Ізотомічне спряження

У планіметрії ізотомічним спряженням називають одне з перетворень площини, що породжується заданим на площині трикутником ${\displaystyle ABC}$.

Визначення

Нехай дано трикутник ${\displaystyle ABC}$, у якого ${\displaystyle A_{0}}$ — середина сторони ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle B_{0}}$ — середина ${\displaystyle AC}$ і ${\displaystyle C_{0}}$ — середина сторони ${\displaystyle AB}$. Нехай також на площині вибрано довільну точку ${\displaystyle P}$, яка не лежить на прямих, що містять його сторони. Тоді розглянемо прямі ${\displaystyle AP}$, ${\displaystyle BP}$ і ${\displaystyle CP}$. Нехай вони перетинають прямі, що містять протилежні сторони трикутника, відповідно в точках ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle B_{1}}$ і ${\displaystyle C_{1}}$ (якщо прямі виявляться паралельними, точкою перетину вважається нескінченно віддалена точка прямої). Згідно з теоремою Чеви, ${\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}}{A_{1}C}}\cdot {\frac {CB_{1}}{B_{1}A}}=1}$. Якщо тепер точки ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle B_{1}}$ і ${\displaystyle C_{1}}$ симетрично відбити відносно ${\displaystyle A_{0}}$, ${\displaystyle B_{0}}$ і ${\displaystyle C_{0}}$ відповідно, вийдуть точки ${\displaystyle A_{2}}$, ${\displaystyle B_{2}}$ і ${\displaystyle C_{2}}$ (нескінченно віддалена точка переходить сама в себе). Оскільки ${\displaystyle AC_{1}=BC_{2}}$, ${\displaystyle AC_{2}=BC_{1}}$ і так само для інших пар точок, отримуємо ${\displaystyle 1={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}}{A_{1}C}}\cdot {\frac {CB_{1}}{B_{1}A}}={\frac {BC_{2}}{C_{2}A}}\cdot {\frac {CA_{2}}{A_{2}B}}\cdot {\frac {AB_{2}}{B_{2}C}}}$ і, згідно з тією ж теоремою Чеви, прямі ${\displaystyle AA_{2}}$, ${\displaystyle BB_{2}}$ і ${\displaystyle CC_{2}}$ перетинаються в одній точці ${\displaystyle P'}$. Ця точка називається ізотомічно спряженою точці ${\displaystyle P}$ відносно трикутника ${\displaystyle ABC}$.

Ізотомічне спряження встановлює взаємно-однозначну відповідність між точками площини з виключеними прямими ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$ і ${\displaystyle AC}$. На цих прямих відповідність не є взаємно-однозначною, так будь-якій точці прямої ${\displaystyle BC}$ відповідає вершина ${\displaystyle A}$ (і навпаки, вершині ${\displaystyle A}$ — будь-яка точка ${\displaystyle BC}$) тощо.

Координати

Якщо барицентричні координати точки ${\displaystyle P}$ дорівнюють ${\displaystyle (p:q:r)}$, то барицентричні координати ізотомічно спряженої їй точки ${\displaystyle P'}$ дорівнюють ${\displaystyle \left({\frac {1}{p}}:{\frac {1}{q}}:{\frac {1}{r}}\right)}$.

Якщо трилінійні координати точки ${\displaystyle P}$ дорівнюють ${\displaystyle (p:q:r)}$, То трилінійні координати ізотомічно спряженої їй точки ${\displaystyle P'}$ дорівнюють ${\displaystyle \left({\frac {1}{a^{2}p}}:{\frac {1}{b^{2}q}}:{\frac {1}{c^{2}r}}\right)}$.

Інше визначення

Якщо замість симетричної чевіани взяти чевіану, основа якої віддалена від середини сторони так само, як і основа початкової, то такі чевіани також перетнуться в одній точці. Отримане перетворення називають ізотомічним спряженням. Воно також переводить прямі в описані коніки. Під час афінних перетворень ізотомічно спряжені точки переходять в ізотомічно спряжені. За ізотомічного спряження в перейде описаний еліпс Штейнера.

Властивості

• Ізотомічне спряження є симетрією, тобто його квадрат тривіальний.
• Нерухомими точками (тобто такими, що переходять самі в себе) ізотомічного спряження є центроїд (інші назви: барицентр або центр мас, тобто точка перетину медіан) трикутника ${\displaystyle ABC}$ і точки, симетричні вершинам трикутника відносно середин протилежних сторін.
• Точки Жергонна і Наґеля ізотомічно спряжені.
• Точці Лемуана (точці перетину симедіан) трикутника ізотомічно спряжена його точка Брокара.
• Точці перетину бісектрис (інцентру) ізотомічно спряжена точка перетину антибісектрис.
• Прямі загального положення відносно трикутника за ізотомічного спряження переходять в описані навколо нього коніки, і навпаки.

Див. також

• Ізогональне спряження

Посилання

• А. Г. Мякішев «Елементи геометрії трикутника», М., МЦНМО, 2002 [ 27 грудня 2021 у Wayback Machine.]
• Е. [ 30 серпня 2021 у Wayback Machine.] А. [ 30 серпня 2021 у Wayback Machine.] Куланін, А. [ 30 серпня 2021 у Wayback Machine.] Г. [ 30 серпня 2021 у Wayback Machine.] Мякішев «Про деякі кониках, пов'язаних з трикутником» [ 30 серпня 2021 у Wayback Machine.]