Псевдоріманів многовид

Псевдорімановий многовид  — многовид, на якому визначено метричний тензор (квадратична форма), що є невиродженим у кожній точці, але, на відміну від ріманових многовидів, не обов'язково додатноозначений. Зазвичай передбачається, що сигнатура метрики постійна (у разі зв'язного многовида це автоматично випливає з умови невиродженості).

Означення

Нехай ${\displaystyle M}$  — диференційовний многовид розмірності ${\displaystyle n}$ і для кожної точки ${\displaystyle p\in M}$ дотичний простір у цій точці позначається ${\displaystyle T_{p}M}$.

Многовид називається псевдорімановим, якщо задано відображення (метричний тензор) ${\displaystyle g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} ,}$ який кожній парі векторів із деякого дотичного простору ставить у відповідність дійсне число й задовольняє властивостям симетричності, білінійності, гладкості та існування нуля.

Тобто, для ${\displaystyle X,Y,Z\in T_{p}M}$ виконуються такі умови:

• ${\displaystyle \,g(X,Y)=g(Y,X)}$ — симетричність
• ${\displaystyle \,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z),\;\forall a\in \mathbb {R} }$ — білінійність;
• Якщо для деякого ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ для всіх ${\displaystyle Y\in T_{p}M}$ справедливо ${\displaystyle \,g(X,Y)=0,}$ то ${\displaystyle X=0.}$
• Для довільних гладких векторних полів ${\displaystyle {\mathcal {X}},{\mathcal {Y}},\;}$ ${\displaystyle g({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ є гладкою функцією на многовиді ${\displaystyle M.}$

Єдиною відмінністю від визначення ріманового многовиду є відсутність умови додатноозначеності. Тому якщо для ріманових многовидів дотичні простори набувають структуру евклідового простору, для псевдоріманових многовидів дотичні простори є лише псевдоевклідовими.

Сигнатура

Для метричного тензора g на n-вимірному дійсному многовиді, квадратична форма q(x) = g(X, X) пов'язана з метричним тензором для елементів кожного ортогонального базису визначає n дійсних чисел. Згідно закону інерції Сильвестра, кількість додатних, від'ємних і нульових значень не залежить від вибору ортогонального базису. Для невиродженого метричного тензора нульових значень немає і сигнатура визначена як (p, q), де p + q = n. Сигнатура не змінюється в усіх точках будь-якої компоненти зв'язності многовида.

Приклади

• Псевдоевклідів простір є найпростішим прикладом псевдоріманового многовида.
• Ріманів многовид можна розглядати як окремий випадок псевдоріманового із сигнатурою (n, 0)
  • Псевдоріманові многовиди, які не є власне рімановими, іноді називають власне псевдорімановими.
• Псевдорімановий многовид сигнатури (1, n) або (n, 1) називають простором Мінковського. Він є основним^[] об'єктом загальної теорії відносності.

Геометрія псевдоріманових просторів

У локальних координатах метричний тензор може бути записаний як ${\displaystyle g=\sum _{i,j}g_{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}.}$ На многовиді однозначно визначена зв'язність Леві-Чивіти і тензор кривини.

Довжина кривої визначається за формулою:

${\displaystyle s=\int _{l}{\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}}.}$

Вона може бути дійсною, уявною або рівною нулю (Ізотропна крива). Геодезичні лінії в псевдоріманових просторах навіть в малих своїх частинах втрачають екстремальні властивості, залишаючись лініями стаціонарної довжини. Довжина деякої дуги може бути більшою або меншою довжини геодезичної лінії, що з'єднує кінці дуги.

У випадку простору сигнатури (1, n), відрізок геодезичної лінії дійсної довжини дає найбільшу відстань між кінцевими точками (у припущенні, що дугу геодезичної лінії можна вкласти в напівгеодезичну координатну систему у вигляді координатної лінії і що для порівняння беруться гладкі криві дійсної довжини з області, де є визначеною ця координатна система).

У разі, коли розглядається псевдоевклідів простір сигнатури (1, n), можна будь-яку пряму дійсної довжини прийняти за вісь ${\displaystyle x_{n}}$ ортонормованої координатної системи, в якій скалярний квадрат вектора ${\displaystyle X}$ має вигляд:

${\displaystyle |X|^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}^{2}+x_{n}^{2}}$

Тут будь-який прямолінійний відрізок дійсної довжини (уздовж осі ${\displaystyle x_{n}}$) буде визначати найдовшу відстань між точками, які є його кінцями.

У разі многовида сигнатури (n, 1) відрізок геодезичної лінії уявної довжини буде мати більшу довжину в порівнянні з іншими гладкими кривими уявної довжини, кінці яких збігаються з кінцями геодезичного відрізка.

На відміну від ріманових многовидів на власне псевдоріманових многовидах неможливо запровадити природну структуру метричного простору, оскільки існують різні точки, відстань між якими дорівнює нулю.

У псевдорімановому многовиді визначається секційна кривина, вона може бути інтерпретована як кривина геодезичної (неізотропної) 2-поверхні, проведеної в даній точці в даному двовимірному напрямку. Якщо значення секційної кривини в кожній точці одне і те ж за всіма двовимірними напрямками, то воно є постійним у всіх точках (теорема Шура) і псевдорімановий многовид в цьому випадку називається псевдорімановим многовидом сталої кривини.

Див. також

• Зв'язність Леві-Чивіти
• Метричний тензор
• Ріманів многовид

Література

• Bishop, Richard L.; Goldberg, Samuel I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (вид. First Dover 1980), The Macmillan Company, ISBN 
• Chen, Bang-Yen (2011), Pseudo-Riemannian Geometry, [delta]-invariants and Applications, World Scientific Publisher, ISBN 
• O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Pure and Applied Mathematics, т. 103, Academic Press, ISBN