Центр маси

Це́нтр іне́рції або центр мас системи матеріальних точок масою ${\displaystyle m_{i}}$ із радіус-векторами ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ визначається як

${\displaystyle \mathbf {r} _{c}={\frac {\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{\sum _{i}m_{i}}}}$.

У випадку суцільного тіла із густиною ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$:

${\displaystyle \mathbf {r} _{c}={\frac {\int \rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} dV}{\int \rho (\mathbf {r} )dV}}}$

Система центра мас

Докладніше: Система центра мас

Зручність введення поняття центра інерції в тому, що рівняння руху для нього в багатьох випадках можна відокремити від рівнянь руху складових системи матеріальних точок відносно цього центра. Наприклад, центр руху замкненої системи матеріальних часток рухається в інерційній системі координат рівномірно й прямолінійно. У такому випадку зручно перейти до системи центра мас, тобто зв'язати початок системи координат з центром інерції і розглядати лише відносний рух часток, які входять у систему.

Схожа ситуація виникає тоді, коли система незамкнена, але сили, які діють на матеріальні точки пропорційні їхнім масам. Таку властивість мають сили тяжіння. У такому випадку центр інерції рухається з прискоренням, яке визначається відношенням сумарної сили до повної маси системи часток. Систему матеріальних часток можна розглядати, як одну матеріальну частку із масою, яка дорівнює сумарній масі усіх часток, розташовану в центрі інерції.

Рух твердого тіла довільної форми можна розділити на поступальний рух центра мас та обертальний рух відносно цього центра.

Балансування

В умовах земного тяжіння центр мас тіла збігається із його центром ваги. Тіло складної форми на плоскій поверхні перебуває в рівновазі, якщо лінія, проведена вертикально через центр мас, проходить через площу опори.

Центри мас плоских однорідних фігур

• У відрізка — середина.
• У багатокутників (як суцільних плоских фігур, так і каркасів):
  • У паралелограма — точка перетину діагоналей.
  • У трикутника — точка перетину медіан.
• У правильного многокутника — центр поворотної симетрії.
• У півкола — точка, що ділить перпендикулярний радіус щодо 4:3π від центра кола.

Координати центра мас однорідної плоскої фігури можна обчислити за формулами (наслідок з теорем Паппа — Гульдіна):

${\displaystyle x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}}$ і ${\displaystyle y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}}$, де ${\displaystyle V_{x},V_{y}}$ — обсяг тіла, отриманого обертанням фігури навколо відповідної осі, ${\displaystyle S}$ — площа фігури.

Центри мас периметрів однорідних фігур

• Центр мас сторін трикутника знаходиться в центрі вписаного кола додаткового трикутника (трикутника з вершинами, розташованими в серединах сторін даного трикутника). Цю точку називають центром Шпикера. Це означає, що якщо сторони трикутника зробити з тонкого дроту однакового перетину, то центр мас (баріцентр) отриманої системи буде збігатися з центром вписаного кола додаткового трикутника або з центром Шпікера.

У механіці

Поняття центра мас широко використовується у фізиці, зокрема, в механіці.

Рух твердого тіла можна розглядати як суперпозицію руху центра мас і обертального руху тіла навколо його центра мас. Центр мас при цьому рухається так само, як рухалося б тіло з такою ж масою, але нескінченно малими розмірами (матеріальна точка). Останнє означає, зокрема, що для опису цього руху застосовні всі закони Ньютона. У багатьох випадках можна взагалі не враховувати розміри і форму тіла і розглядати тільки рух його центра мас.

Часто буває зручно розглядати рух замкнутої системи в системі відліку, пов'язаної з центром мас. Така система відліку називається системою центра мас (Ц-система), або системою центра інерції. У ній повний імпульс замкнутої системи завжди залишається рівним нулю, що дозволяє спростити рівняння її руху.

Центр мас в релятивістській механіці

У разі високих швидкостей (близько швидкості світла) (наприклад, у фізиці елементарних частинок) для опису динаміки системи застосовується апарат СТВ. У релятивістській механіці (СТВ) поняття центра мас і системи центра мас також є найважливішими поняттями, однак, визначення поняття змінюється:

${\displaystyle {\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}{\vec {r}}_{i}E_{i}}{\sum \limits _{i}E_{i}}},}$

де ${\displaystyle {\vec {r}}_{c}}$ — радіус-вектор центра мас, ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ — радіус-вектор i-ї частинки системи, ${\displaystyle ~E_{i}}$ — повна енергія i-ї частинки.

Дане визначення відноситься тільки до систем невзаємодіючих частинок. У разі взаємодіючих частинок у визначення повинні в явному вигляді враховуватися імпульс і енергія поля, створюваного частинками.

Щоб уникнути помилок слід розуміти, що в СТВ центр мас характеризується не розподілом маси, а розподілом енергії. У курсі теоретичної фізики Ландау і Ліфшиця перевага віддається терміну «центр інерції». У західній літературі по елементарних частинок застосовується термін «центр мас» (англ. center-of-mass): обидва терміни еквівалентні.

Швидкість центра мас в релятивістській механіці можна знайти за формулою:

${\displaystyle {\vec {v}}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec {p}}_{i}.}$

Центр ваги

Центр мас тіла не слід плутати з центром тяжіння.

Центром ваги механічної системи називається точка, відносно якої сумарний момент сил ваги (діючих на систему) дорівнює нулю. Наприклад, у системі, що складається з двох однакових мас, з'єднаних незгинним стрижнем, і вміщеній в неоднорідне гравітаційне поле (наприклад, планети), центр мас буде перебувати в середині стрижня, в той час як центр ваги системи буде зміщений до того кінця стрижня, який знаходиться ближче до планети (бо вага маси P = m·g залежить від параметра гравітаційного поля g), і, взагалі кажучи, навіть розташований поза стержня.

В однорідному гравітаційному полі центр ваги завжди збігається з центром мас. У некосмічних завданнях гравітаційне поле зазвичай може вважатися постійним у межах обсягу тіла, тому на практиці ці два центри майже збігаються.

З цієї ж причини поняття центр мас і центр ваги збігаються при використанні цих термінів у геометрії, статиці і тому подібних областях, де застосування його в порівнянні з фізикою можна назвати метафоричним і де неявно передбачається ситуація їх еквівалентності (оскільки реального гравітаційного поля немає, то й облік його неоднорідності не має сенсу). У цих цілях традиційно обидва терміни синонімічні, і нерідко другий надається перевага просто через те, що він старіший.

Див. також

• Зведена маса
• Барицентр
• Геометричний центр

Примітки

1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — («Теоретическая физика», том II).

Джерела

• А. М. Федорченко (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)