Теоре́ма (формула) Лагра́нжа про скінче́нні при́рости. Доведена французьким математиком і механіком Жозефом Луї Лагранжем.
Формулювання теореми
Якщо функція неперервна на проміжку , диференційовна в , то знайдеться принаймні одна точка така, що має місце формула:
.
Ця формула і називається формулою Лагранжа, або формулою про скінченні прирости.
Доведення
Розглянемо на проміжку наступну допоміжну функцію:
.
Перевіримо, що для функції виконані всі умови теореми Ролля. І справді, неперервна на проміжку (як різниця функції та лінійної функції) та в усіх внутрішніх точках проміжку має похідну:
.
З формули (1) очевидно, що .
Згідно з теоремою Ролля на проміжку знайдеться точка така, що
З рівності (2) витікає формула Лагранжа. Слід відзначити, що не обов'язково вважати, що .
Зауваження
У цьому випадку формулу Лагранжа отримано як наслідок з теореми Ролля. Проте, теорема Ролля сама є частковим випадком теореми Лагранжа.
Інша форма запису
Іноді буває зручно записати формулу Лагранжа у вигляді, дещо відмінному від початкового. Нехай відповідає всім умовам теореми Ролля. Зафіксуємо будь-яке з проміжку та надамо йому довільний приріст , але такий, щоб значення також належало до проміжку . Тоді для проміжку , будемо мати:
,
де — деяка точка, що лежить між та . Можна стверджувати, що знайдеться таке (залежне від ) число з інтервалу , що . Таким чином, формулу (3) можна переписати як
,
де — деяке число з інтервалу . Формула Лагранжа у вигляді (4) дає точний вираз для приросту функції через викликавший його довільний скінченний приріст аргумента. Цей вигляд формули Лагранжа виправдовує термін «формула скінченних приростів».
Геометрична інтерпретація
Щоб визначити геометричний зміст теореми Лагранжа відзначимо, що є кутовий коефіцієнт січної, яка проходить через точки та кривої , є кутовий коефіцієнт дотичної до кривої . Формула Лагранжа означає, що на кривій між точками та знайдеться точка така, що дотична до кривої у цій точці буде паралельною січній.
Механічне значення
Якщо розглянути функцію як функцію часу, тобто шлях тіла описується законом , тоді різниця є шлях, пройдений тілом, а різниця є усім часом, який було витрачено на подолання шляху . Отже, відношення всього шляху до часу, який витрачено на подолання цього часу є середня швидкість і визначається відношенням:
.
Тобто з механічної точки зору формула Лагранжа визначає середню швидкість тіла.
Див. також
Джерела
- Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
- , Основы математического анализа. — 7-е. — М : Физматлит, 2004. — Т. 1. — 644 с. — .(рос.)
- Теорема Лагранжа (про скінчені прирости функції) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 276. — 594 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teore ma formula Lagra nzha pro skinche nni pri rosti Dovedena francuzkim matematikom i mehanikom Zhozefom Luyi Lagranzhem Dlya bud yakoyi funkciyi neperervnoyi na a b i diferenciovanoyi na a b isnuye tochka c u promizhku a b taka sho sichna sho poyednuye kincevi tochki promizhku a b ye paralelnoyu do dotichnoyi v cFormulyuvannya teoremiYaksho funkciya f displaystyle f neperervna na promizhku a b displaystyle a b diferencijovna v a b displaystyle a b to znajdetsya prinajmni odna tochka c a b displaystyle c in a b taka sho maye misce formula f c f b f a b a displaystyle f c frac f b f a b a Cya formula i nazivayetsya formuloyu Lagranzha abo formuloyu pro skinchenni prirosti DovedennyaRozglyanemo na promizhku a b displaystyle a b nastupnu dopomizhnu funkciyu F x f x f a f b f a b a x a 1 displaystyle F x f x f a frac f b f a b a x a qquad qquad 1 Perevirimo sho dlya funkciyi F x displaystyle F x vikonani vsi umovi teoremi Rollya I spravdi F x displaystyle F x neperervna na promizhku a b displaystyle a b yak riznicya funkciyi f x displaystyle f x ta linijnoyi funkciyi ta v usih vnutrishnih tochkah promizhku a b displaystyle a b maye pohidnu F x f x f b f a b a displaystyle F x f x frac f b f a b a Z formuli 1 ochevidno sho F a F b 0 displaystyle F a F b 0 Zgidno z teoremoyu Rollya na promizhku a b displaystyle a b znajdetsya tochka c displaystyle c taka sho F c f c f b f a b a 0 2 displaystyle F c f c frac f b f a b a 0 qquad qquad 2 Z rivnosti 2 vitikaye formula Lagranzha Slid vidznachiti sho ne obov yazkovo vvazhati sho b gt a displaystyle b gt a Zauvazhennya U comu vipadku formulu Lagranzha otrimano yak naslidok z teoremi Rollya Prote teorema Rollya sama ye chastkovim vipadkom teoremi Lagranzha Insha forma zapisu Inodi buvaye zruchno zapisati formulu Lagranzha u viglyadi desho vidminnomu vid pochatkovogo Nehaj f x displaystyle f x vidpovidaye vsim umovam teoremi Rollya Zafiksuyemo bud yake x0 displaystyle x 0 z promizhku a b displaystyle a b ta nadamo jomu dovilnij pririst D x displaystyle Delta x ale takij shob znachennya x0 D x displaystyle x 0 Delta x takozh nalezhalo do promizhku a b displaystyle a b Todi dlya promizhku x0 x0 D x displaystyle x 0 x 0 Delta x budemo mati f x0 D x f x0 D x f c 3 displaystyle f x 0 Delta x f x 0 Delta x cdot f c qquad qquad 3 de c displaystyle c deyaka tochka sho lezhit mizh x0 displaystyle x 0 ta x0 D x displaystyle x 0 Delta x Mozhna stverdzhuvati sho znajdetsya take zalezhne vid D x displaystyle Delta x chislo 8 displaystyle theta z intervalu 0 lt 8 lt 1 displaystyle 0 lt theta lt 1 sho c x0 8 D x displaystyle c x 0 theta Delta x Takim chinom formulu 3 mozhna perepisati yak f x0 D x f x0 D x f x0 8 D x 4 displaystyle f x 0 Delta x f x 0 Delta x cdot f x 0 theta Delta x qquad qquad 4 de 8 displaystyle theta deyake chislo z intervalu 0 lt 8 lt 1 displaystyle 0 lt theta lt 1 Formula Lagranzha u viglyadi 4 daye tochnij viraz dlya prirostu funkciyi cherez viklikavshij jogo dovilnij skinchennij pririst D x displaystyle Delta x argumenta Cej viglyad formuli Lagranzha vipravdovuye termin formula skinchennih prirostiv Geometrichna interpretaciyaShob viznachiti geometrichnij zmist teoremi Lagranzha vidznachimo sho f b f a b a displaystyle frac f b f a b a ye kutovij koeficiyent sichnoyi yaka prohodit cherez tochki a f a displaystyle a f a ta b f b displaystyle b f b krivoyi y f x displaystyle y f x f c displaystyle f c ye kutovij koeficiyent dotichnoyi do krivoyi y f x displaystyle y f x Formula Lagranzha oznachaye sho na krivij y f x displaystyle y f x mizh tochkami x a displaystyle x a ta x b displaystyle x b znajdetsya tochka x c displaystyle x c taka sho dotichna do krivoyi u cij tochci bude paralelnoyu sichnij Mehanichne znachennyaYaksho rozglyanuti funkciyu f x displaystyle f x yak funkciyu chasu tobto shlyah tila opisuyetsya zakonom s t f x displaystyle s t f x todi riznicya f b f a displaystyle f b f a ye shlyah projdenij tilom a riznicya b a displaystyle b a ye usim chasom yakij bulo vitracheno na podolannya shlyahu f b f a displaystyle f b f a Otzhe vidnoshennya vsogo shlyahu do chasu yakij vitracheno na podolannya cogo chasu ye serednya shvidkist i viznachayetsya vidnoshennyam f b f a b a displaystyle frac f b f a b a Tobto z mehanichnoyi tochki zoru formula Lagranzha viznachaye serednyu shvidkist tila Div takozhTeorema Bolcano Koshi Zhozef Luyi Lagranzh Spisok ob yektiv nazvanih na chest Zhozefa Luyi LagranzhaDzherelaZavalo S T 1972 Elementi analizu Algebra mnogochleniv Kiyiv Radyanska shkola s 462 ukr Osnovy matematicheskogo analiza 7 e M Fizmatlit 2004 T 1 644 s ISBN 5 9221 0536 1 ros Teorema Lagranzha pro skincheni prirosti funkciyi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 276 594 s