Система центра мас

Систе́ма це́нтра мас (систе́ма це́нтра інерції) — необертова система відліку, початок якої розташований у центрі інерції механічної системи. Зазвичай назву скорочують як с. ц. м. або с. ц. і. Сумарний імпульс системи в с.ц.м. дорівнює нулю. Для замкнутої системи її система центра мас інерційна, тоді як незамкнута система в загальному випадку може мати неінерційну систему центра мас.

Сумарна кінетична енергія механічної системи в с.ц.м. найменша серед усіх систем відліку; в будь-якій інший необертовій (необов'язково інерціальній) системі відліку кінетична енергія дорівнює кінетичній енергії в с.ц.м. плюс кінетична енергія руху механічної системи як цілого (${\displaystyle {\frac {MV^{2}}{2}}}$, де ${\displaystyle M}$ — повна маса механічної системи, ${\displaystyle V}$ — відносна швидкість руху систем відліку).

Використання в задачах розсіювання частинок

При розгляді задач розсіювання частинок термін «система центра мас» застосовують на противагу терміну «лабораторна система».

Якщо проводяться в лабораторній системі, тобто в системі, пов'язаній зі спостерігачем, то теоретичний розгляд задач розсіювання зручно проводити в рухомій системі центра мас. При переході від лабораторної системи до системи центра мас змінюється визначення кутів розсіювання частинок, тому для порівняння теорії з експериментом необхідно проводити перерахунки отриманих перетинів розсіювання.

Наприклад, при вивченні зіткнення двох однакових частинок, одна з частинок (мішень) до зіткнення залишається нерухомою, а друга налітає з якоюсь скінченною швидкістю. При пружному лобовому зіткненні друга частинка зупиняється, передаючи свою енергію першій. Така картина спостерігається в лабораторній системі відліку. З погляду системи центра мас частинки рухаються назустріч одна одній з однаковими швидкостями, а після зіткнення розлітаються в різні боки.

У нерелятивістській границі координати центра мас системи з ${\displaystyle n}$ частинок, що мають маси ${\displaystyle m_{k}}$ і (в деякій системі відліку ${\displaystyle K}$) радіус-вектори ${\displaystyle {\vec {r_{k}}}}$:

${\displaystyle {\vec {R}}^{\prime }={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{{\vec {r_{k}}}m_{k}}}{\sum \limits _{k=1}^{n}{m_{k}}}}={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{{\vec {r_{k}}}m_{k}}}{M}}}$

де ${\displaystyle M}$ — маса всієї системи тіл.

Продиференціювавши за часом, отримаємо швидкість руху центра мас

${\displaystyle {\vec {V}}^{\prime }={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{{\vec {v_{k}}}m_{k}}}{M}}={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{\vec {p_{k}}}}{M}}}$

(${\displaystyle {\vec {p_{k}}}}$ — імпульси частинок), яку можна використовувати для переходу від даної системи відліку ${\displaystyle K}$ до системи центра мас, обчислюючи швидкості й радіус-вектори частинок у ній за формулами:

${\displaystyle {\vec {r_{k}}}^{\prime }={\vec {r_{k}}}-{\vec {R}}^{\prime },}$

${\displaystyle {\vec {v_{k}}}^{\prime }={\vec {v_{k}}}-{\vec {V}}^{\prime }.}$

У релятивістському випадку центр мас не є лоренц-інваріантом, однак система центра мас визначається і відіграє важливу роль у релятивістській кінематиці. Систему центра мас у релятивістському випадку слід визначати як систему відліку, в якій сума імпульсів усіх тіл системи дорівнює нулю.

Див. також

• Лабораторна система — формули перетворення характеристик розсіювання при переході від системи центра мас до лабораторної системи.

Джерела

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.