Лема Іто використовується в стохастичному аналізі для знаходження диференціалу від функції, аргументом якої є випадковий процес. Назву отримала на честь японського математика Кійосі Іто. Лема є аналогом правила диференціювання складеної функції в звичайному математичному аналізі. Її найкраще можна запам'ятати, використовуючи розклад функції в ряд Тейлора до другого степеня по випадковому компоненту функції. Результат широко використовується у фінансовій математиці, зокрема у формулі Блека — Шоулза для оцінки вартості кол-опціонів. Формулу іноді називають теоремою Іто — Добліна на честь Вольвганга Добліна, який також її вивів, але його записки були знайдені і оприлюднені тільки в 2000 році.
Лема Іто
Для дифузійних процесів
Найпростіше формулювання леми Іто: для
де — диференціал Вінерівського процесу. Виразом не можна знехтувати у розкладі Тейлора, він еквівалентний , тоді як так само як і зануляється і ними можна знехтувати. Тому для двічі неперервно-диференційовної функції ƒ(t, x) (тобто для цієї функції визначені перша і друга частинні похідні) від двох дійсних параметрів t і x, використовуючи розклад Тейлора
використовуючи позначення
і замінюючи на , отримуємо
Багатовимірний варіант,
де — вектор дифузійних процесів, — частинна похідна по t, — градієнт функції ƒ по X, і — матриця Гессе функції ƒ по X.
Неперервні напівмартингали
Більш загально формула Іто виконується для будь-якого неперервного d-вимірного напівмартингалу X = (X1,X2,…,Xd), і двічі неперервно-диференційовної і дійснозначної функції f в Rd.
Іноді формулу презентують з перехресною варіацією наступним чином, f(X) напівмартингал, що задовольняє формулу Іто
В цьому виразі fi — частинна похідна функції f(x) по xi, і [Xi,Xj ] — квадратична варіація процесів Xi і Xj.
Розривні напівмартингали
Лема Іто може бути застосована до загальних d-вимірних напівмартингалів, які можуть бути розривними. Взагалі напівмартингали — це càdlàg-процес (неперервний справа процес, що має лівосторонні границі), і тому додатковий одночлен необхідний для того щоб стрибки процесу були враховані лемою Іто.
Для довільного càdlàg-процесу Yt, лівостороння границя в точці t позначається Yt- і цей процес є неперервним зліва процесом. Стрибки записують як ΔYt = Yt - Yt-. Тоді лема Іто стверджує: якщо X = (X1,X2,…,Xd) — d-вимірний напівмартингал і f двічі неперервно диференційовна дійсно-значна функція на Rd тоді f(X) — напівмартингал, і
Ця формула відрізняється від випадку неперервних напівмартингалів додатковою сумою по стрибках X, що забезпечує рівність стрибка правої частини тотожності ( в час t) стрибку лівої частини Δf(Xt).
Неформальне виведення
Формальне доведення леми вимагає знаходження границі послідовності випадкових величин. Тут ми тільки дамо схему доведення леми Іто з використанням розкладу функції в ряд Тейлора і застосуванням правил стохастичного числення.
Нехай маємо процес Іто, записаний у формі
Розкладаючи f(x, t) в ряд Тейлора в точці x і t маємо
і підстановка dt + b dB замість dx дає
Границя при dt прямуючи до 0, dt2 та dt dB прямують до нуля, але вираз dB2 прямує до dt. Останній факт можна довести якщо ми покажемо, що
- since
Викидаючи доданки з dt2 та dt dB, підставляючи dt замість dB2, і зводячи доданки з dt та dB, отримуємо
що й потрібно було показати.
Формальне доведення леми набагато складніше.
Див. також
Література
- . Архів оригіналу за 16 липня 2011. Процитовано 16 квітня 2010.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Lema Ito vikoristovuyetsya v stohastichnomu analizi dlya znahodzhennya diferencialu vid funkciyi argumentom yakoyi ye vipadkovij proces Nazvu otrimala na chest yaponskogo matematika Kijosi Ito Lema ye analogom pravila diferenciyuvannya skladenoyi funkciyi v zvichajnomu matematichnomu analizi Yiyi najkrashe mozhna zapam yatati vikoristovuyuchi rozklad funkciyi v ryad Tejlora do drugogo stepenya po vipadkovomu komponentu funkciyi Rezultat shiroko vikoristovuyetsya u finansovij matematici zokrema u formuli Bleka Shoulza dlya ocinki vartosti kol opcioniv Formulu inodi nazivayut teoremoyu Ito Doblina na chest Volvganga Doblina yakij takozh yiyi viviv ale jogo zapiski buli znajdeni i oprilyudneni tilki v 2000 roci Lema ItoDlya difuzijnih procesiv Najprostishe formulyuvannya lemi Ito dlya d X t s t d B t m t d t displaystyle dX t sigma t dB t mu t dt de d B t displaystyle dB t diferencial Vinerivskogo procesu Virazom d B t 2 displaystyle dB t 2 ne mozhna znehtuvati u rozkladi Tejlora vin ekvivalentnij d t displaystyle dt todi yak d B t 3 d B t d t d t 3 2 displaystyle dB t 3 approx dB t dt approx dt frac 3 2 tak samo yak i d t 2 displaystyle dt 2 zanulyayetsya i nimi mozhna znehtuvati Tomu dlya dvichi neperervno diferencijovnoyi funkciyi ƒ t x tobto dlya ciyeyi funkciyi viznacheni persha i druga chastinni pohidni vid dvoh dijsnih parametriv t i x vikoristovuyuchi rozklad Tejlora d f t x f t d t f x d x 1 2 2 f t 2 d t 2 2 2 f t x d t d x 2 f x 2 d x 2 displaystyle begin aligned df t x frac partial f partial t dt frac partial f partial x dx frac 1 2 left frac partial 2 f partial t 2 dt 2 2 frac partial 2 f partial t partial x dtdx frac partial 2 f partial x 2 dx 2 right cdots end aligned vikoristovuyuchi poznachennya f t x f x t x f t x 2 f x 2 t x f t x f t t x displaystyle f t x frac partial f partial x t x quad f t x frac partial 2 f partial x 2 t x quad dot f t x frac partial f partial t t x i zaminyuyuchi d x displaystyle dx na s t d B t m t d t displaystyle sigma t dB t mu t dt otrimuyemo d f t X t f t X t d t f t X t m t d t s t d B t 1 2 f t X t s t 2 d t f t X t m t f t X t s t 2 2 f t X t d t f t X t s t d B t displaystyle begin aligned df t X t amp dot f t X t dt f t X t mu t dt sigma t dB t frac 1 2 f t X t sigma t 2 dt amp left dot f t X t mu t f t X t frac sigma t 2 2 f t X t right dt f t X t sigma t dB t end aligned Bagatovimirnij variant d f t X t f t t X t d t X t T f d X t 1 2 d X t T X t 2 f d X t displaystyle df left t X t right dot f t left t X t right dt nabla X t T f cdot dX t frac 1 2 dX t T cdot nabla X t 2 f cdot dX t de X t X t 1 X t 2 X t n T displaystyle X t left X t 1 X t 2 cdots X t n right T vektor difuzijnih procesiv f t t X displaystyle dot f t left t X right chastinna pohidna po t X T f displaystyle nabla X T f gradiyent funkciyi ƒ po X i X 2 f displaystyle nabla X 2 f matricya Gesse funkciyi ƒ po X Neperervni napivmartingali Bilsh zagalno formula Ito vikonuyetsya dlya bud yakogo neperervnogo d vimirnogo napivmartingalu X X1 X2 Xd i dvichi neperervno diferencijovnoyi i dijsnoznachnoyi funkciyi f v Rd Inodi formulu prezentuyut z perehresnoyu variaciyeyu nastupnim chinom f X napivmartingal sho zadovolnyaye formulu Ito d f X t i 1 d f i X t d X t i 1 2 i j 1 d f i j X t d X i X j t displaystyle df X t sum i 1 d f i X t dX t i frac 1 2 sum i j 1 d f ij X t d X i X j t V comu virazi fi chastinna pohidna funkciyi f x po xi i Xi Xj kvadratichna variaciya procesiv Xi i Xj Rozrivni napivmartingali Lema Ito mozhe buti zastosovana do zagalnih d vimirnih napivmartingaliv yaki mozhut buti rozrivnimi Vzagali napivmartingali ce cadlag proces neperervnij sprava proces sho maye livostoronni granici i tomu dodatkovij odnochlen neobhidnij dlya togo shob stribki procesu buli vrahovani lemoyu Ito Dlya dovilnogo cadlag procesu Yt livostoronnya granicya v tochci t poznachayetsya Yt i cej proces ye neperervnim zliva procesom Stribki zapisuyut yak DYt Yt Yt Todi lema Ito stverdzhuye yaksho X X1 X2 Xd d vimirnij napivmartingal i f dvichi neperervno diferencijovna dijsno znachna funkciya na Rd todi f X napivmartingal i f X t f X 0 i 1 d 0 t f i X s d X s i 1 2 i j 1 d 0 t f i j X s d X i X j s s t D f X s i 1 d f i X s D X s i 1 2 i j 1 d f i j X s D X s i D X s j displaystyle begin aligned f X t amp f X 0 sum i 1 d int 0 t f i X s dX s i frac 1 2 sum i j 1 d int 0 t f i j X s d X i X j s amp sum s leq t left Delta f X s sum i 1 d f i X s Delta X s i frac 1 2 sum i j 1 d f i j X s Delta X s i Delta X s j right end aligned Cya formula vidriznyayetsya vid vipadku neperervnih napivmartingaliv dodatkovoyu sumoyu po stribkah X sho zabezpechuye rivnist stribka pravoyi chastini totozhnosti v chas t stribku livoyi chastini Df Xt Neformalne vivedennyaFormalne dovedennya lemi vimagaye znahodzhennya granici poslidovnosti vipadkovih velichin Tut mi tilki damo shemu dovedennya lemi Ito z vikoristannyam rozkladu funkciyi v ryad Tejlora i zastosuvannyam pravil stohastichnogo chislennya Nehaj mayemo proces Ito zapisanij u formi d x a d t b d B displaystyle dx a dt b dB Rozkladayuchi f x t v ryad Tejlora v tochci x i t mayemo d f f x d x f t d t 1 2 2 f x 2 d x 2 displaystyle df frac partial f partial x dx frac partial f partial t dt frac 1 2 frac partial 2 f partial x 2 dx 2 cdots i pidstanovka dt b dB zamist dx daye d f f x a d t b d B f t d t 1 2 2 f x 2 a 2 d t 2 2 a b d t d B b 2 d B 2 displaystyle df frac partial f partial x a dt b dB frac partial f partial t dt frac 1 2 frac partial 2 f partial x 2 a 2 dt 2 2ab dt dB b 2 dB 2 cdots Granicya pri dt pryamuyuchi do 0 dt2 ta dt dB pryamuyut do nulya ale viraz dB2 pryamuye do dt Ostannij fakt mozhna dovesti yaksho mi pokazhemo sho d B 2 E d B 2 displaystyle dB 2 rightarrow E dB 2 since E d B 2 d t displaystyle E dB 2 dt Vikidayuchi dodanki z dt2 ta dt dB pidstavlyayuchi dt zamist dB2 i zvodyachi dodanki z dt ta dB otrimuyemo d f a f x f t 1 2 b 2 2 f x 2 d t b f x d B displaystyle df left a frac partial f partial x frac partial f partial t frac 1 2 b 2 frac partial 2 f partial x 2 right dt b frac partial f partial x dB sho j potribno bulo pokazati Formalne dovedennya lemi nabagato skladnishe Div takozhIntegral Ito Teorema Girsanova Vinerivskij proces Formula Fejnmana KacaLiteratura Arhiv originalu za 16 lipnya 2011 Procitovano 16 kvitnya 2010