Теорема Лузіна

В математиці теорема Лузіна стверджує, що довільна вимірна функція є неперервною майже на всій своїй області визначення.

Більш формально, нехай для інтервалу [a, b] функція:

${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$

є вимірною. Тоді для довільного ${\displaystyle \scriptstyle \varepsilon \ >\ 0}$, існує компактна множина ${\displaystyle \scriptstyle E\ \subset \ [a,b]}$ така, що функція ƒ є неперервною на E і

${\displaystyle \mu (E^{c})<\varepsilon .}$

Тут E^c позначає доповнення E у множині [a, b].

Узагальнення

Нехай ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ — вимірний простір, де ${\displaystyle X}$ локально компактний гаусдорфів простір, ${\displaystyle \Sigma }$ — сигма-алгебра на ${\displaystyle X}$, що містить борелівську сигма-алгебру, і ${\displaystyle \mu }$ — деяка регулярна міра. Для ${\displaystyle \Sigma }$-вимірної функції ${\displaystyle f:X\to {\mathbb {R} }}$ виконується твердження:

Для множини ${\displaystyle A\in \Sigma }$ такої, що ${\displaystyle \mu (A)<\infty }$ і довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує компактна множина ${\displaystyle K\subset A}$ для якої ${\displaystyle \mu (A\setminus K)<\varepsilon }$, і ${\displaystyle f|_{K}}$ — звуження функції на множину K є неперервним.

Література

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.
• Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, .