Псевдосфера від псевдо і грецького куля поверхня сталої від ємної кривини Утворена обертанням трактриси навколо її асимп

Псевдосфера (від «псевдо»… і грецького — куля) — поверхня сталої від'ємної кривини. Утворена обертанням трактриси навколо її асимптоти. Для достатньо малих частин псевдосфери, які не мають особливих точок, справедливими є співвідношення геометрії Лобачевського. Це відкриття Еудженіо Бельтрамі у 1868 відіграло важливу роль у розвитку неевклідових геометрій, бо дало змогу переконатись у реальності геометрії Лобачевського. Назва несправжня сфера підкреслює схожість і відмінність між псевдосферою і сферою - у сфери поверхня має сталу додатну кривину.

Теоретична псевдосфера

У загальній інтерпретації, псевдосфера радіусу R — це будь-яка поверхня кривини −1/R², за аналогією зі сферою радіусу R, для якої поверхня кривини є 1/R².

Термін був запропонований Еудженіо Бельтрамі у його праці 1868 року про моделі геометрії Лобачевського.

Трактрисоїд

Термін також використовують до певної поверхні, яка має назву трактрисоїд і є результатом обертання трактриси довкола її асимптоти. Наприклад, напів-псевдосфера (з радіусом 1) є поверхнею обертання трактриси, обмеженої параметрами:

t\mapsto \left(t-\tanh {t},\operatorname {sech} \,{t}\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .

Ще 1693 року Християн Гюйгенс з'ясував, що об'єм та площа поверхні псевдосфери є скінченними, незважаючи на нескінченність протяжності поверхні вздовж осі обертання. Для заданого радіусу R, площа поверхні буде 4πR², так само як і для сфери, а об'єм дорівнює $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}2/3$ πR³, тобто половині сфери з таким самим радіусом.

Примітки

Beltrami, Eugenio (1868), Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea, Gior. Mat. (Italian) , 6: 248—312
(Також Beltrami, Eugenio, Opere Matematiche (Italian) , т. 1, с. 374—405, ISBN ;
Beltrami, Eugenio (1869), Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne, Annales de l'École Normale Supérieure (French) , 6: 251—288)
Bonahon, Francis (2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. с. 108. ISBN ., Chapter 5, page 108
Mangasarian, Olvi L.; Pang, Jong-Shi (1999). Computational optimization: a tribute to Olvi Mangasarian, Volume 1. Springer. с. 324. ISBN ., Chapter 17, page 324
Le Lionnais, F. (2004). Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences (вид. 2). Courier Dover Publications. с. 154. ISBN ., Chapter 40, page 154
Weisstein, Eric W. Pseudosphere(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Джерела

Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.

Це незавершена стаття з геометрії.
Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її.

[1] Beltrami, Eugenio (1868), Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea, Gior. Mat. (Italian) , 6: 248—312
(Також Beltrami, Eugenio, Opere Matematiche (Italian) , т. 1, с. 374—405, ISBN ;
Beltrami, Eugenio (1869), Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne, Annales de l'École Normale Supérieure (French) , 6: 251—288)

[2] Bonahon, Francis (2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. с. 108. ISBN ., Chapter 5, page 108

[3] Mangasarian, Olvi L.; Pang, Jong-Shi (1999). Computational optimization: a tribute to Olvi Mangasarian, Volume 1. Springer. с. 324. ISBN ., Chapter 17, page 324

[4] Le Lionnais, F. (2004). Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences (вид. 2). Courier Dover Publications. с. 154. ISBN ., Chapter 40, page 154

[5] Weisstein, Eric W. Pseudosphere(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.