У теорії міри дві міри і визначені в одному вимірному просторі називаються взаємно сингулярними якщо для деякої вимірної множини її міра є рівною нулю і міра на її доповненні є рівною нулю.
Формальне означення
Нехай — вимірний простір, а
і
— міри над цим простором. Ці міри називаються взаємно сингулярними, (позначається
) якщо існує розбиття X на дві непорожні множини
із порожнім перетином для яких:
є рівною нулю для всіх вимірних підмножин у
а
є рівною нулю для всіх вимірних підмножин у
Узагальнення
Очевидно, що у попередньому означенні достатньо вимагати щоб значення міри було нульовим для
а значення міри
нульовим на
Проте у виді поданому вище його легко можна узагальнити на заряди, комплексні і векторні міри. Якщо ці структури є σ-адитивними і заданими на вимірному просторі, то у відповідному означенні достатньо замінити слово міра на заряд, комплексну чи векторну міру.
Еквівалентно у випадку σ-адитивних зарядів на вимірному просторі можна сказати, що і
є взаємно сингулярними, якщо їх повні варіації
і
є взаємно сингулярними як міри.
Якщо міра чи заряд є заданими лише на алгебрі множин або не є σ-адитивними іноді розглядається слабше поняття взаємної сингулярності: заряди (не обов'язково σ-адитивні ) і
на просторі із алгеброю множин
називають слабко взаємно сингулярними, якщо для довільного
існують непорожні множини
із порожнім перетином для яких
і
. Якщо два заряди є взаємно сингулярними то вони є і слабко взаємно сингулярними. У випадку σ-адитивних зарядів на вимірному просторі ці два поняття є еквівалентними.
Приклади
- Дельта-функція Дірака, зосереджена у точці евклідового простору задає сингулярну міру (відносно міри Лебега). Відповідна міра є рівною 1 для вимірних множин, що містять вказану точку і 0 для множин, що не містять її.
- Розподіл Кантора має неперервну (але не абсолютно неперервну) функцію розподілу (функцію Кантора). Незважаючи на неперервність функції розподілу, відповідна міра ймовірності є сингулярною із мірою Лебега. Іншими подібними прикладами є функції Мінковського і Салема. В усіх випадках міру конкретної вимірної множини
можна одержати за допомогою інтеграла Лебега — Стілтьєса, як
Наприклад для випадку із функцією Кантора, якщо
— множина Кантора то
і
, а міра Лебега множини Кантора дорівнює нулю. Тоді
і
і є тим розбиттям, яке демонструє взаємну сингулярність міри Лебега і міри породженої функцією Кантора на одиничному інтервалі.
Див.також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U teoriyi miri dvi miri m displaystyle mu i n displaystyle nu viznacheni v odnomu vimirnomu prostori nazivayutsya vzayemno singulyarnimi yaksho dlya deyakoyi vimirnoyi mnozhini yiyi mira m displaystyle mu ye rivnoyu nulyu i mira n displaystyle nu na yiyi dopovnenni ye rivnoyu nulyu Formalne oznachennyaVzayemno singulyarni miri Nehaj X F displaystyle X mathcal F vimirnij prostir a m displaystyle mu i n displaystyle nu miri nad cim prostorom Ci miri nazivayutsya vzayemno singulyarnimi poznachayetsya m n displaystyle mu perp nu yaksho isnuye rozbittya X na dvi neporozhni mnozhini A B F displaystyle A B in mathcal F iz porozhnim peretinom dlya yakih m displaystyle mu ye rivnoyu nulyu dlya vsih vimirnih pidmnozhin u B displaystyle B a n displaystyle nu ye rivnoyu nulyu dlya vsih vimirnih pidmnozhin u A displaystyle A Uzagalnennya Ochevidno sho u poperednomu oznachenni dostatno vimagati shob znachennya miri m displaystyle mu bulo nulovim dlya B displaystyle B a znachennya miri n displaystyle nu nulovim na A displaystyle A Prote u vidi podanomu vishe jogo legko mozhna uzagalniti na zaryadi kompleksni i vektorni miri Yaksho ci strukturi ye s aditivnimi i zadanimi na vimirnomu prostori to u vidpovidnomu oznachenni dostatno zaminiti slovo mira na zaryad kompleksnu chi vektornu miru Ekvivalentno u vipadku s aditivnih zaryadiv na vimirnomu prostori mozhna skazati sho m displaystyle mu i n displaystyle nu ye vzayemno singulyarnimi yaksho yih povni variaciyi m displaystyle mu i n displaystyle nu ye vzayemno singulyarnimi yak miri Yaksho mira chi zaryad ye zadanimi lishe na algebri mnozhin abo ne ye s aditivnimi inodi rozglyadayetsya slabshe ponyattya vzayemnoyi singulyarnosti zaryadi ne obov yazkovo s aditivni m displaystyle mu i n displaystyle nu na prostori iz algebroyu mnozhin X F displaystyle X mathcal F nazivayut slabko vzayemno singulyarnimi yaksho dlya dovilnogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 isnuyut neporozhni mnozhini A B A displaystyle A B in mathcal A iz porozhnim peretinom dlya yakih m A lt e displaystyle mu A lt varepsilon i n B lt e displaystyle nu B lt varepsilon Yaksho dva zaryadi ye vzayemno singulyarnimi to voni ye i slabko vzayemno singulyarnimi U vipadku s aditivnih zaryadiv na vimirnomu prostori ci dva ponyattya ye ekvivalentnimi PrikladiDelta funkciya Diraka zoseredzhena u tochci evklidovogo prostoru zadaye singulyarnu miru vidnosno miri Lebega Vidpovidna mira ye rivnoyu 1 dlya vimirnih mnozhin sho mistyat vkazanu tochku i 0 dlya mnozhin sho ne mistyat yiyi Rozpodil Kantora maye neperervnu ale ne absolyutno neperervnu funkciyu rozpodilu funkciyu Kantora Nezvazhayuchi na neperervnist funkciyi rozpodilu vidpovidna mira jmovirnosti ye singulyarnoyu iz miroyu Lebega Inshimi podibnimi prikladami ye funkciyi Minkovskogo i Salema V usih vipadkah miru konkretnoyi vimirnoyi mnozhini A 0 1 displaystyle A subset 0 1 mozhna oderzhati za dopomogoyu integrala Lebega Stiltyesa yak m A A1df displaystyle mu A int A 1df Napriklad dlya vipadku iz funkciyeyu Kantora yaksho C displaystyle C mnozhina Kantora to m C C1df 1 displaystyle mu C int C 1df 1 i m 0 1 C 0 1 C1df 0 displaystyle mu 0 1 setminus C int 0 1 setminus C 1df 0 a mira Lebega mnozhini Kantora dorivnyuye nulyu Todi C displaystyle C i 0 1 C displaystyle 0 1 setminus C i ye tim rozbittyam yake demonstruye vzayemnu singulyarnist miri Lebega i miri porodzhenoyi funkciyeyu Kantora na odinichnomu intervali Div takozhAbsolyutna neperervnist Zaryad teoriya miri Mira mnozhini Singulyarna funkciya Teorema Lebega pro rozklad miri