Теорема Больцано — Коші

Теоре́ма Больца́но — Ко́ші (теоре́ма про промі́жне зна́чення непере́рвної фу́нкції) — ділиться на дві частини, перша з яких є теоремою про проходження неперервною функцією через нуль, друга — узагальнює першу і стверджує, що якщо неперервна функція приймає два значення, вона також прийме значення на відрізку між ними.

Перша теорема Больцано — Коші

Нехай функція f(x) визначена та неперервна в замкненому проміжку [a, b] та на кінцях цього проміжку приймає значення різних знаків. Тоді між a та b неодмінно знайдеться точка c, в якій функція обертається в нуль:

${\displaystyle f(c)=0}$ ${\displaystyle (a<c<b)}$

Доведення

Доведення цієї теореми зробимо методом послідовного ділення відрізку (метод Больцано). Нехай, для визначеності, f(a) < 0 та f(b) > 0. Розділимо відрізок [a, b] навпіл точкою ${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$. Якщо в даній точці функція дорівнює нулю, тоді теорема доведена. Якщо ${\displaystyle c={\frac {a+b}{2}}\neq 0}$, тоді на кінцях одного з відрізків ${\displaystyle \left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]}$, ${\displaystyle \left[{\frac {a+b}{2}},b\right]}$ функція буде приймати значення різних знаків. Позначивши цей проміжок через ${\displaystyle \left[a_{1},b_{1}\right]}$ маємо:

${\displaystyle f(a_{1})<0}$, ${\displaystyle f(b_{1})>0}$

Розділимо навпіл відрізок ${\displaystyle \left[a_{1},b_{1}\right]}$ та знову відкинемо випадок з рівністю функції нулеві (у цьому випадку теорема доведена). Позначимо через ${\displaystyle \left[a_{2},b_{2}\right]}$ ту з половин відрізку, для якої

${\displaystyle f(a_{2})<0}$, ${\displaystyle f(b_{2})>0}$

Продовжимо цей процес побудови відрізків. При цьому після деякої кінцевої кількості ітерацій ми або наткнемося на рівність функції нулеві, і доведення теореми закінчиться, або отримаємо нескінченну послідовність вкладених один в одного проміжків. Зупинимось на цьому останньому випадку. Тоді для n-го відрізку ${\displaystyle \left[a_{n},b_{n}\right]}$, (n = 1, 2, 3 …) будемо мати

${\displaystyle f(a_{n})<0}$, ${\displaystyle f(b_{n})>0}$ Посилання: (1)

Причому довжина його дорівнює

${\displaystyle b_{n}-a_{n}={\frac {b-a}{2^{n}}}}$ Посилання: (2)

Побудована послідовність відрізків задовольняє лему про вкладені відрізки, тому що відповідно до (2) ${\displaystyle \lim(b_{n}-a_{n})=0}$. Тому існує точка с із проміжку [a, b], для якої ${\displaystyle \lim a_{n}=\lim b_{n}=c}$.

Покажемо, що саме ця точка задовольняє вимогам теореми. Перейшовши до границі в нерівностях (1) та використовуючи при цьому неперервність функції (зокрема, в точці x = c), отримаємо, що одночасно

${\displaystyle f(c)=\lim f(a_{n})\leq 0}$ та ${\displaystyle f(c)=\lim f(b_{n})\geq 0}$

Так що дійсно, f(c) = 0. Теорема доведена.

Друга теорема Больцано — Коші

Нехай функція f(x) визначена та неперервна на деякому проміжку X (замкнутому або ні, скінченному або нескінченному). Якщо в двох точках x=a та x=b (a < b) цього проміжку функція приймає нерівні значення

${\displaystyle f(a)=A}$ та ${\displaystyle f(b)=B}$,

то, яке б не було число С, що лежить між A та B, знайдеться така точка x = c між a та b, що f(c) = C

Доведення

Будемо вважати, що A < B, тоді A < C < B.

Розглянемо в проміжку [a, b] допоміжну функцію ${\displaystyle \varphi (x)=f(x)-C}$. Ця функція неперервна в проміжку [a, b] та на кінцях його має різні знаки:

${\displaystyle \varphi (a)=f(a)-C=A-C<0}$, ${\displaystyle \varphi (b)=f(b)-C=B-C>0}$

Тоді згідно з першою теоремою Больцано — Коші, між a та b знайдеться точка x = c, для якої ${\displaystyle \varphi (x)=0}$, тобто

${\displaystyle f(x)-C=0}$ або ${\displaystyle f(c)=C}$

Що і треба було довести.

Використання теореми на практиці

За допомогою цієї теореми можна визначити наявність коренів у рівнянні. Наприклад для всіх очевидний корінь x = 4 у рівнянні ${\displaystyle 2^{x}=4x}$, але складно помітити існування ще одного кореня цього рівняння. Функція

${\displaystyle f(x)=2^{x}-4x}$

при x = 0, має значення f(0) = 1 > 0, а при x = 1/2 значення ${\displaystyle f\left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {2}}-2<0}$, відповідно функція (оскільки вона неперервна) обертається на 0 в деякій точці між 0 та 1/2.

Див. також

• Теорема Дарбу

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)