Теорія кіс — розділ топології та алгебри, вивчає коси і групи кіс, складені з їхніх класів еквівалентності.
Визначення коси
Коса з ниток — об'єкт, що складається з двох паралельних площин і у тривимірному просторі , які містять упорядковані множини точок і і з роз'єднаних між собою простих дуг , які перетинають кожну паралельну площину між і одноразово і з'єднують точки з точками .
Зазвичай вважається, що точки лежать на прямій в , а точки на прямій в , паралельній , причому розташовані під для кожного .
Коси зображуються в проєкції на площину, що проходить через і ця проєкція може бути зведена в загальне положення так, що є лише скінченне число подвійних точок, попарно розташованих на різних рівнях, і перетини трансверсальні.
Група кіс
У множині всіх кіс з n нитками і з фіксованими вводиться відношення еквівалентності. Воно визначається гомеоморфізмами , де — область між і , тотожними на . Коси і еквівалентні, якщо існує такий гомеоморфізм , що .
Класи еквівалентності, далі також звані косами, утворюють групу кіс . Одинична коса — клас еквівалентності, який містить косу з n паралельних відрізків. Коса зворотна до коси , визначається відображенням у площині
Нитка коси з'єднує з і визначає підстановку, елемент симетричної групи . Якщо ця підстановка тотожна, то коса називається фарбованою (або чистою) косою. Це відображення задає епіморфізм на групу перестановок n елементів, ядром якого є підгрупа , яка відповідає всім чистим косам, так що є коротка точна послідовність
Сплетення
Нехай - тензорна категорія. Сплетенням у є структура комутування на , яка задовольняє двом співвідношенням:
для усіх об'єктів
Якщо - сплетення у , то й є сплетенням у .
Косовою моноїдальною категорією є моноїдальна категорія, оснащена сплетенням.
Нехай - векторний простір над Рівняння Янга-Бакстера - рівняння для лінійного автоморфізму з простору
Це рівняння є рівністю елементів групи автоморфізмів Його розв'язок називається -матрицею.
Для векторного простору через позначимо оператор перестановки співмножників, який представляє дві копії цього простору. Він визначається співвідношенням
Оператор перестановки задовольняє рівнянню Янга-Бакстера, оскільки в симетричній групі виконується співвідношення Кокстера
де верхні індекси визначають транспозицію, яка міняє та
Нехай - асоціативна алгебра із одиницею (над деяким алгебрично замкненим полем нульової характеристики ), на якій визначена операція кодобутку задані антипод та косий антипод (тобто антипод для протилежного кодобутку ), а також одиниця є квазітрикутною супералгеброю Хопфа, якщо задовольняє квантовому рівнянню Янга-Бакстера:
а також співвідношенням
Див. також
Примітки
- Christian Kassel, Marc Rosso, Vladimir Turaev - Quantum and knot invariants.
- Стукопин Владимир Алексеевич - Ангианы супералгебры Ли.
Література
- Сосинский А., Косы и узлы.[недоступне посилання з вересня 2019]Квант № 2, 1989, стор. 6-14 (рос.)
Посилання
- Танець про теорію кіс - навряд чи ви коли небуть бачили щось подібне 2017р.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teoriya kis rozdil topologiyi ta algebri vivchaye kosi i grupi kis skladeni z yihnih klasiv ekvivalentnosti Priklad kosi z troma dugami Viznachennya kosiKosa z n displaystyle n nitok ob yekt sho skladayetsya z dvoh paralelnih ploshin P0 displaystyle P 0 i P1 displaystyle P 1 u trivimirnomu prostori R3 displaystyle mathbb R 3 yaki mistyat uporyadkovani mnozhini tochok a1 a2 an P0 displaystyle a 1 a 2 dots a n in P 0 i b1 b2 bn P1 displaystyle b 1 b 2 dots b n in P 1 i z n displaystyle n roz yednanih mizh soboyu prostih dug l1 l2 ln displaystyle l 1 l 2 dots l n yaki peretinayut kozhnu paralelnu ploshinu Pt displaystyle P t mizh P0 displaystyle P 0 i P1 displaystyle P 1 odnorazovo i z yednuyut tochki ai displaystyle a i z tochkami bi displaystyle b i Zazvichaj vvazhayetsya sho tochki a1 a2 an displaystyle a 1 a 2 dots a n lezhat na pryamij l0 displaystyle l 0 v P0 displaystyle P 0 a tochki b1 b2 bn displaystyle b 1 b 2 dots b n na pryamij l1 displaystyle l 1 v P1 displaystyle P 1 paralelnij l0 displaystyle l 0 prichomu ai displaystyle a i roztashovani pid bi displaystyle b i dlya kozhnogo i displaystyle i Kosi zobrazhuyutsya v proyekciyi na ploshinu sho prohodit cherez l0 displaystyle l 0 i l1 displaystyle l 1 cya proyekciya mozhe buti zvedena v zagalne polozhennya tak sho ye lishe skinchenne chislo podvijnih tochok poparno roztashovanih na riznih rivnyah i peretini transversalni Grupa kisDokladnishe Grupa kis U mnozhini vsih kis z n nitkami i z fiksovanimi P0 P1 ai bi displaystyle P 0 P 1 a i b i vvoditsya vidnoshennya ekvivalentnosti Vono viznachayetsya gomeomorfizmami h P P displaystyle h Pi to Pi de P displaystyle Pi oblast mizh P0 displaystyle P 0 i P1 displaystyle P 1 totozhnimi na P0 P1 displaystyle P 0 cup P 1 Kosi a displaystyle alpha i b displaystyle beta ekvivalentni yaksho isnuye takij gomeomorfizm h displaystyle h sho h a b displaystyle h alpha beta Klasi ekvivalentnosti dali takozh zvani kosami utvoryuyut grupu kis B n displaystyle B n Odinichna kosa klas ekvivalentnosti yakij mistit kosu z n paralelnih vidrizkiv Kosa a 1 displaystyle alpha 1 zvorotna do kosi a displaystyle alpha viznachayetsya vidobrazhennyam u ploshini P1 2 displaystyle P 1 2 Nitka kosi z yednuye ai displaystyle a i z bji displaystyle b j i i viznachaye pidstanovku element simetrichnoyi grupi Sn displaystyle S n Yaksho cya pidstanovka totozhna to kosa nazivayetsya farbovanoyu abo chistoyu kosoyu Ce vidobrazhennya zadaye epimorfizm B n displaystyle B n na grupu Sn displaystyle S n perestanovok n elementiv yadrom yakogo ye pidgrupa K n displaystyle K n yaka vidpovidaye vsim chistim kosam tak sho ye korotka tochna poslidovnist 0 K n B n Sn 0 displaystyle 0 to K n to B n to S n to 0 SpletennyaNehaj C displaystyle mathcal C tenzorna kategoriya Spletennyam u C displaystyle mathcal C ye struktura komutuvannya na C displaystyle mathcal C yaka zadovolnyaye dvom spivvidnoshennyam aU V W aU W 1V 1V aV W displaystyle a U otimes V W a U W otimes 1 V 1 V otimes a V W aU V W 1V aU W aU V 1W displaystyle a U V otimes W 1 V otimes a U W a U V otimes 1 W dlya usih ob yektiv U V W displaystyle U V W Yaksho c displaystyle c spletennya u C displaystyle mathcal C to j c 1 displaystyle c 1 ye spletennyam u C displaystyle mathcal C Kosovoyu monoyidalnoyu kategoriyeyu ye monoyidalna kategoriya osnashena spletennyam Nehaj V displaystyle V vektornij prostir nad k displaystyle k Rivnyannya Yanga Bakstera rivnyannya dlya linijnogo avtomorfizmu z prostoru V V displaystyle V otimes V a 1V 1V a a 1V 1V a a 1V 1V a displaystyle a otimes 1 V 1 V otimes a a otimes 1 V 1 V otimes a a otimes 1 V 1 V otimes a Ce rivnyannya ye rivnistyu elementiv grupi avtomorfizmiv V V V displaystyle V otimes V otimes V Jogo rozv yazok nazivayetsya R displaystyle R matriceyu Dlya vektornogo prostoru V displaystyle V cherez tV V Aut V V displaystyle tau V V in mathrm Aut V otimes V poznachimo operator perestanovki spivmnozhnikiv yakij predstavlyaye dvi kopiyi cogo prostoru Vin viznachayetsya spivvidnoshennyam tV V v1 v2 v2 v1 v1 v2 V displaystyle tau V V v 1 otimes v 2 v 2 otimes v 1 quad forall v 1 v 2 in V Operator perestanovki zadovolnyaye rivnyannyu Yanga Bakstera oskilki v simetrichnij grupi vikonuyetsya spivvidnoshennya Kokstera R12R23R12 R23R12R23 displaystyle R 12 R 23 R 12 R 23 R 12 R 23 de verhni indeksi ij displaystyle ij viznachayut transpoziciyu yaka minyaye i displaystyle i ta j displaystyle j Nehaj A A0 A1 displaystyle A A 0 oplus A 1 asociativna algebra iz odiniceyu nad deyakim algebrichno zamknenim polem nulovoyi harakteristiki k displaystyle mathbb k na yakij viznachena operaciya kodobutku D displaystyle Delta zadani antipod S displaystyle S ta kosij antipod S displaystyle S tobto antipod dlya protilezhnogo kodobutku Dop displaystyle Delta op a takozh odinicya e displaystyle e S 1 S displaystyle S 1 S A R displaystyle A R ye kvazitrikutnoyu superalgebroyu Hopfa yaksho R displaystyle R zadovolnyaye kvantovomu rivnyannyu Yanga Bakstera R12R13R23 R23R13R12 displaystyle R 12 R 13 R 23 R 23 R 13 R 12 a takozh spivvidnoshennyam S 1 R 1 S 1 R R 1 displaystyle S otimes 1 R 1 otimes S 1 R R 1 e 1 R 1 e R 1 displaystyle e otimes 1 R 1 otimes e R 1 S 1 R 1 1 S 1 R 1 R displaystyle S otimes 1 R 1 1 otimes S 1 R 1 R Div takozhTeoriya vuzliv Grupa kisPrimitkiChristian Kassel Marc Rosso Vladimir Turaev Quantum and knot invariants Stukopin Vladimir Alekseevich Angiany superalgebry Li LiteraturaSosinskij A Kosy i uzly nedostupne posilannya z veresnya 2019 Kvant 2 1989 stor 6 14 ros PosilannyaTanec pro teoriyu kis navryad chi vi koli nebut bachili shos podibne 2017r