Центральною симетрією відносно точки A displaystyle A називають перетворення простору яке переводить точку X у таку точк

Центральною симетрією відносно точки $A$ називають перетворення простору, яке переводить точку X у таку точку X′, що $A$ — середина відрізка XX′. Центральну симетрію з центром у точці A зазвичай позначають через $Z_{A}$ . Фігуру називають симетричною відносно точки A, якщо для кожної точки фігури точка, симетрична їй відносно точки A, також належить цій фігурі. Точку A називають центром симетрії фігури. Кажуть також, що фігура має центральну симетрію.

Інша назва цього перетворення — симетрія з центром A. Центральна симетрія в планіметрії є окремим випадком повороту, точніше, є поворотом на 180 градусів.

Векторний запис

Нехай G — оператор центральної симетрії, точку A задано радіус-вектором ${\vec {r_{A}}}$ , а перетворювана точка задається радіус-вектором ${\vec {x}}$ . Тоді виконується така формула:

G({\vec {x}})=2{\vec {r_{A}}}-{\vec {x}}

Пов'язані визначення

Якщо фігура переходить у себе при симетрії відносно точки $A$ , то $A$ називають центром симетрії цієї фігури, а саму фігуру називають центрально-симетричною.

Властивості

Центральна симетрія є рухом (ізометрією).
В n-вимірному просторі, якщо перетворення R є послідовним відбиттям відносно n взаємно перпендикулярних гіперплощин, то R — центральна симетрія відносно спільної точки цих гіперплощин. Як наслідок:
- У парновимірних просторах центральна симетрія зберігає орієнтацію, а в непарновимірних — не зберігає.
Центральну симетрію можна подати також як гомотетію з центром A і коефіцієнтом -1 ( $H_{A}^{-1}$ ).
Композиція двох центральних симетрій — паралельне перенесення на подвоєний вектор з першого центра в другій:
$Z_{A}\circ Z_{B}=T_{2{\vec {AB}}}$
В одновимірному просторі (на прямій) центральна симетрія є дзеркальною симетрією.
На площині (в 2-вимірному просторі) симетрія з центром A є поворотом на 180° із центром A ( $R_{A}^{180}$ ). Центральна симетрія на площині, як і поворот, зберігає орієнтацію.
Центральну симетрію в тривимірному просторі можна подати як композицію відбиття відносно площини, що проходить через центр симетрії, з поворотом на 180° відносно прямої, що проходить через центр симетрії і перпендикулярна до згаданої площини відбиття.
У 4-вимірному просторі центральну симетрію можна подати як композицію двох поворотів на 180° відносно двох взаємно перпендикулярних площин (перпендикулярних у 4-вимірному сенсі, див. Перпендикулярність площин у 4-вимірному просторі), що проходять через центр симетрії.

У кристалофізиці

Центр симетрії в кристалофізиці позначається ${\bar {1}}$ .

Кристали з центрами інверсії характерні тим, що в них неможливе існування полярних прямих, тобто прямих із виділеним напрямком. Для цих кристалів усі тензори непарних рангів дорівнюють нулю. Наприклад, у кристалах з центром інверсії неможливе існування спонтанного дипольного моменту, тобто вони не можуть бути сегнетоелектриками.

Див. також

Література

Бобылёв Д. К. Центр, в физике // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп. т.). — СПб., 1890—1907. (рос. дореф.)
Центр, в геометрии // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп. т.). — СПб., 1890—1907. (рос. дореф.)

Посилання

Симетрія центральна // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.