Теорема Гурвіца — твердження в комплексному аналізі, що описує зв'язок нулів голоморфної функції з нулями послідовності голоморфних функцій, що нормально (рівномірно на компактах) збігаються до неї. Теорема названа на честь німецького математика Адольфа Гурвіца.
Твердження теореми
Нехай {fk} послідовність голоморфних функцій на зв'язаній відкритій множині G, що рівномірно збігаються на усіх компактних підмножинах множини G до голоморфної функції f. Якщо f має нуль порядку m в точці z0 то для довільного достатньо малого, дійсного числа ρ> 0 і для досить великих k ∈ N (що залежать від ρ), функції fk матимуть по m нулів, у околі |z−z0| < ρ, з урахуванням кратності. Крім того, ці нулі сходяться до z 0 при k → ∞.
Зауваження
Аналог теореми для випадку дійсних змінних не є справедливим. Наприклад функції рівномірно на всіх компактних підмножинах дійсних чисел збігаються до функції
і всі згадані функції є нескінченну кількість разів диференційовними. Проте функція f має нуль порядку 2 для x = 0, тоді як функції fk нулів не мають.
Зрозуміло, якщо розглядати ці функції у комплексній площині твердження теореми буде справедливим, оскільки функції fk мають по два корені, які прямують до нуля при зростанні k.
Наслідки
- Нехай G — зв'язана відкрита множина і {fk} — послідовність голоморфних функцій, які сходяться рівномірно на компактах y G до голоморфної функції f. Якщо кожна функція fk не рівна нулю в усіх точках множини G, то f або тотожно дорівнює нулю, або також не дорівнює нулю на всій множині G.
- Нехай f не тотожно рівна нулю але має нуль в точці z0. Тоді згідно теореми Гурвіца в околі |z−z0| < ρ точки z0 всі функції fk для достатньо великих k теж мають нулі, що суперечить умовам накладеним на ці функції.
- Якщо {fk} є послідовністю голоморфних ін'єктивних функцій на зв'язаній відкритій множині G (такі функції називаються однолистими або унівалентними на G), і вони рівномірно сходяться на компактах у G до голоморфної функції f, то f є або теж ін'єктивною або константою.
- Нехай функція f не є константою і w0 — довільне значення, яке вона набуває в множині G. Нехай z1 і z2 такі що f(z1) = f(z2) = w0. Якщо визначити функції g = f — w0 і gk = fk — w0 то очевидно, що gk є голоморфними ін'єктивними функціями, що рівномірно на компактах збігаються до g, а z1 і z2 є нулями функції g. Згідно теореми Гурвіца існує послідовність комплексних чисел zk1 що збігається до z1 і для достатньо великих k число zk1 є нулем функції gk. Таким самим чином існує послідовність комплексних чисел zk2, що збігається до z2 і для достатньо великих k число zk2 є нулем функції gk. Відповідно для всіх достатньо великих k оба числа zk1 і zk2 є нулями функції gk і оскільки функції gk є ін'єктивними то zk1 = zk2 для всіх достатньо великих k. Тобто, починаючи з деякого індексу, послідовності приймають однакові значення і відповідно їхні границі рівні між собою: z1 = z2. Тобто g має лише один нуль і відповідно f набуває значення w0 лише в одній точці множини G. Зважаючи на довільність вибору w0, f є ін'єктивною на множині G.
- Більш загально, нехай {fk} є послідовністю голоморфних функцій на зв'язаній відкритій множині G і ця послідовність рівномірно сходиться на компактах у G до голоморфної функції f не рівної константі. Тоді якщо починаючи з якогось індексу всі члени послідовності приймать значення a не більше, ніж у n точках області G то і функція f є рівною a не більше, ніж у n точках області G.
Доведення
Нехай f голоморфна функція на відкритій підмножині комплексної площини, що має нуль порядку m в точці z0, і {fn} — послідовність функцій, що рівномірно сходиться на компактних підмножинах до f. Якщо f не рівна всюди нулю то кожен її нуль є ізольованою точкою тобто можна знайти таке дійсне число ρ > 0, що f(z) ≠ 0 для всіх z, що задовольняють умову 0 < |z−z0| ≤ ρ. Оскільки множина |z−z0| = ρ є компактною, будь-яка дійсна функція на ній набуває своїх мінімальних і максимальних значень.
Зокрема для фнукції |f(z)| на цій множині мінімальне значення є додатнім, тобто існує дійсне число δ > 0 для якого |f(z)| > δ для всіх z на колі|z−z0| = ρ. Оскільки fk(z) збігається рівномірно в замкнутому крузі (який є компактною множиною), існує натуральне число N таке що |fk(z)| ≥ δ/2 для всіх натуральних чисел k ≥ N і всіх комплексних чисел z на визначеному колі. Тому функції fk′(z)/fk(z) є коректно визначеними на колі |z−z0| = ρ для достатньо великих k. Оскільки fk(z) рівномірно збігається до f на колі то також fk′(z) на цьому ж колі рівномірно збігається до f' і також маємо рівномірну збіжність:
Позначаючи кількість нулів функції fk(z) в крузі |z−z0| ≤ ρ через Nk, можна застосувати принцип аргументу:
Перестановка границі і інтегралу є допустимою зважаючи на рівномірну збіжність послідовності у замкнутому крузі. Отож Nk → m при k → ∞. Оскільки всі Nk є цілими числами, Nk мають бути рівними m для всіх достатньо великих k.
Див. також
Джерела
- John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, New York, 1978.(англ.)
- Greene, Robert E., Krantz, Steven G., Function Theory of One Complex Variable, AMS, 2006.(англ.)
Посилання
- Відео-лекція про теорему Гурвіца і її наслідки(англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Teorema Gurvica Teorema Gurvica tverdzhennya v kompleksnomu analizi sho opisuye zv yazok nuliv golomorfnoyi funkciyi z nulyami poslidovnosti golomorfnih funkcij sho normalno rivnomirno na kompaktah zbigayutsya do neyi Teorema nazvana na chest nimeckogo matematika Adolfa Gurvica Tverdzhennya teoremiNehaj fk poslidovnist golomorfnih funkcij na zv yazanij vidkritij mnozhini G sho rivnomirno zbigayutsya na usih kompaktnih pidmnozhinah mnozhini G do golomorfnoyi funkciyi f Yaksho f maye nul poryadku m v tochci z0 to dlya dovilnogo dostatno malogo dijsnogo chisla r gt 0 i dlya dosit velikih k N sho zalezhat vid r funkciyi fk matimut po m nuliv u okoli z z0 lt r z urahuvannyam kratnosti Krim togo ci nuli shodyatsya do z 0 pri k ZauvazhennyaAnalog teoremi dlya vipadku dijsnih zminnih ne ye spravedlivim Napriklad funkciyi f i x x 2 1 i displaystyle f i x x 2 1 i rivnomirno na vsih kompaktnih pidmnozhinah dijsnih chisel zbigayutsya do funkciyi f x x 2 displaystyle f x x 2 i vsi zgadani funkciyi ye neskinchennu kilkist raziv diferencijovnimi Prote funkciya f maye nul poryadku 2 dlya x 0 todi yak funkciyi fk nuliv ne mayut Zrozumilo yaksho rozglyadati ci funkciyi u kompleksnij ploshini tverdzhennya teoremi bude spravedlivim oskilki funkciyi fk mayut po dva koreni yaki pryamuyut do nulya pri zrostanni k NaslidkiNehaj G zv yazana vidkrita mnozhina i fk poslidovnist golomorfnih funkcij yaki shodyatsya rivnomirno na kompaktah y G do golomorfnoyi funkciyi f Yaksho kozhna funkciya fk ne rivna nulyu v usih tochkah mnozhini G to f abo totozhno dorivnyuye nulyu abo takozh ne dorivnyuye nulyu na vsij mnozhini G Nehaj f ne totozhno rivna nulyu ale maye nul v tochci z0 Todi zgidno teoremi Gurvica v okoli z z0 lt r tochki z0 vsi funkciyi fk dlya dostatno velikih k tezh mayut nuli sho superechit umovam nakladenim na ci funkciyi dd Yaksho fk ye poslidovnistyu golomorfnih in yektivnih funkcij na zv yazanij vidkritij mnozhini G taki funkciyi nazivayutsya odnolistimi abo univalentnimi na G i voni rivnomirno shodyatsya na kompaktah u G do golomorfnoyi funkciyi f to f ye abo tezh in yektivnoyu abo konstantoyu Nehaj funkciya f ne ye konstantoyu i w0 dovilne znachennya yake vona nabuvaye v mnozhini G Nehaj z1 i z2 taki sho f z1 f z2 w0 Yaksho viznachiti funkciyi g f w0 i gk fk w0 to ochevidno sho gk ye golomorfnimi in yektivnimi funkciyami sho rivnomirno na kompaktah zbigayutsya do g a z1 i z2 ye nulyami funkciyi g Zgidno teoremi Gurvica isnuye poslidovnist kompleksnih chisel zk1 sho zbigayetsya do z1 i dlya dostatno velikih k chislo zk1 ye nulem funkciyi gk Takim samim chinom isnuye poslidovnist kompleksnih chisel zk2 sho zbigayetsya do z2 i dlya dostatno velikih k chislo zk2 ye nulem funkciyi gk Vidpovidno dlya vsih dostatno velikih k oba chisla zk1 i zk2 ye nulyami funkciyi gk i oskilki funkciyi gk ye in yektivnimi to zk1 zk2 dlya vsih dostatno velikih k Tobto pochinayuchi z deyakogo indeksu poslidovnosti prijmayut odnakovi znachennya i vidpovidno yihni granici rivni mizh soboyu z1 z2 Tobto g maye lishe odin nul i vidpovidno f nabuvaye znachennya w0 lishe v odnij tochci mnozhini G Zvazhayuchi na dovilnist viboru w0 f ye in yektivnoyu na mnozhini G dd Bilsh zagalno nehaj fk ye poslidovnistyu golomorfnih funkcij na zv yazanij vidkritij mnozhini G i cya poslidovnist rivnomirno shoditsya na kompaktah u G do golomorfnoyi funkciyi f ne rivnoyi konstanti Todi yaksho pochinayuchi z yakogos indeksu vsi chleni poslidovnosti prijmat znachennya a ne bilshe nizh u n tochkah oblasti G to i funkciya f ye rivnoyu a ne bilshe nizh u n tochkah oblasti G DovedennyaNehaj f golomorfna funkciya na vidkritij pidmnozhini kompleksnoyi ploshini sho maye nul poryadku m v tochci z0 i fn poslidovnist funkcij sho rivnomirno shoditsya na kompaktnih pidmnozhinah do f Yaksho f ne rivna vsyudi nulyu to kozhen yiyi nul ye izolovanoyu tochkoyu tobto mozhna znajti take dijsne chislo r gt 0 sho f z 0 dlya vsih z sho zadovolnyayut umovu 0 lt z z0 r Oskilki mnozhina z z0 r ye kompaktnoyu bud yaka dijsna funkciya na nij nabuvaye svoyih minimalnih i maksimalnih znachen Zokrema dlya fnukciyi f z na cij mnozhini minimalne znachennya ye dodatnim tobto isnuye dijsne chislo d gt 0 dlya yakogo f z gt d dlya vsih z na koli z z0 r Oskilki fk z zbigayetsya rivnomirno v zamknutomu kruzi yakij ye kompaktnoyu mnozhinoyu isnuye naturalne chislo N take sho fk z d 2 dlya vsih naturalnih chisel k N i vsih kompleksnih chisel z na viznachenomu koli Tomu funkciyi fk z fk z ye korektno viznachenimi na koli z z0 r dlya dostatno velikih k Oskilki fk z rivnomirno zbigayetsya do f na koli to takozh fk z na comu zh koli rivnomirno zbigayetsya do f i takozh mayemo rivnomirnu zbizhnist f k z f k z f z f z displaystyle frac f k z f k z to frac f z f z Poznachayuchi kilkist nuliv funkciyi fk z v kruzi z z0 r cherez Nk mozhna zastosuvati princip argumentu m 1 2 p i z z 0 r f z f z d z lim k 1 2 p i z z 0 r f k z f k z d z lim k N k displaystyle m frac 1 2 pi i int vert z z 0 vert rho frac f z f z dz lim k to infty frac 1 2 pi i int vert z z 0 vert rho frac f k z f k z dz lim k to infty N k Perestanovka granici i integralu ye dopustimoyu zvazhayuchi na rivnomirnu zbizhnist poslidovnosti u zamknutomu kruzi Otozh Nk m pri k Oskilki vsi Nk ye cilimi chislami Nk mayut buti rivnimi m dlya vsih dostatno velikih k Div takozhTeorema Rushe Princip argumentuDzherelaJohn B Conway Functions of One Complex Variable I Springer Verlag New York New York 1978 angl Greene Robert E Krantz Steven G Function Theory of One Complex Variable AMS 2006 angl PosilannyaVideo lekciya pro teoremu Gurvica i yiyi naslidki angl