {\bar {r}}}}$,

де ${\displaystyle \alpha }$ — довільний параметр.

Для параметрично заданої кривої ${\displaystyle (x(t),y(t))}$ рівняння евольвенти

${\displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,dt}$

${\displaystyle Y(t)=y(t)-{\frac {y(t)'}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,dt}$

Приклад

Анімація побудови евольвенти кола

Евольвентою кола є спіралеподібна крива, котра описується кінцем гнучкої нерозтяжної нитки, що змотується з кола заданого радіуса. Рівняння евольвенти кола мають вигляд:

${\displaystyle ~x=r(\cos(t)+t\sin(t))}$

${\displaystyle ~y=r(\sin(t)-t\cos(t))}$

де ${\displaystyle t}$ — кут положення на колі точки дотику нитки до кола, a ${\displaystyle r}$ — радіус кола.

Побудова евольвенти кола заданого діаметра

Евольвента кола

Задане коло з діаметром ${\displaystyle d\!}$, з центром в точці ${\displaystyle o\!}$. Дане коло ділимо на дванадцять рівних частин. В точках 2, 3, 4. проводимо дотичні до кола, спрямовані в один бік. Точки евольвенти знаходимо виходячи з того, що при розгортанні кола точка ${\displaystyle B^{2}\!}$, повинна розміщатись від точки 2 на відстані, рівній довжині дуги між точками 1 і 2, а точка ${\displaystyle B^{3}\!}$, повинна розміщатись від точки 3 на відстані, рівній довжині дуги між точками 1 і 3 (дві довжини попередньої дуги), і так далі

Точне розташування точок евольвенти отримаємо, відкладаючи по дотичних довжини відповідних дуг. Довжину дуги між точками 1 і 2 визначається за формулою

${\displaystyle a={\frac {\pi d}{m}},\!}$

де ${\displaystyle d\!}$ — діаметр кола; ${\displaystyle m\!}$ — число частин, на яке розділено коло.

Отримавши низку точок евольвенти сполучаємо їх плавною лінією.

В даному випадку коло з діаметром ${\displaystyle d\!}$ є еволютою до цієї евольвенти.

Застосування

У техніці форму евольвенти кола мають:

• профіль зуба для коліс зубчастої передачі;
• форма кожуха радіального вентилятора;
• вихори потоків у циклонах та ін.

У системах автоматизованого проектування іноді використовують кубічні криві Безьє для наближеного опису евольвентних кривих у евольвентних зачепленнях.

Див. також

• Еволюта
• Евольвентне зачеплення
• (Паралельна крива)

Примітки

1. Higuchi, Fumitaka; Gofuku, Shuuichi; Maekawa, Takashi; Mukundan, Harish; Patrikalakis, Nicholas M. (1 вересня 2007). Approximation of involute curves for CAD-system processing. Engineering with Computers (англ.). Т. 23, № 3. с. 207—214. doi:10.1007/s00366-007-0060-3. ISSN 1435-5663. Процитовано 12 лютого 2023.
2. Gear Drawing with Bézier Curves. www.arc.id.au. Процитовано 12 лютого 2023.

Посилання

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Mathworld. Involute [ 11 лютого 2021 у Wayback Machine.]