Теорема Хопфа — Рінова

Теорема Гопфа — Рінова стверджує, що для лінійно зв'язного ріманового многовиду ${\displaystyle M}$ наступні твердження еквівалентні:

• ${\displaystyle M}$ — є повним метричним простором;
• Для деякої точки ${\displaystyle p\in M}$ експоненційне відображення ${\displaystyle \exp _{p}:T_{p}\to M}$ визначено для всіх векторів у ${\displaystyle T_{p}}$ (де ${\displaystyle T_{p}}$ — дотичний простір до ${\displaystyle M}$ в точці ${\displaystyle p}$); Простори з такими властивостями називаються геодезично повними;
• Кожна множина, обмежена і замкнута в ${\displaystyle M}$, є компактною.

Наслідки

• Будь-які дві точки p і q в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді можна з'єднати геодезичною лінією довжина якої рівна відстані між p і q;
• Будь-яка геодезична в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді є необмеженою, тобто визначена для всіх дійсних чисел.

Приклади

• Сфера ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$, евклідовий простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ і гіперболічний простір ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ є геодезично повними;
• Всі компактні зв'язані ріманові многовиди є геодезично повними;
• Метричний простір ${\displaystyle M:=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}$ з метрикою інкукованою звичайним скалярним добутком не є геодезично повним. Зокрема точки ${\displaystyle p=(x_{1},x_{2})\in M}$ і ${\displaystyle q=(-x_{1},-x_{2})\in M}$ не зв'язані жодною геодезичною лінією в ${\displaystyle M}$.

Узагальнення

• Теорема Гопфа — Рінова вірна для просторів з внутрішньою метрикою, не обов'язково рімановою (наприклад, фінслерових): якщо ${\displaystyle (X,\rho )}$ — локально компактний повний метричний простір з внутрішньою метрикою, то будь-які дві точки простору ${\displaystyle X}$ можна з'єднати найкоротшою лінією.
• Теорема Гопфа — Рінова не вірна в нескінченновимірних просторах зокрема дві точки скінченновимірного повного Гільбертового многовиду можуть не бути сполученими жодною геодезичною лінією . Твердження теореми також неправильне для псевдоріманових многовидів зокрема многовидів Лоренца .

Примітки

1. Atkin, C. J. (1975), The Hopf-Rinow theorem is false in infinite dimensions (PDF), The Bulletin of the London Mathematical Society, 7 (3): 261—266, doi:10.1112 / blms / 7.3.261, MR 0400283 {{}}: Перевірте значення |doi= ().
2. O'Neill, Barrett (+1983), , Pure and Applied Mathematics, т. 103, Academic Press, с. 193, ISBN , архів оригіналу за 14 травня 2021, процитовано 24 жовтня 2018.

Література

• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971;
• Кон-Фоссен, Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.
• Jost, J., Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin 2002, .
• Manfredo Perdigao do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhauser, Boston 1992, .