Проєктивне перетворення проєктивної площини — це перетворення, що переводить прямі в прямі.
Визначення
Проєктивне перетворення — це взаємно-однозначне відображення проєктивного простору на себе, яке зберігає відношення порядку частково впорядкованої множини всіх підпросторів.
Проєктивне перетворення прямої — бієктивне перетворення прямої, що переводить гармонійну четвірку точок в гармонійну четвірку точок.
Проєктивне перетворення площини — це взаємно-однозначне відображення проєктивної площини на себе, при якому для будь-якої прямої образ також є прямою.
Властивості
- Проєктивне перетворення зберігає подвійне відношення.
- Проєктивне перетворення є взаємно однозначним відображенням множини точок проєктивної площини, а також є взаємно однозначним відображенням множини прямих.
- Відображення, зворотне проєктивному, є проєктивним відображенням. Композиція проєктивних відображень є проєктивним відображенням. Таким чином, множина проєктивних відображень утворює групу.
- Центральне проєктування — частковий випадок проєктивного перетворення.
- Афінне перетворення є частковим випадком проєктивного.
- Кожна пряма площини при проєктивному перетворенні площини відображається проєктивно на деяку пряму. Кожен пучок променів площини проєктивно відображається на пучок променів.
- Проєктивне перетворення прямої визначається заданням трьох пар відповідних за відображенням точок. Це твердження називають іноді основною теоремою проєктивної геометрії.
- Проєктивне перетворення площини визначається заданням чотирьох пар відповідних за відображенням точок, причому ніякі три точки з четвірки образів або прообразів не лежать на одній прямій. При нетотожному відображенні кількість нерухомих точок не більша трьох.
- Кожне проєктивне перетворення площини задається оборотним лінійним перетворенням відповідного їй тривимірного простору. В однорідних координатах воно подається рівняннями:
причому .
Перспектива
Нехай на проєктивній площині є 2 різні прямі і точка O, що не належить їм. [en] прямої на пряму з центром O називається відображення , де для довільної точки точка знаходиться як перетин і . Це відображення позначається так: що читається « переводиться в пряму перспективним відображенням з центром O» або так: що читається «точки переводяться перспективним відображенням з центром в O в точки ».
Перспективне відображення бієктивне, зберігає точку перетину прямих і зберігає подвійне відношення четвірки точок.
Будь-яке проєктивне відображення прямої на пряму може бути подане як композиція перспективних відображень. Проєктивне відображення позначається
Інволюція
Проєктивне перетворення називається інволюцією, якщо для будь-якої точки P правильно, що .
Якщо — інволюція, то .
Якщо проєктивне перетворення прямої має хоча б одну таку точку P, що , то — інволюція.
Якщо нетотожна інволюція проєктивної прямої має нерухомі точки, то їх кількість дорівнює або двом, або нулю. Інволюція, що має 2 нерухомі точки, називається гіперболічною. Гіперболічна інволюція переставляє місцями точки, гармонійно спряжені відносно нерухомих точок. Інволюція, яка не має нерухомих точок, називається еліптичною.
Інволюція визначається заданням двох пар відповідних точок.
Три пари протилежних сторін повного чотирикутника перетинають будь-яку пряму (що не проходить через вершину) в трьох парах точок однієї інволюції (це твердження називають теоремою Дезарга, хоча її походження можна віднести до леми IV «Поризмів» Евкліда в VII томі «Математичної колекції» Паппа Александрійського).
Колінеації і кореляції
Колінеацією називається перетворення, що переводить точки в точки, прямі в прямі і зберігає відношення інцидентності точок і прямих, а також подвійне відношення будь-якої четвірки колінеарних точок. Колінеації утворюють групу. Вимога збереження подвійного відношення четвірки колінеарних точок надлишкова, але це складно довести. Колінеації розглядають разом з кореляціями — перетвореннями проєктивної площини, що переводять точки в прямі, а прямі в точки і зберігають відношення інцидентності. Приклад кореляції — полярна взаємність, тобто відображення, що переводить точку в її поляру відносно конічного перерізу, а пряму — в її полюс.
Гомологія
Гомологією називається нетотожна колінеація, для якої існує поточково нерухома пряма p, яка називається віссю гомології.
Для будь-якої гомології існує нерухома точка P (центр гомології), що володіє тією властивістю, що будь-яка інцидентна їй пряма нерухома. Крім центру P і точок осі p гомологія нерухомих точок не має. Якщо , то гомологія називається параболічною, інакше — гіперболічною.
При гомології площини точка і її образ лежать на одній прямій з центром гомології, а пряма і її образ перетинаються на осі гомології.
Гомологію можна задати центром, віссю і парою відповідних прямих. Гомологію можна також задати центром, віссю і т. зв. константою гомології, відмінною від .
Див. також
Література
- Д. А. Граве. Гомография // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп. т.). — СПб., 1890—1907. (рос. дореф.)
- П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М. : Наука, 1979.
- Р. Хартсхорн. Основы проективной геометрии. — М. : Мир, 1970.
- Х. С. М. Кокстер. Действительная проективная плоскость / под ред. проф. А. А. Глаголева — М., 1959.
- Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?
- [ru]. Высшая геометрия. — ФизМатЛит, 2003.
- С. Л. Певзнер. Проективная геометрия. Учебное пособие по курсу "Геометрия" для студентов- заочников II-III курсов физико-математических факультетов. — М. : Просвещение, 1980.
Це незавершена стаття з геометрії. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Proyektivne peretvorennya proyektivnoyi ploshini ce peretvorennya sho perevodit pryami v pryami ViznachennyaProyektivne peretvorennya ce vzayemno odnoznachne vidobrazhennya ϕ displaystyle phi proyektivnogo prostoru na sebe yake zberigaye vidnoshennya poryadku chastkovo vporyadkovanoyi mnozhini vsih pidprostoriv Proyektivne peretvorennya pryamoyi biyektivne peretvorennya pryamoyi sho perevodit garmonijnu chetvirku tochok v garmonijnu chetvirku tochok Proyektivne peretvorennya ploshini ce vzayemno odnoznachne vidobrazhennya ϕ p p displaystyle phi colon pi to pi proyektivnoyi ploshini p displaystyle pi na sebe pri yakomu dlya bud yakoyi pryamoyi l p displaystyle l subset pi obraz ϕ l displaystyle phi l takozh ye pryamoyu VlastivostiProyektivne peretvorennya zberigaye podvijne vidnoshennya Proyektivne peretvorennya ye vzayemno odnoznachnim vidobrazhennyam mnozhini tochok proyektivnoyi ploshini a takozh ye vzayemno odnoznachnim vidobrazhennyam mnozhini pryamih Vidobrazhennya zvorotne proyektivnomu ye proyektivnim vidobrazhennyam Kompoziciya proyektivnih vidobrazhen ye proyektivnim vidobrazhennyam Takim chinom mnozhina proyektivnih vidobrazhen utvoryuye grupu Centralne proyektuvannya chastkovij vipadok proyektivnogo peretvorennya Afinne peretvorennya ye chastkovim vipadkom proyektivnogo Kozhna pryama ploshini pri proyektivnomu peretvorenni ploshini vidobrazhayetsya proyektivno na deyaku pryamu Kozhen puchok promeniv ploshini proyektivno vidobrazhayetsya na puchok promeniv Proyektivne peretvorennya pryamoyi viznachayetsya zadannyam troh par vidpovidnih za vidobrazhennyam tochok Ce tverdzhennya nazivayut inodi osnovnoyu teoremoyu proyektivnoyi geometriyi Proyektivne peretvorennya ploshini viznachayetsya zadannyam chotiroh par vidpovidnih za vidobrazhennyam tochok prichomu niyaki tri tochki z chetvirki obraziv abo proobraziv ne lezhat na odnij pryamij Pri netotozhnomu vidobrazhenni kilkist neruhomih tochok ne bilsha troh Kozhne proyektivne peretvorennya ploshini zadayetsya oborotnim linijnim peretvorennyam vidpovidnogo yij trivimirnogo prostoru V odnoridnih koordinatah vono podayetsya rivnyannyami l x 1 c 11 x 1 c 12 x 2 c 13 x 3 l x 2 c 21 x 1 c 22 x 2 c 23 x 3 l x 3 c 31 x 1 c 32 x 2 c 33 x 3 displaystyle begin cases lambda x 1 c 11 x 1 c 12 x 2 c 13 x 3 lambda x 2 c 21 x 1 c 22 x 2 c 23 x 3 lambda x 3 c 31 x 1 c 32 x 2 c 33 x 3 end cases prichomu det c i j 0 displaystyle det c ij neq 0 PerspektivaPerspektivne vidobrazhennya A B C D A B C D displaystyle ABCD doublebarwedge A B C D Nehaj na proyektivnij ploshini ye 2 rizni pryami u 1 u 2 displaystyle u 1 u 2 i tochka O sho ne nalezhit yim en pryamoyi u 1 displaystyle u 1 na pryamu u 2 displaystyle u 2 z centrom O nazivayetsya vidobrazhennya ps u 1 u 2 displaystyle psi u 1 to u 2 de dlya dovilnoyi tochki A u 1 displaystyle A in u 1 tochka ps A displaystyle psi A znahoditsya yak peretin O A displaystyle OA i u 2 displaystyle u 2 Ce vidobrazhennya poznachayetsya tak u 1 O u 2 displaystyle u 1 overset O doublebarwedge u 2 sho chitayetsya u 1 displaystyle u 1 perevoditsya v pryamu u 2 displaystyle u 2 perspektivnim vidobrazhennyam z centrom O abo tak A B C O A B C displaystyle ABC ldots overset O doublebarwedge A B C ldots sho chitayetsya tochki A B C displaystyle A B C ldots perevodyatsya perspektivnim vidobrazhennyam z centrom v O v tochki A B C displaystyle A B C ldots Perspektivne vidobrazhennya biyektivne zberigaye tochku peretinu pryamih u 1 u 2 displaystyle u 1 u 2 i zberigaye podvijne vidnoshennya chetvirki tochok Bud yake proyektivne vidobrazhennya pryamoyi u 1 displaystyle u 1 na pryamu u 2 displaystyle u 2 mozhe buti podane yak kompoziciya perspektivnih vidobrazhen Proyektivne vidobrazhennya poznachayetsya A B C D A B C D displaystyle ABCD barwedge A B C D InvolyuciyaProyektivne peretvorennya ϕ displaystyle phi nazivayetsya involyuciyeyu yaksho dlya bud yakoyi tochki P pravilno sho ϕ ϕ P P displaystyle phi phi P P Yaksho ϕ displaystyle phi involyuciya to ϕ 1 ϕ displaystyle phi 1 phi Yaksho proyektivne peretvorennya ϕ displaystyle phi pryamoyi maye hocha b odnu taku tochku P sho ϕ ϕ P P displaystyle phi phi P P to ϕ displaystyle phi involyuciya Yaksho netotozhna involyuciya proyektivnoyi pryamoyi maye neruhomi tochki to yih kilkist dorivnyuye abo dvom abo nulyu Involyuciya sho maye 2 neruhomi tochki nazivayetsya giperbolichnoyu Giperbolichna involyuciya perestavlyaye miscyami tochki garmonijno spryazheni vidnosno neruhomih tochok Involyuciya yaka ne maye neruhomih tochok nazivayetsya eliptichnoyu Involyuciya viznachayetsya zadannyam dvoh par vidpovidnih tochok Tri pari protilezhnih storin povnogo chotirikutnika peretinayut bud yaku pryamu sho ne prohodit cherez vershinu v troh parah tochok odniyeyi involyuciyi ce tverdzhennya nazivayut teoremoyu Dezarga hocha yiyi pohodzhennya mozhna vidnesti do lemi IV Porizmiv Evklida v VII tomi Matematichnoyi kolekciyi Pappa Aleksandrijskogo Kolineaciyi i korelyaciyiKolineaciyeyu nazivayetsya peretvorennya sho perevodit tochki v tochki pryami v pryami i zberigaye vidnoshennya incidentnosti tochok i pryamih a takozh podvijne vidnoshennya bud yakoyi chetvirki kolinearnih tochok Kolineaciyi utvoryuyut grupu Vimoga zberezhennya podvijnogo vidnoshennya chetvirki kolinearnih tochok nadlishkova ale ce skladno dovesti Kolineaciyi rozglyadayut razom z korelyaciyami peretvorennyami proyektivnoyi ploshini sho perevodyat tochki v pryami a pryami v tochki i zberigayut vidnoshennya incidentnosti Priklad korelyaciyi polyarna vzayemnist tobto vidobrazhennya sho perevodit tochku v yiyi polyaru vidnosno konichnogo pererizu a pryamu v yiyi polyus GomologiyaGomologiyeyu nazivayetsya netotozhna kolineaciya dlya yakoyi isnuye potochkovo neruhoma pryama p yaka nazivayetsya vissyu gomologiyi Dlya bud yakoyi gomologiyi isnuye neruhoma tochka P centr gomologiyi sho volodiye tiyeyu vlastivistyu sho bud yaka incidentna yij pryama neruhoma Krim centru P i tochok osi p gomologiya neruhomih tochok ne maye Yaksho P p displaystyle P in p to gomologiya nazivayetsya parabolichnoyu inakshe giperbolichnoyu Pri gomologiyi ploshini tochka i yiyi obraz lezhat na odnij pryamij z centrom gomologiyi a pryama i yiyi obraz peretinayutsya na osi gomologiyi Gomologiyu mozhna zadati centrom vissyu i paroyu vidpovidnih pryamih Gomologiyu mozhna takozh zadati centrom vissyu i t zv konstantoyu gomologiyi vidminnoyu vid 0 1 displaystyle 0 1 infty Div takozhPodvijne vidnoshennya Odnoridni koordinati Proyektivna geometriya Proyektivna ploshinaLiteraturaD A Grave Gomografiya Enciklopedicheskij slovar Brokgauza i Efrona v 86 t 82 t i 4 dop t SPb 1890 1907 ros doref P S Aleksandrov Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry M Nauka 1979 R Hartshorn Osnovy proektivnoj geometrii M Mir 1970 H S M Kokster Dejstvitelnaya proektivnaya ploskost pod red prof A A Glagoleva M 1959 R Kurant G Robbins Chto takoe matematika ru Vysshaya geometriya FizMatLit 2003 S L Pevzner Proektivnaya geometriya Uchebnoe posobie po kursu Geometriya dlya studentov zaochnikov II III kursov fiziko matematicheskih fakultetov M Prosveshenie 1980 Ce nezavershena stattya z geometriyi Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi