Граничні умови (ГУ) — умови, що характеризують шукану функцію на зовнішніх i внутрішніх границях потоку. Кількість ГУ має дорівнювати порядку диференціального рівняння за просторовими координатами. ГУ задаються у вигляді шуканої функції (ГУ першого типу), її похідної (відповідно — другого типу) або в мішаному вигляді, включаючи функцію та її похідну (відповідно — третього типу).
У теорії диференціальних рівнянь, початкові і граничні умови — доповнення до основного диференціального рівняння (звичайного або з частинними похідними), що задає його поведінку в початковий момент часу або на границі розглянутої області відповідно.
Зазвичай диференціальне рівняння має не один розв'язок, а множину. Початкові і граничні умови дозволяють вибрати з нього один розв'язок, що відповідає реальному фізичному процесу чи явищу. У теорії звичайних диференціальних рівнянь доведено розв'язку задачі з початковими умовами (так звана задача Коші). Для рівнянь у часткових похідних отримані деякі теореми існування і єдиності рішень для певних класів початкових і крайових задач.
Термінологія
Іноді до граничних відносять і початкові умови в нестаціонарних задачах, таких як розв'язок або .
Для стаціонарних задач існує поділ граничних умов на головні і природні.
Головні умови зазвичай мають вигляд , де
— межа області
.
Природні умови містять також і похідну рішення по нормалі до границі.
Приклад
Рівняння
описує рух тіла в . Йому задовольняє будь-яка квадратична функція виду
,
де — довільні числа. Для виведення конкретного закону руху необхідно вказати початкові координати тіла і його швидкість, тобто початкові умови.
Коректність постановки граничних умов
Задачі математичної фізики описують реальні фізичні процеси, а тому їх постановка повинна задовольняти наступним природним вимогам:
- Розв'язок повинен існувати у будь-якому класі функцій;
- Розв'язок має бути єдиним у будь-якому класі функцій;
- Розв'язок повинен неперервно залежати від даних (початкових і граничних умов, вільного члена, коефіцієнтів тощо).
Вимога неперервної залежності розв'язку зумовлюється тією обставиною, що фізичні дані, як правило, визначаються з експерименту наближено, і тому треба бути впевненим у тому, що розв'язок задачі у рамках обраної математичної моделі не буде істотно залежати від похибки вимірювань. Математично цю вимогу можна записати, наприклад, наступним чином (для незалежності від вільного члена): Нехай задані два диференціальні рівняння: з однаковими диференціальними операторами і однаковими граничними умовами, тоді їх розв'язки будуть неперевно залежати від вільного члена, якщо:
розв'язки відповідних рівнянь.
Множина функцій, для яких виконуються перелічені вимоги, називається класом коректності. Некоректну постановку граничних умов добре ілюструє (приклад Адамара).
Див. також
- Задача Коші
- Крайова задача
- [en]
- (Граничні умови 1 роду (Задача Діріхле))
- (Граничні умови 2 роду (Задача Неймана))
- (Граничні умови 3 роду (Задача Робена))
- Граничні умови при ідеальному тепловому контакті
- Коректно поставлена задача
Література
- Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. —
- А. М. Ахтямов Теория идентификации краевых условий и ее приложения. — М. : Физматлит, 2009.
- А. М. Ахтямов, В. А. Садовничий, Султанаев Я. Т. Обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. — М.: Изд-во Московского университета, 2009.
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет