Нормальна форма Сміта — це діагональна (не обов'язково квадратна матриця над областю головних ідеалів, кожен наступний діагональний елемент якої ділиться на попередній. Будь-яку матрицю над областю головних ідеалів можна звести до нормальної форми Сміта множенням зліва і справа на оборотні матриці.
Формулювання
Для будь-якої матриці розміру над областю головних ідеалів існують такі оборотні над матриці і , що , де ділиться на . Тут позначає матрицю розміру з зазначеними діагональними елементами та іншими нулями.
Елементи визначені із точністю до множення на оборотні елементи області і можуть бути обчислені (із точністю до множення на оборотні елементи) за допомогою формули:
де є найбільшим спільним дільником усіх ненульових мінорів матриці A, а . Ця рівність очевидна, якщо матриця уже є у нормальній формі Сміта оскільки єдиними ненульовими мінорами порядку є добутки деяких i елементів із послідовності і з властивостей подільності послідовних елементів цієї послідовності випливає, що у цьому випадку звідки відразу випливає формула.
У загальному випадку твердження є наслідком властивостей найбільших спільних дільників мінорів матриць: для матриці розміру і оборотних матриць і відповідних порядків найбільший спільний дільник усіх ненульових мінорів матриці A є рівним найбільшому спільному дільнику усіх ненульових мінорів матриці і найбільшому спільному дільнику усіх ненульових мінорів матриці Цю властивість можна довести за допомогою формули Біне — Коші з якої випливає, що кожен мінор матриці є сумою добутків деяких мінорів матриці на мінори матриці . Оскільки всі мінори матриці діляться на , то і відповідні добутки мінорів і їх сума теж діляться на . Відповідно всі мінори матриці діляться на і тому ділиться на . Але тому аналогічно ділиться на і Подібним чином і разом також тож ситуація зводиться до випадку матриць у нормальній формі Сміта.
Доведення
Доведення існування нормальної форми Сміта для кожної матриці над областю головних ідеалів випливає із властивостей цих областей. А саме кожен необоротний елемент де є областю головних ідеалів може бути записаний як добуток незвідних елементів (або еквівалентно простих елементів, оскільки у областях головних ідеалів елемент є незвідним тоді і тільки тоді, коли він є простим):
де елементи у добутку можуть повторюватися і розклад є єдиним із точністю до множення елементів на оборотні елементи і порядок елементів. Зокрема число n — кількість множників у розкладі елемента не залежить від конкретного розкладу. Це число називається довжиною елемента.
У областях головних ідеалах існує поняття найбільшого спільного дільника. Зокрема якщо для двох необоротних елементів дано розклад на добуток незвідних елементів, то НСД є рівним добутку спільних множників (включаючи кратність і з точністю на множення на оборотні елементи) у цих розкладах. Найбільший спільний дільник визначений з точністю до множення на оборотні елементи, його означення можна дати для довільної скінченної кількості елементів і довжина НСД є не більшою, ніж довжина усіх елементів. Якщо для двох елементів елемент є найбільшим спільним дільником, то існують елементи для яких (тотожність Безу).
Крок 1. Зведення до діагональної матриці
Нехай тепер є матрицею розмірності над областю головних ідеалів . Усі матриці одержані з множенням зліва і справа на оборотні матриці називаються еквівалентними. Потрібно довести, що є еквівалентна матриця у нормальній формі Сміта. Оскільки нульова матриця уже є у формі Сміта можна вважати, що у матриці існують ненульові елементи. Перестановкою рядків і стовпців матриці (тобто множенням відповідно зліва і справа на матриці перестановок) можна одержати еквівалентну матрицю у якої ненульовим є елемент у першому рядку і першому стовпці. Нехай це елемент . Якщо при цьому елемент у першому рядку і другому стовпці не є рівним нулю, то множенням на деяку матрицю справа можна досягнути заміни елемента на найбільший спільний дільник і , а на нуль. А саме нехай є НСД елементів і , а є відповідною тотожністю Безу. Якщо то і
і оскільки визначник вказаної матриці є рівним 1, то
Тобто помноживши справа на матрицю у якої елементи у перших двох стовпцях і рядках є , усі інші діагональні елементи рівні 1, а всі інші недіагональні елементи рівні 0 одержуємо еквівалентну матрицю у якої перші два елементи першого рядка є і 0. При цьому якщо є найбільшим спільним дільником елементів і то внаслідок цього перетворення перший стовпець не зміниться.
У такий же спосіб послідовно розглядаючи наступні елементи і модифікуючи матрицю на яку множиться справа так щоб елементи одержані із тотожності Безу були послідовно на першому і третьому, потім першому і четвертому рядках і стовпцях і т. д. одержуємо зрештою еквівалентну матрицю у якої першим елементом є найбільший спільний дільник усіх ненульових елементів першого рядка, а всі інші елементи першого рядка є рівні 0. Якщо при цьому якщо був найбільшим спільним дільником усіх елементів першого рядка, то перший стовпець внаслідок цих перетворень не зміниться. В іншому випадку замість на першому місці у першому рядку буде інший елемент строго меншої довжини.
Після цього подібним чином можна множенням на відповідні матриці зліва можна одержати еквівалентну матрицю у якої всі елементи першого стовпця крім першого є рівними нулю. Якщо на початку цього процесу перший елемент у стовпці не був НСД усіх елементів стовпця то в цій матриці елементи у першому рядку після першого можуть не бути рівними нулю але у цьому випадку довжина елемента на перетині перших стовпця і рядка знову зменшиться.
У цьому випадку потрібно повторювати весь процес для першого рядка і потім можливо стовпця. Оскільки довжина елемента є скінченним числом то через скінченну кількість подібних кроків довжина елемента не буде зменшуватися. У цьому випадку всі елементи першого рядка і стовпця крім елемента на їх перетині будуть рівні нулю.
Далі процедуру потрібно повторити для підматриці одержаної матриці без перших рядка і стовпця. В результаті одержиться матриця де ненульовими у перших двох рядках і стовпцях будуть лише діагональні елементи. Продовжуючи по індукції процес завершиться після кроку p коли у одержаній матриці усі елементи окрім перших p діагональних будуть рівні 0 (це відбудеться найпізніше після кроків).
Крок 2. Впорядкування діагональних елементів
На цьому етапі одержана діагональна матриця, як у твердженні теореми але її діагональні елементи можуть не задовольняти умови подільності. Якщо перші два діагональні елементи є рівні і то з матричної рівності
випливає, що помноживши одержану діагональну матрицю зліва на квадратну матрицю де ненульовими є лише діагональні елементи і елемент у першому рядку і другому стовпці, які всі є рівні 1 одержиться матриця, яка від початкової відрізняється лише елементом у першому рядку і другому стовпці, який є рівним . Після застосування щодо першого рядка процесу із попереднього кроку одержиться матриця де перший елемент першого рядка є рівний найбільшому спільному дільнику і , а всі інші елементи першого рядка рівні 0. У другому рядку всі елементи крім перших двох є рівні 0, а перші два згідно формул перетворення діляться на . Тоді після застосування процесу щодо першого стовпця єдиною зміною буде занулення першого елемента другого рядка. Таким чином результатом на цьому етапі буде діагональна матриця перший діагональний елемент якої ділить другий діагональний елемент.
Далі процес можна повторити для першого і третього рядків і стовпців і одержати еквівалентну діагональну матрицю у якої перший діагональний елемент якої ділить другий і третій діагональні елементи. Повторні застосування до наступних діагональних елементів дає еквівалентну діагональну матрицю у якій перший діагональний елемент ділить усі наступні.
Далі процес можна повторити для другого діагонального елемента і всіх наступних. В одержаній після цих кроків матриці другий діагональний елемент ділить всі наступні. Додатково оскільки усі діагональні елементи на початку цього етану ділилися на перший діагональний елемент то і їх суми і добутки теж, відповідно після всього етапу одерджаний другий діагональний елемент теж ділиться на перший.
Продовжуючи цей процес до кінця можна одержати еквівалентну матрицю у нормальній формі Сміта.
Приклад
Розглянемо матрицю елементами якої є цілі числа:
Процес зведення її до нормальної форми Сміта:
Отже нормальною формою Сміта початкової матриці є:
- .
Застосування
З теореми про нормальну форму Сміта випливає відома теорема про структуру скінченнопороджених модулів над областями головних ідеалів. Зокрема, якщо — кільце цілих чисел, то з нормальної форми Сміта виходить теорема про будову скінченнопороджених абелевих груп, а якщо — кільце многочленів над алгебрично замкнутим полем , то з неї можна вивести теорему про жорданову форму лінійного оператора.
Див. також
Примітки
Література
- Задачи и теоремы линейной алгебры. — М. : Наука, 1996. — 304 с. — .
- Cohn, P. M. (2000), Introduction to ring theory, Springer Undergraduate Mathematics Series, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1732101
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Normalna forma Smita ce diagonalna ne obov yazkovo kvadratna matricya nad oblastyu golovnih idealiv kozhen nastupnij diagonalnij element yakoyi dilitsya na poperednij Bud yaku matricyu nad oblastyu golovnih idealiv mozhna zvesti do normalnoyi formi Smita mnozhennyam zliva i sprava na oborotni matrici FormulyuvannyaDlya bud yakoyi matrici A displaystyle A rozmiru m n displaystyle m times n nad oblastyu golovnih idealiv R displaystyle R isnuyut taki oborotni nad R displaystyle R matrici B displaystyle B i C displaystyle C sho B A C d i a g g 1 g 2 g p 0 0 displaystyle BAC diag g 1 g 2 g p 0 0 de g i 1 displaystyle g i 1 dilitsya na g i displaystyle g i Tut d i a g g 1 g 2 g p 0 0 displaystyle diag g 1 g 2 g p 0 0 poznachaye matricyu rozmiru m n displaystyle m times n z zaznachenimi diagonalnimi elementami ta inshimi nulyami Elementi g i displaystyle g i viznacheni iz tochnistyu do mnozhennya na oborotni elementi oblasti R displaystyle R i mozhut buti obchisleni iz tochnistyu do mnozhennya na oborotni elementi za dopomogoyu formuli g i d i A d i 1 A displaystyle g i frac d i A d i 1 A de d i A displaystyle d i A ye najbilshim spilnim dilnikom usih nenulovih i i displaystyle i times i minoriv matrici A a d 0 A 1 displaystyle d 0 A 1 Cya rivnist ochevidna yaksho matricya uzhe ye u normalnij formi Smita oskilki yedinimi nenulovimi minorami poryadku i i displaystyle i times i ye dobutki deyakih i elementiv iz poslidovnosti g 1 g p displaystyle g 1 ldots g p i z vlastivostej podilnosti poslidovnih elementiv ciyeyi poslidovnosti viplivaye sho u comu vipadku d i A g 1 g 2 g i displaystyle d i A g 1 cdot g 2 cdot ldots cdot g i zvidki vidrazu viplivaye formula U zagalnomu vipadku tverdzhennya ye naslidkom vlastivostej najbilshih spilnih dilnikiv minoriv matric dlya matrici A displaystyle A rozmiru m n displaystyle m times n i oborotnih matric B displaystyle B i C displaystyle C vidpovidnih poryadkiv najbilshij spilnij dilnik usih nenulovih i i displaystyle i times i minoriv matrici A ye rivnim najbilshomu spilnomu dilniku usih nenulovih i i displaystyle i times i minoriv matrici B A displaystyle BA i najbilshomu spilnomu dilniku usih nenulovih i i displaystyle i times i minoriv matrici A C displaystyle AC Cyu vlastivist mozhna dovesti za dopomogoyu formuli Bine Koshi z yakoyi viplivaye sho kozhen i i displaystyle i times i minor matrici B A displaystyle BA ye sumoyu dobutkiv deyakih i i displaystyle i times i minoriv matrici B displaystyle B na i i displaystyle i times i minori matrici A displaystyle A Oskilki vsi i i displaystyle i times i minori matrici A displaystyle A dilyatsya na d i A displaystyle d i A to i vidpovidni dobutki minoriv i yih suma tezh dilyatsya na d i A displaystyle d i A Vidpovidno vsi i i displaystyle i times i minori matrici B A displaystyle BA dilyatsya na d i A displaystyle d i A i tomu d i B A displaystyle d i BA dilitsya na d i A displaystyle d i A Ale A B 1 B A displaystyle A B 1 cdot BA tomu analogichno d i A displaystyle d i A dilitsya na d i B A displaystyle d i BA i d i A d i B A displaystyle d i A d i BA Podibnim chinom d i A d i A C displaystyle d i A d i AC i razom takozh d i A d i B A C displaystyle d i A d i BAC tozh situaciya zvoditsya do vipadku matric u normalnij formi Smita DovedennyaDovedennya isnuvannya normalnoyi formi Smita dlya kozhnoyi matrici nad oblastyu golovnih idealiv viplivaye iz vlastivostej cih oblastej A same kozhen neoborotnij element r R displaystyle r in R de R displaystyle R ye oblastyu golovnih idealiv mozhe buti zapisanij yak dobutok nezvidnih elementiv abo ekvivalentno prostih elementiv oskilki u oblastyah golovnih idealiv element ye nezvidnim todi i tilki todi koli vin ye prostim r r 1 r 2 r n displaystyle r r 1 cdot r 2 ldots cdot r n de elementi u dobutku mozhut povtoryuvatisya i rozklad ye yedinim iz tochnistyu do mnozhennya elementiv na oborotni elementi i poryadok elementiv Zokrema chislo n kilkist mnozhnikiv u rozkladi elementa ne zalezhit vid konkretnogo rozkladu Ce chislo nazivayetsya dovzhinoyu elementa U oblastyah golovnih idealah isnuye ponyattya najbilshogo spilnogo dilnika Zokrema yaksho dlya dvoh neoborotnih elementiv dano rozklad na dobutok nezvidnih elementiv to NSD ye rivnim dobutku spilnih mnozhnikiv vklyuchayuchi kratnist i z tochnistyu na mnozhennya na oborotni elementi u cih rozkladah Najbilshij spilnij dilnik viznachenij z tochnistyu do mnozhennya na oborotni elementi jogo oznachennya mozhna dati dlya dovilnoyi skinchennoyi kilkosti elementiv i dovzhina NSD ye ne bilshoyu nizh dovzhina usih elementiv Yaksho dlya dvoh elementiv r s R displaystyle r s in R element d displaystyle d ye najbilshim spilnim dilnikom to isnuyut elementi x y R displaystyle x y in R dlya yakih x r y s d displaystyle xr ys d totozhnist Bezu Krok 1 Zvedennya do diagonalnoyi matrici Nehaj teper A displaystyle A ye matriceyu rozmirnosti m n displaystyle m times n nad oblastyu golovnih idealiv R displaystyle R Usi matrici oderzhani z A displaystyle A mnozhennyam zliva i sprava na oborotni matrici nazivayutsya ekvivalentnimi Potribno dovesti sho ye ekvivalentna matricya u normalnij formi Smita Oskilki nulova matricya uzhe ye u formi Smita mozhna vvazhati sho u matrici A displaystyle A isnuyut nenulovi elementi Perestanovkoyu ryadkiv i stovpciv matrici tobto mnozhennyam vidpovidno zliva i sprava na matrici perestanovok mozhna oderzhati ekvivalentnu matricyu u yakoyi nenulovim ye element u pershomu ryadku i pershomu stovpci Nehaj ce element a displaystyle a Yaksho pri comu element b displaystyle b u pershomu ryadku i drugomu stovpci ne ye rivnim nulyu to mnozhennyam na deyaku matricyu sprava mozhna dosyagnuti zamini elementa a displaystyle a na najbilshij spilnij dilnik a displaystyle a i b displaystyle b a b displaystyle b na nul A same nehaj d displaystyle d ye NSD elementiv a displaystyle a i b displaystyle b a x a y b d displaystyle xa yb d ye vidpovidnoyu totozhnistyu Bezu Yaksho a d a b d b displaystyle a da b db to x a y b 1 displaystyle xa yb 1 i a b d 0 a b y x displaystyle a b d 0 begin pmatrix a amp b y amp x end pmatrix i oskilki viznachnik vkazanoyi matrici ye rivnim 1 to d 0 a b x b y a displaystyle d 0 a b begin pmatrix x amp b y amp a end pmatrix Tobto pomnozhivshi sprava na matricyu u yakoyi elementi u pershih dvoh stovpcyah i ryadkah ye x b y a textstyle begin pmatrix x amp b y amp a end pmatrix usi inshi diagonalni elementi rivni 1 a vsi inshi nediagonalni elementi rivni 0 oderzhuyemo ekvivalentnu matricyu u yakoyi pershi dva elementi pershogo ryadka ye d displaystyle d i 0 Pri comu yaksho a displaystyle a ye najbilshim spilnim dilnikom elementiv a displaystyle a i b displaystyle b to vnaslidok cogo peretvorennya pershij stovpec ne zminitsya U takij zhe sposib poslidovno rozglyadayuchi nastupni elementi i modifikuyuchi matricyu na yaku mnozhitsya sprava tak shob elementi oderzhani iz totozhnosti Bezu buli poslidovno na pershomu i tretomu potim pershomu i chetvertomu ryadkah i stovpcyah i t d oderzhuyemo zreshtoyu ekvivalentnu matricyu u yakoyi pershim elementom ye najbilshij spilnij dilnik usih nenulovih elementiv pershogo ryadka a vsi inshi elementi pershogo ryadka ye rivni 0 Yaksho pri comu yaksho a displaystyle a buv najbilshim spilnim dilnikom usih elementiv pershogo ryadka to pershij stovpec vnaslidok cih peretvoren ne zminitsya V inshomu vipadku zamist a displaystyle a na pershomu misci u pershomu ryadku bude inshij element strogo menshoyi dovzhini Pislya cogo podibnim chinom mozhna mnozhennyam na vidpovidni matrici zliva mozhna oderzhati ekvivalentnu matricyu u yakoyi vsi elementi pershogo stovpcya krim pershogo ye rivnimi nulyu Yaksho na pochatku cogo procesu pershij element u stovpci ne buv NSD usih elementiv stovpcya to v cij matrici elementi u pershomu ryadku pislya pershogo mozhut ne buti rivnimi nulyu ale u comu vipadku dovzhina elementa na peretini pershih stovpcya i ryadka znovu zmenshitsya U comu vipadku potribno povtoryuvati ves proces dlya pershogo ryadka i potim mozhlivo stovpcya Oskilki dovzhina elementa ye skinchennim chislom to cherez skinchennu kilkist podibnih krokiv dovzhina elementa ne bude zmenshuvatisya U comu vipadku vsi elementi pershogo ryadka i stovpcya krim elementa na yih peretini budut rivni nulyu Dali proceduru potribno povtoriti dlya pidmatrici oderzhanoyi matrici bez pershih ryadka i stovpcya V rezultati oderzhitsya matricya de nenulovimi u pershih dvoh ryadkah i stovpcyah budut lishe diagonalni elementi Prodovzhuyuchi po indukciyi proces zavershitsya pislya kroku p koli u oderzhanij matrici usi elementi okrim pershih p diagonalnih budut rivni 0 ce vidbudetsya najpiznishe pislya p min m n displaystyle p min m n krokiv Krok 2 Vporyadkuvannya diagonalnih elementiv Na comu etapi oderzhana diagonalna matricya yak u tverdzhenni teoremi ale yiyi diagonalni elementi mozhut ne zadovolnyati umovi podilnosti Yaksho pershi dva diagonalni elementi ye rivni h 1 displaystyle h 1 i h 2 displaystyle h 2 to z matrichnoyi rivnosti 1 1 0 1 h 1 0 0 h 2 h 1 h 2 0 h 2 displaystyle begin pmatrix 1 amp 1 0 amp 1 end pmatrix begin pmatrix h 1 amp 0 0 amp h 2 end pmatrix begin pmatrix h 1 amp h 2 0 amp h 2 end pmatrix viplivaye sho pomnozhivshi oderzhanu diagonalnu matricyu zliva na kvadratnu matricyu de nenulovimi ye lishe diagonalni elementi i element u pershomu ryadku i drugomu stovpci yaki vsi ye rivni 1 oderzhitsya matricya yaka vid pochatkovoyi vidriznyayetsya lishe elementom u pershomu ryadku i drugomu stovpci yakij ye rivnim h 2 displaystyle h 2 Pislya zastosuvannya shodo pershogo ryadka procesu iz poperednogo kroku oderzhitsya matricya de pershij element pershogo ryadka ye rivnij najbilshomu spilnomu dilniku h 1 displaystyle h 1 i h 2 displaystyle h 2 a vsi inshi elementi pershogo ryadka rivni 0 U drugomu ryadku vsi elementi krim pershih dvoh ye rivni 0 a pershi dva zgidno formul peretvorennya dilyatsya na h 2 displaystyle h 2 Todi pislya zastosuvannya procesu shodo pershogo stovpcya yedinoyu zminoyu bude zanulennya pershogo elementa drugogo ryadka Takim chinom rezultatom na comu etapi bude diagonalna matricya pershij diagonalnij element yakoyi dilit drugij diagonalnij element Dali proces mozhna povtoriti dlya pershogo i tretogo ryadkiv i stovpciv i oderzhati ekvivalentnu diagonalnu matricyu u yakoyi pershij diagonalnij element yakoyi dilit drugij i tretij diagonalni elementi Povtorni zastosuvannya do nastupnih diagonalnih elementiv daye ekvivalentnu diagonalnu matricyu u yakij pershij diagonalnij element dilit usi nastupni Dali proces mozhna povtoriti dlya drugogo diagonalnogo elementa i vsih nastupnih V oderzhanij pislya cih krokiv matrici drugij diagonalnij element dilit vsi nastupni Dodatkovo oskilki usi diagonalni elementi na pochatku cogo etanu dililisya na pershij diagonalnij element to i yih sumi i dobutki tezh vidpovidno pislya vsogo etapu oderdzhanij drugij diagonalnij element tezh dilitsya na pershij Prodovzhuyuchi cej proces do kincya mozhna oderzhati ekvivalentnu matricyu u normalnij formi Smita PrikladRozglyanemo matricyu elementami yakoyi ye cili chisla 2 4 4 6 6 12 10 4 16 displaystyle begin pmatrix 2 amp 4 amp 4 6 amp 6 amp 12 10 amp 4 amp 16 end pmatrix Proces zvedennya yiyi do normalnoyi formi Smita 2 0 0 6 18 24 10 16 4 2 0 0 0 18 24 0 16 4 displaystyle to begin pmatrix 2 amp 0 amp 0 6 amp 18 amp 24 10 amp 16 amp 4 end pmatrix to begin pmatrix 2 amp 0 amp 0 0 amp 18 amp 24 0 amp 16 amp 4 end pmatrix 2 0 0 0 2 20 0 16 4 2 0 0 0 2 20 0 0 156 displaystyle to begin pmatrix 2 amp 0 amp 0 0 amp 2 amp 20 0 amp 16 amp 4 end pmatrix to begin pmatrix 2 amp 0 amp 0 0 amp 2 amp 20 0 amp 0 amp 156 end pmatrix 2 0 0 0 2 0 0 0 156 displaystyle to begin pmatrix 2 amp 0 amp 0 0 amp 2 amp 0 0 amp 0 amp 156 end pmatrix Otzhe normalnoyu formoyu Smita pochatkovoyi matrici ye 2 0 0 0 2 0 0 0 156 displaystyle begin pmatrix 2 amp 0 amp 0 0 amp 2 amp 0 0 amp 0 amp 156 end pmatrix ZastosuvannyaZ teoremi pro normalnu formu Smita viplivaye vidoma teorema pro strukturu skinchennoporodzhenih moduliv nad oblastyami golovnih idealiv Zokrema yaksho R displaystyle R kilce cilih chisel to z normalnoyi formi Smita vihodit teorema pro budovu skinchennoporodzhenih abelevih grup a yaksho R F t displaystyle R F t kilce mnogochleniv nad algebrichno zamknutim polem F displaystyle F to z neyi mozhna vivesti teoremu pro zhordanovu formu linijnogo operatora Div takozhErmitova normalna formaPrimitkiZadachi i teoremy linejnoj algebry 1996 s 128 LiteraturaZadachi i teoremy linejnoj algebry M Nauka 1996 304 s ISBN 5 02 014727 3 Cohn P M 2000 Introduction to ring theory Springer Undergraduate Mathematics Series Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 1 85233 206 8 MR 1732101