Формула Біне — Коші

Формула Біне — Коші — теорема про визначник добутку прямокутних матриць (при умові, що добуток є квадратною матрицею).

Добуток прямокутних матриць ${\displaystyle \ A}$ та ${\displaystyle \ B}$ є квадратною матрицею розміру ${\displaystyle \ m}$, якщо ${\displaystyle \ A}$ має ${\displaystyle \ n}$ стовпців та ${\displaystyle \ m}$ рядків, а ${\displaystyle \ B}$ — навпаки.

Мінори матриць ${\displaystyle \ A}$ та ${\displaystyle \ B}$ порядку рівного меншому з чисел ${\displaystyle \ n}$ та ${\displaystyle \ m}$ називаються відповідними один одному, якщо номера стовпців в матриці ${\displaystyle \ A}$ однакові з номерами рядків в матриці ${\displaystyle \ B}$.

Теорема

Визначник матриці ${\displaystyle AB\,}$ рівний нулю, якщо ${\displaystyle \ n<m}$, або дорівнює сумі попарних добутків відповідних мінорів порядку ${\displaystyle \ m}$, якщо ${\displaystyle n\geqslant m}$ (сумма береться по всім наборам стовпців матриці ${\displaystyle \ A}$ та рядків матриці ${\displaystyle \ B}$ зі зростаючими номерами ${\displaystyle \ i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{m}}$).

Приклад

Нехай

${\displaystyle A=\left({\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{n}\\\end{matrix}}\right),\quad B=\left({\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\\\vdots &\vdots \\a_{n}&b_{n}\\\end{matrix}}\right).}$

Тоді

${\displaystyle A\,B=\left({\begin{matrix}a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}&a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}\\a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}&b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2}\\\end{matrix}}\right),}$

і відповідні мінори мають вигляд

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{i}&b_{i}\\a_{j}&b_{j}\\\end{matrix}}\right|}$

для всіх ${\displaystyle i<j}$, від ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle n}$.

Формула Біне — Коші в даному прикладі дає рівність

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2})-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n})^{2}=\sum _{i<j}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2},}$

із якої (у випадку дійсних чисел) випливає нерівність Коші — Буняковського:

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2})\geqslant (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n})^{2}.}$

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)