Формула Фейнмана-Каца, названа на честь Річарда Фейнмана і Марка Каца — формула взаємозв'язку між рівняннями частинних похідних і стохастичними процесами. З допомогою цієї формули можна розв'язувати певні типи РЧП за допомогою симуляції траєкторій стохастичних процесів. Навпаки, стохастичні рівняння частинних похідних можна розв'язувати методами звичайних РЧП без залучення стохастичних методів.
Формулювання
Нехай маємо РЧП:
і умову
де - відомі функції, — параметр і невідома функція. Це рівняння відоме під назвою (одновимірне). Тоді формула Фейнмана-Каца полягає в тому, що розв'язок цієї задачі записується як математичне сподівання:
де — , що описується рівнянням
де — Вінерівський процес (іноді можна зустріти назву Броунівський рух) і початкова умова для є . Це математичне сподівання можна обчислити (наближено з певною точністю) використовуючи Метод Монте-Карло чи .
Доведення
Застосувавши лему Іто до невідомого процесу можна отримати
Вираз у перших дужках є РЧП згадане вище і тому цей вираз рівний нулю за припущенням. Тепер проінтегрувавши обидві частини рівняння отримаємо
Після тривіальних перетворень візьмемо математичне сподівання обидвох частин рівності:
Оскільки матсподівання інтеграла Іто по Вінерівському процесі дорівнює нулю отримаємо бажаний результат:
Див. також
Література
- Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. — М. : Мир, 2003. — 408 с.
- Protter P. E. Stochastic Integration and Differential Equations. — Springer, 2005.
- Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. — Academic Press, 1979.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Formula Fejnmana Kaca nazvana na chest Richarda Fejnmana i Marka Kaca formula vzayemozv yazku mizh rivnyannyami chastinnih pohidnih i stohastichnimi procesami Z dopomogoyu ciyeyi formuli mozhna rozv yazuvati pevni tipi RChP za dopomogoyu simulyaciyi trayektorij stohastichnih procesiv Navpaki stohastichni rivnyannya chastinnih pohidnih mozhna rozv yazuvati metodami zvichajnih RChP bez zaluchennya stohastichnih metodiv FormulyuvannyaNehaj mayemo RChP f t m x t f x 1 2 s 2 x t 2 f x 2 0 displaystyle frac partial f partial t mu x t frac partial f partial x frac 1 2 sigma 2 x t frac partial 2 f partial x 2 0 i umovu f x T ps x displaystyle f x T psi x de m s ps displaystyle mu sigma psi vidomi funkciyi T displaystyle T parametr i f displaystyle f nevidoma funkciya Ce rivnyannya vidome pid nazvoyu odnovimirne Todi formula Fejnmana Kaca polyagaye v tomu sho rozv yazok ciyeyi zadachi zapisuyetsya yak matematichne spodivannya f x t E ps X T X t x displaystyle f x t E psi X T X t x de X displaystyle X sho opisuyetsya rivnyannyam d X m X t d t s X t d W displaystyle dX mu X t dt sigma X t dW de W t displaystyle W t Vinerivskij proces inodi mozhna zustriti nazvu Brounivskij ruh i pochatkova umova dlya X t displaystyle X t ye X 0 x displaystyle X 0 x Ce matematichne spodivannya mozhna obchisliti nablizheno z pevnoyu tochnistyu vikoristovuyuchi Metod Monte Karlo chi DovedennyaZastosuvavshi lemu Ito do nevidomogo procesu f X t t displaystyle displaystyle f X t t mozhna otrimati d f m x t f x f t 1 2 s 2 x t 2 f x 2 d t s x t f x d W displaystyle df left mu x t frac partial f partial x frac partial f partial t frac 1 2 sigma 2 x t frac partial 2 f partial x 2 right dt sigma x t frac partial f partial x dW Viraz u pershih duzhkah ye RChP zgadane vishe i tomu cej viraz rivnij nulyu za pripushennyam Teper prointegruvavshi obidvi chastini rivnyannya otrimayemo f X T T f x t t T d f t T s x t f x d W displaystyle f X T T f x t int t T df int t T sigma x t frac partial f partial x dW Pislya trivialnih peretvoren vizmemo matematichne spodivannya obidvoh chastin rivnosti f x t E f X T T E t T s x t f x d W displaystyle f x t textrm E left f X T T right textrm E left int t T sigma x t frac partial f partial x dW right Oskilki matspodivannya integrala Ito po Vinerivskomu procesi W displaystyle displaystyle W dorivnyuye nulyu otrimayemo bazhanij rezultat f x t E f X T T E ps X T E ps X T X t x displaystyle f x t textrm E left f X T T right textrm E left psi X T right textrm E left psi X T X t x right Div takozhLema Ito Teorema GirsanovaLiteraturaOksendal B Stohasticheskie differencialnye uravneniya Vvedenie v teoriyu i prilozheniya M Mir 2003 408 s Protter P E Stochastic Integration and Differential Equations Springer 2005 Simon B Functional Integration and Quantum Physics Academic Press 1979