У математиці, теорема Штольца—Цезаро це критерій для доведення збіжності послідовності. Теорема названа на честь математиків Отто Штольца і [en], які вперше сформулювали її та довели.
Теорему Штольца-Цезаро можна розглядати, як узагальнення [en], а також як правило Лопіталя для послідовностей.
Формулювання теореми для випадку */∞
Нехай і дві послідовності дійсних чисел. Вважаючи, що строго монотонна і розбіжна послідовність (тобто строго зростаюча і прямує до , або строго спадаюча і прямує до ) і існує наступна границя:
Тоді
Формулювання теореми для випадку 0/0
Нехай і дві послідовності дійсних чисел, причому та та строго монотонна. Якщо
то
Доведення
Доведення теореми для випадку */∞
Випадок 1: Нехай строго зростаюча і розбіжна до , . За припущенням маємо, що для всіх існує таке, що
тобто
Оскільки строго зростаюча, , то виконується нерівність
- .
Далі зауважимо, що
таким чином, застосовуючи вищезазначену нерівність до кожного з доданків у квадратних дужках, отримуємо
Тепер, оскільки при , то існує таке, що для всіх , і можемо поділити обидві нерівності на для всіх
Дві послідовності (які визначені лише для оскільки має існувати таке, що )
нескінченно малі оскільки а чисельник — це стала. Отже, для всіх існує , таке, що
Таким чином,
що завершує доведення. Випадок, коли послідовність строго спадна і розбіжна до , розглядається аналогічно.
Випадок 2: Нехай — строго зростаюча і розбіжна, . Продовжуючи, як і раніше, для всіх для яких існує таких, що
Знову ж таки, застосовуючи вищезазначену нерівність до кожного з доданків всередині квадратних дужок, отримуємо
і
Послідовність визначена як
нескінченно мала, таким чином,
Комбінуючи цю нерівність з попередньою, робимо висновок, що
Так само доводяться випадки, коли строго зростаюча або спадаюча і прямує до або відповідно .
Доведення теореми для випадку 0/0
Випадок 1: спочатку розглядаємо випадок коли і строго зростаюча. Цього разу, для кожного , можемо записати
і
Дві послідовності
є наскінченно малими за припущенням , тому для всіх існують такі що
Отже, вибираючи відповідним чином (тобто, переходячи до границі відносно ) отримуємо
що і завершує доведення.
Випадок 2: вважаємо, що і строго зростаюча. Для всіх існує таке що для всіх
Тоді для кожного
Послідовність
збігається до (для фіксованого ), тому
і, вибираючи зручне для нас завершуємо доведення
Приклади та застосування
Ця теорема для випадку має декілька наслідків, які корисно використовувати для обчислення границь.
Середнє арифметичне
Нехай — послідовність дійсних чисел, яка збігається до . Розглянемо послідовності
- ,
тоді строго зростає і прямує до . Тепер обчислюємо
- ,
тоді
Якщо для послідовністі дійсних чисел існує границя
то
Середнє геометричне
Нехай — послідовність додатних дійсних чисел, яка прямує до і визначена як
Знову обчислимо
де використано неперервність логарифмічної функції. Таким чином,
оскільки логарифм неперервний і ін'єктивний, то можна зробити висновок, що
- .
Якщо задано послідовність (строго) додатних чисел і існує границя
- ,
тоді
Нехай задано послідовність і потрібно обчислити
Поклавши and отримаємо
та застосувавши вищезазначену властивість, маємо
Ця форма, як правило, є найбільш корисною для обчислення границь:
Якщо дана послідовність (строго) додатних чисел і існує границя
тоді
Приклади
Приклад 1
Приклад 2
Використали те, що можна представити у вигляді границі послідовності.
Приклад 3
Використали те, що можна представити у вигляді границі послідовності.
Приклад 4
Розглянемо послідовність
- .
Перепишемо її у вигляді
послідовність обмежена (і знакопереміжна), у той час як
Це випливає з добре відомої границі, тому що ; тоді
Історія
Випадок був сформульований і доведений на сторінках 173—175 книжки Штольца 1885 року, а також на 54 сторінці статті Цезаро 1888 року.
Вона з'явилась як задача 70 в Pólya and Szegő (1925).
Загальна форма
Твердження
Загальне формулювання теореми Штольца—Цезаро наступне: якщо і дві послідовності, причому монотонна і необмежена, тоді
Доведення
Замість того щоб доводити попереднє твердження, доведемо трохи інше; спочатку введемо позначення: нехай будь-яка послідовність, тоді її часткова сума матиме вигляд . Еквівалентним твердженням, яке доведемо, є:
Нехай будь-які послідовності дійсних чисел такі, що
- ,
- ,
тоді
Доведення еквівалентного твердження
Спочатку відмітимо, що:
- за означенням верхньої та нижньої границь;
- виконується тоді і тільки тоді, коли because тому що .
Тоді достатньо показати, що . Якщо то можемо припустити (він може бути як скінченним, так і).За означенням ,для всіх існує таке натуральне число що
Використаємо цю нерівність щоб записати
Так як , то також маємо і можемо поділити на щоб отримати
Так як при , о послідовність
і отримаємо
За означенням точної верхньої границі, це означає, що
що й треба було довести.
Доведення початкового твердження
Тепер візьмемо такі як у загальному формулюванні теореми Штольца-Цезаро і визначимо
Так як строго монотонна (можна припустити, що вона строго зростаюча), для всіх оскільки тоТаким чином, можемо застосувати щойно доведену теорему для (і для їх часткових сум )
отримали те, що і треба було довести.
Див. також
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)
- Mureşan, Marian (2008), , Berlin: Springer, с. 85—88, ISBN , архів оригіналу за 5 липня 2020, процитовано 6 травня 2021.
- Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten, Leipzig: Teubners, 1885, с. 173—175.
- Sur la convergence des séries, Series 3, т. 7, с. 49—59.
- Pólya, George; Szegő, Gábor (1925), Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, т. I, Berlin: Springer.
- A. D. R. Choudary, Constantin Niculescu: Real Analysis on Intervals. Springer, 2014, , pp. 59-62 [ 6 травня 2021 у Wayback Machine.]
- J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Catoiu: Plausible and Genuine Extensions of L’Hospital's Rule. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1 (February 2012), pp. 52–60 (JSTOR [ 6 травня 2021 у Wayback Machine.])
Зовнішні лінки
- l'Hôpital's rule and Stolz-Cesàro theorem at imomath.com [ 6 травня 2021 у Wayback Machine.]
Примітки
- Choudary, A. D. R.; Niculescu, Constantin (2014). (англ.). Springer India. с. 59—60. ISBN . Архів оригіналу за 6 травня 2021. Процитовано 6 травня 2021.
- . Архів оригіналу за 6 травня 2021. Процитовано 6 травня 2021.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici teorema Shtolca Cezaro ce kriterij dlya dovedennya zbizhnosti poslidovnosti Teorema nazvana na chest matematikiv Otto Shtolca i en yaki vpershe sformulyuvali yiyi ta doveli Teoremu Shtolca Cezaro mozhna rozglyadati yak uzagalnennya en a takozh yak pravilo Lopitalya dlya poslidovnostej Formulyuvannya teoremi dlya vipadku Nehaj a n n 1 displaystyle a n n geq 1 i b n n 1 displaystyle b n n geq 1 dvi poslidovnosti dijsnih chisel Vvazhayuchi sho b n n 1 displaystyle b n n geq 1 strogo monotonna i rozbizhna poslidovnist tobto strogo zrostayucha i pryamuye do displaystyle infty abo strogo spadayucha i pryamuye do displaystyle infty i isnuye nastupna granicya lim n a n 1 a n b n 1 b n l displaystyle lim n to infty frac a n 1 a n b n 1 b n l Todi lim n a n b n l displaystyle lim n to infty frac a n b n l Formulyuvannya teoremi dlya vipadku 0 0Nehaj a n n 1 displaystyle a n n geq 1 i b n n 1 displaystyle b n n geq 1 dvi poslidovnosti dijsnih chisel prichomu a n 0 displaystyle a n to 0 ta b n 0 displaystyle b n to 0 ta b n n 1 displaystyle b n n geq 1 strogo monotonna Yaksho lim n a n 1 a n b n 1 b n l displaystyle lim n to infty frac a n 1 a n b n 1 b n l to lim n a n b n l displaystyle lim n to infty frac a n b n l DovedennyaDovedennya teoremi dlya vipadku Vipadok 1 Nehaj b n displaystyle b n strogo zrostayucha i rozbizhna do displaystyle infty l lt displaystyle l lt infty Za pripushennyam mayemo sho dlya vsih e 2 gt 0 displaystyle frac varepsilon 2 gt 0 isnuye n gt 0 displaystyle nu gt 0 take sho n gt n displaystyle forall n gt nu a n 1 a n b n 1 b n l lt e 2 displaystyle left frac a n 1 a n b n 1 b n l right lt frac varepsilon 2 tobto l e 2 lt a n 1 a n b n 1 b n lt l e 2 n gt n displaystyle l frac varepsilon 2 lt frac a n 1 a n b n 1 b n lt l frac varepsilon 2 quad forall n gt nu Oskilki b n displaystyle b n strogo zrostayucha b n 1 b n gt 0 displaystyle b n 1 b n gt 0 to vikonuyetsya nerivnist l e 2 b n 1 b n lt a n 1 a n lt l e 2 b n 1 b n n gt n displaystyle left l frac varepsilon 2 right b n 1 b n lt a n 1 a n lt left l frac varepsilon 2 right b n 1 b n quad forall n gt nu Dali zauvazhimo sho a n a n a n 1 a n 2 a n 1 a n 1 displaystyle a n a n a n 1 dots a nu 2 a nu 1 a nu 1 takim chinom zastosovuyuchi vishezaznachenu nerivnist do kozhnogo z dodankiv u kvadratnih duzhkah otrimuyemo l e 2 b n b n 1 a n 1 l e 2 b n b n 1 b n 2 b n 1 a n 1 lt a n a n lt l e 2 b n b n 1 b n 2 b n 1 a n 1 l e 2 b n b n 1 a n 1 displaystyle begin aligned amp left l frac varepsilon 2 right b n b nu 1 a nu 1 left l frac varepsilon 2 right b n b n 1 dots b nu 2 b nu 1 a nu 1 lt a n amp a n lt left l frac varepsilon 2 right b n b n 1 dots b nu 2 b nu 1 a nu 1 left l frac varepsilon 2 right b n b nu 1 a nu 1 end aligned Teper oskilki b n displaystyle b n to infty pri n displaystyle n to infty to isnuye n 0 gt 0 displaystyle n 0 gt 0 take sho b n 0 displaystyle b n gneq 0 dlya vsih n gt n 0 displaystyle n gt n 0 i mozhemo podiliti obidvi nerivnosti na b n displaystyle b n dlya vsih n gt max n n 0 displaystyle n gt max nu n 0 l e 2 a n 1 b n 1 l e 2 b n lt a n b n lt l e 2 a n 1 b n 1 l e 2 b n displaystyle left l frac varepsilon 2 right frac a nu 1 b nu 1 left l frac varepsilon 2 right b n lt frac a n b n lt left l frac varepsilon 2 right frac a nu 1 b nu 1 left l frac varepsilon 2 right b n Dvi poslidovnosti yaki viznacheni lishe dlya n gt n 0 displaystyle n gt n 0 oskilki maye isnuvati N n 0 displaystyle N leq n 0 take sho b N 0 displaystyle b N 0 c n a n 1 b n 1 l e 2 b n displaystyle c n pm frac a nu 1 b nu 1 left l pm frac varepsilon 2 right b n neskinchenno mali oskilki b n displaystyle b n to infty a chiselnik ce stala Otzhe dlya vsih e 2 displaystyle frac varepsilon 2 isnuye n gt n 0 gt 0 displaystyle n pm gt n 0 gt 0 take sho c n lt e 2 n gt n c n lt e 2 n gt n displaystyle begin aligned amp c n lt frac varepsilon 2 quad forall n gt n amp c n lt frac varepsilon 2 quad forall n gt n end aligned Takim chinom l e lt l e 2 c n lt a n b n lt l e 2 c n lt l e n gt max n n N gt 0 displaystyle l varepsilon lt l varepsilon 2 c n lt frac a n b n lt l frac varepsilon 2 c n lt l varepsilon quad forall n gt max lbrace nu n pm rbrace N gt 0 sho zavershuye dovedennya Vipadok koli poslidovnist b n displaystyle b n strogo spadna i rozbizhna do displaystyle infty l lt displaystyle l lt infty rozglyadayetsya analogichno Vipadok 2 Nehaj b n displaystyle b n strogo zrostayucha i rozbizhna l displaystyle l infty Prodovzhuyuchi yak i ranishe dlya vsih 3 2 M gt 0 displaystyle frac 3 2 M gt 0 dlya yakih isnuye n gt 0 displaystyle nu gt 0 takih sho n gt n displaystyle n gt nu a n 1 a n b n 1 b n gt 3 2 M displaystyle frac a n 1 a n b n 1 b n gt frac 3 2 M Znovu zh taki zastosovuyuchi vishezaznachenu nerivnist do kozhnogo z dodankiv vseredini kvadratnih duzhok otrimuyemo a n gt 3 2 M b n b n 1 a n 1 n gt n displaystyle a n gt frac 3 2 M b n b nu 1 a nu 1 quad forall n gt nu i a n b n gt 3 2 M a n 1 3 2 M b n 1 b n n gt max n n 0 displaystyle frac a n b n gt frac 3 2 M frac a nu 1 frac 3 2 Mb nu 1 b n quad forall n gt max nu n 0 Poslidovnist c n n gt n 0 displaystyle c n n gt n 0 viznachena yak c n a n 1 3 2 M b n 1 b n displaystyle c n frac a nu 1 frac 3 2 Mb nu 1 b n neskinchenno mala takim chinom M 2 gt 0 n gt n 0 gt 0 take sho M 2 lt c n lt M 2 n gt n displaystyle forall M 2 gt 0 exists bar n gt n 0 gt 0 text take sho M 2 lt c n lt M 2 forall n gt bar n Kombinuyuchi cyu nerivnist z poperednoyu robimo visnovok sho a n b n gt 3 2 M c n gt M n gt max n n N displaystyle frac a n b n gt frac 3 2 M c n gt M quad forall n gt max nu bar n N Tak samo dovodyatsya vipadki koli b n displaystyle b n strogo zrostayucha abo spadayucha i pryamuye do displaystyle infty abo displaystyle infty vidpovidno l displaystyle l pm infty Dovedennya teoremi dlya vipadku 0 0 Vipadok 1 spochatku rozglyadayemo vipadok koli l lt displaystyle l lt infty i b n displaystyle b n strogo zrostayucha Cogo razu dlya kozhnogo m gt 0 displaystyle m gt 0 mozhemo zapisati a n a n a n 1 a m n 1 a m n a m n displaystyle a n a n a n 1 dots a m nu 1 a m nu a m nu i l e 2 b n b n m a n m l e 2 b n b n 1 b n m 1 b n m a n m lt a n a n lt l e 2 b n b n 1 b n m 1 b n m a n m l e 2 b n b n m a n m displaystyle begin aligned amp left l frac varepsilon 2 right b n b nu m a nu m left l frac varepsilon 2 right b n b n 1 dots b nu m 1 b nu m a nu m lt a n amp a n lt left l frac varepsilon 2 right b n b n 1 dots b nu m 1 b nu m a nu m left l frac varepsilon 2 right b n b nu m a nu m end aligned Dvi poslidovnosti c m a n m b n m l e 2 b n displaystyle c m pm frac a nu m b nu m l pm varepsilon 2 b n ye naskinchenno malimi za pripushennyam a m b m 0 displaystyle a m b m to 0 tomu dlya vsih e 2 gt 0 displaystyle frac varepsilon 2 gt 0 isnuyut taki n gt 0 displaystyle n pm gt 0 sho c m lt e 2 m gt n c m lt e 2 m gt n displaystyle begin aligned amp c m lt dfrac varepsilon 2 quad forall m gt n amp c m lt dfrac varepsilon 2 quad forall m gt n end aligned Otzhe vibirayuchi m displaystyle m vidpovidnim chinom tobto perehodyachi do granici vidnosno m displaystyle m otrimuyemo l e lt l e 2 c m lt a n b n lt l e 2 c m lt l e n gt max n n 0 displaystyle l varepsilon lt l dfrac varepsilon 2 c m lt frac a n b n lt l dfrac varepsilon 2 c m lt l varepsilon quad forall n gt max nu n 0 sho i zavershuye dovedennya Vipadok 2 vvazhayemo sho l displaystyle l infty i b n displaystyle b n strogo zrostayucha Dlya vsih 3 2 M gt 0 displaystyle frac 3 2 M gt 0 isnuye take n gt 0 displaystyle nu gt 0 sho dlya vsih n gt n displaystyle n gt nu a n 1 a n b n 1 b n gt 3 2 M displaystyle frac a n 1 a n b n 1 b n gt frac 3 2 M Todi dlya kozhnogo m gt 0 displaystyle m gt 0 a n b n gt 3 2 M a n m 3 2 M b n m b n n gt max n n 0 displaystyle frac a n b n gt frac 3 2 M frac a nu m frac 3 2 Mb nu m b n quad forall n gt max nu n 0 Poslidovnist c m a n m 3 2 M b n m b n displaystyle c m frac a nu m frac 3 2 Mb nu m b n zbigayetsya do 0 displaystyle 0 dlya fiksovanogo n displaystyle n tomu M 2 gt 0 n gt 0 takij sho M 2 lt c m lt M 2 m gt n displaystyle forall M 2 gt 0 exists bar n gt 0 mbox takij sho M 2 lt c m lt M 2 forall m gt bar n i vibirayuchi zruchne dlya nas m displaystyle m zavershuyemo dovedennya a n b n gt 3 2 M c m gt M n gt max n n 0 displaystyle frac a n b n gt frac 3 2 M c m gt M quad forall n gt max nu n 0 Prikladi ta zastosuvannyaCya teorema dlya vipadku displaystyle cdot infty maye dekilka naslidkiv yaki korisno vikoristovuvati dlya obchislennya granic Serednye arifmetichne Nehaj x n displaystyle x n poslidovnist dijsnih chisel yaka zbigayetsya do l displaystyle l Rozglyanemo poslidovnosti a n m 1 n x m x 1 x n b n n displaystyle a n sum m 1 n x m x 1 dots x n quad b n n todi b n displaystyle b n strogo zrostaye i pryamuye do displaystyle infty Teper obchislyuyemo lim n a n 1 a n b n 1 b n lim n x n 1 lim n x n l displaystyle lim n to infty frac a n 1 a n b n 1 b n lim n to infty x n 1 lim n to infty x n l todi lim n x 1 x n n lim n x n displaystyle lim n to infty frac x 1 dots x n n lim n to infty x n Yaksho dlya poslidovnisti x n n 1 displaystyle x n n geq 1 dijsnih chisel isnuye granicyalim n x n displaystyle lim n to infty x n dd to lim n x 1 x n n lim n x n displaystyle lim n to infty frac x 1 dots x n n lim n to infty x n dd Serednye geometrichne Nehaj x n displaystyle x n poslidovnist dodatnih dijsnih chisel yaka pryamuye do l displaystyle l i viznachena yak a n log x 1 x n b n n displaystyle a n log x 1 cdots x n quad b n n Znovu obchislimo lim n a n 1 a n b n 1 b n lim n log x 1 x n 1 x 1 x n lim n log x n 1 lim n log x n log l displaystyle lim n to infty frac a n 1 a n b n 1 b n lim n to infty log Big frac x 1 cdots x n 1 x 1 cdots x n Big lim n to infty log x n 1 lim n to infty log x n log l de vikoristano neperervnist logarifmichnoyi funkciyi Takim chinom lim n log x 1 x n n lim n log x 1 x n 1 n log l displaystyle lim n to infty frac log x 1 cdots x n n lim n to infty log Big x 1 cdots x n frac 1 n Big log l oskilki logarifm neperervnij i in yektivnij to mozhna zrobiti visnovok sho lim n x 1 x n n lim n x n displaystyle lim n to infty sqrt n x 1 cdots x n lim n to infty x n Yaksho zadano poslidovnist x n n 1 displaystyle x n n geq 1 strogo dodatnih chisel i isnuye granicyalim n x n displaystyle lim n to infty x n dd todi lim n x 1 x n n lim n x n displaystyle lim n to infty sqrt n x 1 cdots x n lim n to infty x n dd Nehaj zadano poslidovnist y n n 1 displaystyle y n n geq 1 i potribno obchisliti lim n y n n displaystyle lim n to infty sqrt n y n Poklavshi y 0 1 displaystyle y 0 1 and x n y n y n 1 displaystyle x n y n y n 1 otrimayemo lim n x 1 x n n lim n y 1 y n y 0 y 1 y n 1 n lim n y n n displaystyle lim n to infty sqrt n x 1 dots x n lim n to infty sqrt n frac y 1 dots y n y 0 cdot y 1 dots y n 1 lim n to infty sqrt n y n ta zastosuvavshi vishezaznachenu vlastivist mayemo lim n y n n lim n x n lim n y n y n 1 displaystyle lim n to infty sqrt n y n lim n to infty x n lim n to infty frac y n y n 1 Cya forma yak pravilo ye najbilsh korisnoyu dlya obchislennya granic Yaksho dana poslidovnist y n n 1 displaystyle y n n geq 1 strogo dodatnih chisel i isnuye granicyalim n y n 1 y n displaystyle lim n to infty frac y n 1 y n dd todi lim n y n n lim n y n 1 y n displaystyle lim n to infty sqrt n y n lim n to infty frac y n 1 y n dd Prikladi Priklad 1 lim n n n lim n n 1 n 1 displaystyle lim n to infty sqrt n n lim n to infty frac n 1 n 1 Priklad 2 lim n n n n lim n n 1 n n n n 1 n 1 lim n n n n 1 n lim n 1 1 1 n n 1 e displaystyle begin aligned lim n to infty frac sqrt n n n amp lim n to infty frac n 1 n n n n 1 n 1 amp lim n to infty frac n n n 1 n lim n to infty frac 1 1 frac 1 n n frac 1 rm e end aligned Vikoristali te sho e displaystyle rm e mozhna predstaviti u viglyadi granici poslidovnosti Priklad 3 lim n log n n log n lim n log n 1 log n n 1 log n 1 n log n lim n log n 1 n log n 1 n 1 n n lim n log n 1 log n 1 1 1 n n lim n log n 1 log n 1 e lim n log n 1 log n 1 1 1 displaystyle begin aligned lim n to infty frac log n n log n amp lim n to infty frac log n 1 log n n 1 log n 1 n log n amp lim n to infty frac log frac n 1 n log frac n 1 n 1 n n lim n to infty frac log n 1 log left n 1 1 frac 1 n n right amp lim n to infty frac log n 1 log n 1 e lim n to infty frac log n 1 log n 1 1 1 end aligned Vikoristali te sho e displaystyle rm e mozhna predstaviti u viglyadi granici poslidovnosti Priklad 4 Rozglyanemo poslidovnist a n 1 n n n n displaystyle a n 1 n frac n n n Perepishemo yiyi u viglyadi a n b n c n b n 1 n c n n n n n displaystyle a n b n cdot c n quad b n 1 n quad c n left frac sqrt n n n right n poslidovnist b n displaystyle b n obmezhena i znakoperemizhna u toj chas yak lim n n n n n lim n 1 e n 0 displaystyle lim n to infty left frac sqrt n n n right n lim n to infty 1 rm e n 0 Ce viplivaye z dobre vidomoyi granici tomu sho 1 e lt 1 displaystyle dfrac 1 rm e lt 1 todi lim n 1 n n n n 0 displaystyle lim n to infty 1 n frac n n n 0 IstoriyaVipadok displaystyle dfrac infty infty buv sformulovanij i dovedenij na storinkah 173 175 knizhki Shtolca 1885 roku a takozh na 54 storinci statti Cezaro 1888 roku Vona z yavilas yak zadacha 70 v Polya and Szego 1925 Zagalna formaTverdzhennya Zagalne formulyuvannya teoremi Shtolca Cezaro nastupne yaksho a n n 1 displaystyle a n n geq 1 i b n n 1 displaystyle b n n geq 1 dvi poslidovnosti prichomu b n n 1 displaystyle b n n geq 1 monotonna i neobmezhena todi lim inf n a n 1 a n b n 1 b n lim inf n a n b n lim sup n a n b n lim sup n a n 1 a n b n 1 b n displaystyle liminf n to infty frac a n 1 a n b n 1 b n leq liminf n to infty frac a n b n leq limsup n to infty frac a n b n leq limsup n to infty frac a n 1 a n b n 1 b n Dovedennya Zamist togo shob dovoditi poperednye tverdzhennya dovedemo trohi inshe spochatku vvedemo poznachennya nehaj a n n 1 displaystyle a n n geq 1 bud yaka poslidovnist todi yiyi chastkova suma matime viglyad A n m 1 n a m displaystyle A n sum m geq 1 n a m Ekvivalentnim tverdzhennyam yake dovedemo ye Nehaj a n n 1 b n 1 displaystyle a n n geq 1 b n geq 1 bud yaki poslidovnosti dijsnih chisel taki shob n gt 0 n Z gt 0 displaystyle b n gt 0 quad forall n in mathbb Z gt 0 lim n B n displaystyle lim n to infty B n infty todi lim inf n a n b n lim inf n A n B n lim sup n A n B n lim sup n a n b n displaystyle liminf n to infty frac a n b n leq liminf n to infty frac A n B n leq limsup n to infty frac A n B n leq limsup n to infty frac a n b n Dovedennya ekvivalentnogo tverdzhennya Spochatku vidmitimo sho lim inf n A n B n lim sup n A n B n displaystyle liminf n to infty frac A n B n leq limsup n to infty frac A n B n za oznachennyam verhnoyi ta nizhnoyi granic lim inf n a n b n lim inf n A n B n displaystyle liminf n to infty frac a n b n leq liminf n to infty frac A n B n vikonuyetsya todi i tilki todi koli lim sup n A n B n lim sup n a n b n displaystyle limsup n to infty frac A n B n leq limsup n to infty frac a n b n because lim inf n x n lim sup n x n displaystyle liminf n to infty x n limsup n to infty x n tomu sho x n n 1 displaystyle x n n geq 1 Todi dostatno pokazati sho lim sup n A n B n lim sup n a n b n displaystyle limsup n to infty frac A n B n leq limsup n to infty frac a n b n Yaksho L lim sup n a n b n displaystyle L limsup n to infty frac a n b n infty to mozhemo pripustiti L lt displaystyle L lt infty vin mozhe buti yak skinchennim tak i displaystyle infty Za oznachennyam lim sup displaystyle limsup dlya vsih l gt L displaystyle l gt L isnuye take naturalne chislo n gt 0 displaystyle nu gt 0 sho a n b n lt l n gt n displaystyle frac a n b n lt l quad forall n gt nu Vikoristayemo cyu nerivnist shob zapisati A n A n a n 1 a n lt A n l B n B n n gt n displaystyle A n A nu a nu 1 dots a n lt A nu l B n B nu quad forall n gt nu Tak yak b n gt 0 displaystyle b n gt 0 to takozh mayemo B n gt 0 displaystyle B n gt 0 i mozhemo podiliti na B n displaystyle B n shob otrimati A n B n lt A n l B n B n l n gt n displaystyle frac A n B n lt frac A nu lB nu B n l quad forall n gt nu Tak yak B n displaystyle B n to infty pri n displaystyle n to infty o poslidovnist A n l B n B n 0 pri n n fiksovane displaystyle frac A nu lB nu B n to 0 text pri n to infty text nu text fiksovane i otrimayemo lim sup n A n B n l l gt L displaystyle limsup n to infty frac A n B n leq l quad forall l gt L Za oznachennyam tochnoyi verhnoyi granici ce oznachaye sho lim sup n A n B n L lim sup n a n b n displaystyle limsup n to infty frac A n B n leq L limsup n to infty frac a n b n sho j treba bulo dovesti Dovedennya pochatkovogo tverdzhennya Teper vizmemo taki a n b n displaystyle a n b n yak u zagalnomu formulyuvanni teoremi Shtolca Cezaro i viznachimo a 1 a 1 a k a k a k 1 k gt 1 b 1 b 1 b k b k b k 1 k gt 1 displaystyle alpha 1 a 1 alpha k a k a k 1 forall k gt 1 quad beta 1 b 1 beta k b k b k 1 forall k gt 1 Tak yak b n displaystyle b n strogo monotonna mozhna pripustiti sho vona strogo zrostayucha b n gt 0 displaystyle beta n gt 0 dlya vsih n displaystyle n oskilki b n displaystyle b n to infty toB n b 1 b 2 b 1 b n b n 1 b n displaystyle mathrm B n b 1 b 2 b 1 dots b n b n 1 b n to infty Takim chinom mozhemo zastosuvati shojno dovedenu teoremu dlya a n b n displaystyle alpha n beta n i dlya yih chastkovih sum A n B n displaystyle mathrm A n mathrm B n lim sup n a n b n lim sup n A n B n lim sup n a n b n lim sup n a n a n 1 b n b n 1 displaystyle limsup n to infty frac a n b n limsup n to infty frac mathrm A n mathrm B n leq limsup n to infty frac alpha n beta n limsup n to infty frac a n a n 1 b n b n 1 otrimali te sho i treba bulo dovesti Div takozhZbizhnij ryad Granicya poslidovnosti Diferencialne chislennyaLiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2300 s ukr Muresan Marian 2008 Berlin Springer s 85 88 ISBN 978 0 387 78932 3 arhiv originalu za 5 lipnya 2020 procitovano 6 travnya 2021 Vorlesungen uber allgemeine Arithmetik nach den Neueren Ansichten Leipzig Teubners 1885 s 173 175 Sur la convergence des series Series 3 t 7 s 49 59 Polya George Szego Gabor 1925 Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis t I Berlin Springer A D R Choudary Constantin Niculescu Real Analysis on Intervals Springer 2014 ISBN 9788132221487 pp 59 62 6 travnya 2021 u Wayback Machine J Marshall Ash Allan Berele Stefan Catoiu Plausible and Genuine Extensions of L Hospital s Rule Mathematics Magazine Vol 85 No 1 February 2012 pp 52 60 JSTOR 6 travnya 2021 u Wayback Machine Zovnishni linkil Hopital s rule and Stolz Cesaro theorem at imomath com 6 travnya 2021 u Wayback Machine PrimitkiChoudary A D R Niculescu Constantin 2014 angl Springer India s 59 60 ISBN 978 81 322 2147 0 Arhiv originalu za 6 travnya 2021 Procitovano 6 travnya 2021 Arhiv originalu za 6 travnya 2021 Procitovano 6 travnya 2021