Добуток мір

Добуток мір — задання міри на декартовому добутку двох множин з мірою. Має широке застосування в теорії міри, теорії ймовірностей і функціональному аналізі.

Побудова

Нехай ${\displaystyle (X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}),\;i=1,\;2}$ — два вимірних простори, а ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ — декартовий добуток множин ${\displaystyle X_{1}}$ і ${\displaystyle X_{2}}$.

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}}$ є сім'єю підмножин ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$. Воно не є сигма-алгеброю. Позначимо

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}=\sigma ({\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2})}$

мінімальну ${\displaystyle \sigma }$-алгебру, що містить всі множини з ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}}$. Тоді ${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2})}$ — вимірний простір. Визначимо на ньому міру ${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}\colon {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}\to \mathbb {R} }$ як:

${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\mu _{1}(A_{1})\cdot \mu _{2}(A_{2}),\quad \forall A=A_{1}\times A_{2}\in {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}.}$

${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}$ можна продовжити з ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}}$:

${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{2}}\mu _{1}(A_{x_{2}})\,\mu _{2}(dx_{2}),\quad A\in {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}}$

і

${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{1}}\mu _{2}(A_{x_{1}})\,\mu _{1}(dx_{1}),}$

де

${\displaystyle A_{x_{2}}=\{x_{1}\in X_{1}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}}$ — перетин ${\displaystyle A}$ вздовж ${\displaystyle x_{2}\in X_{2}}$, а

${\displaystyle A_{x_{1}}=\{x_{2}\in X_{2}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}}$ — перетин ${\displaystyle A}$ вздовж ${\displaystyle x_{1}\in X_{1}}$.

Визначена міра ${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}$ називається добутком мір ${\displaystyle \mu _{1}}$ і ${\displaystyle \mu _{2}}$. Простір з мірою ${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2})}$ називається (прямим) добутком початкових просторів з мірою.

Властивості

• Добуток мір завжди визначений коректно для будь-яких вимірних просторів.
• Для просторів з мірою ${\displaystyle (X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}),\;i=1,\;2}$ добуток мір може бути визначеним неоднозначно. Достатньою умовою однозначності добутку мір є сигма-скінченність обох мір.
• Для довільних просторів з мірою однозначно визначений максимальний добуток мір ${\displaystyle (\mu _{1}\otimes \mu _{2})_{max}}$ такий, що якщо значення ${\displaystyle (\mu _{1}\otimes \mu _{2})_{max}(A)}$ є скінченним то для всіх добутків мір їх значення на множині A теж рівне ${\displaystyle (\mu _{1}\otimes \mu _{2})_{max}(A).}$

Визначення в теорії ймовірностей

• Якщо ${\displaystyle (\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mathbb {P} _{i}),\;i=1,\;2}$ — два ймовірнісних простори, то ${\displaystyle (\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2})}$ називається їх добутком.
• Якщо ${\displaystyle X,\;Y\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ — випадкові величини, то ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X},\;\mathbb {P} ^{Y}}$ — розподіли на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ відповідно, а ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X,\;Y}}$ — розподіл на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ випадкового вектора ${\displaystyle (X,\;Y)^{\top }}$. Якщо ${\displaystyle X,\;Y}$ — незалежні, то

${\displaystyle \mathbb {P} ^{X,\;Y}=\mathbb {P} ^{X}\otimes \mathbb {P} ^{Y}.}$

Приклад

• Міра Лебега ${\displaystyle m_{n}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ може бути визначена як добуток ${\displaystyle n}$ одновимірних мір Лебега ${\displaystyle m_{1}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$:

${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\bigotimes \limits _{i=1}^{n}{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$

де ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ позначає борелівську ${\displaystyle \sigma }$-алгебру на просторі ${\displaystyle X}$, і

${\displaystyle m_{n}=\bigotimes \limits _{i=1}^{n}m_{1}.}$

• Для прикладу добутку просторів з мірою на якому добуток з мірою визначений не єдиним чином нехай ${\displaystyle X_{1},X_{2}=[0,1]\subset \mathbb {R} .}$ На першій множині введемо звичайну міру Лебега, на другій — лічильну міру на сигма-алгебрі всіх підмножин. Тоді двома варіантами добутку мір є: 1. Міра, що кожній множині ставить у відповідність суму усіх її горизонтальних перерізів. 2. Максимальна міра, яка може бути скінченною тільки для множин, що є зліченною сумою множин виду A×B, де або A є множиною лебегової міри нуль або B є одноточковою множиною.

На діагоналі множини ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$ перша міра рівна 0, а друга — нескінченності.

Див. також

• Теорема Фубіні.

Джерела

• Дороговцев, А. Я. (1989), Элементы общей теории меры и интеграл, К.: Вища школа, с. 152, ISBN 
• Cohn, Donald L. (1997) [1980], Measure theory (вид. reprint), Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag, с. IX+373, ISBN