Тензорне розшарування типу на диференційовному многовиді — це векторне розшарування над , асоційоване з розшаруванням дотичних реперів і таке що має як стандартний шар простір тензорів типу на , в якому група діє за допомогою тензорного представлення. Наприклад, збігається з дотичним розшаруванням над , a — з .
У загальному випадку тензорне розшарування ізоморфно тензорному добутку дотичних і кодотичних розшарувань:
Самі розшарування є лише основою для побудови перетинів тензорних розшарувань типу , які називаються тензорними полями типу і є основним об'єктом дослідження диференціальної геометрії. Так, наприклад, ріманова структура на — це гладкий перетин розшарування , значення якого є позитивно визначеними симетричними формами.
Гладкі перетини розшарування утворюють модуль над алгеброю гладких функцій на . Якщо — паракомпактний многовид, то
де — модуль гладких векторних полів, - модуль пфаффових диференціальних форм, а тензорні добутки беруться над .
У класичній диференціальній геометрії тензорні поля іноді називають просто тензорами на .
Література
- Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — Новокузнецкий физико-математический институт, 1999. — Т. 1. — 344 с. — ..
- Хелгасон С. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. — Факториал Пресс, 2005. — 608 с. — (XX век. Математика и механика) — ..
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Tenzorne rozsharuvannya tipu p q displaystyle p q na diferencijovnomu mnogovidi M displaystyle M ce vektorne rozsharuvannya T p q M displaystyle T p q M nad M displaystyle M asocijovane z rozsharuvannyam dotichnih reperiv i take sho maye yak standartnij shar prostir T p q R n displaystyle T p q mathbb R n tenzoriv tipu p q displaystyle p q na R n displaystyle mathbb R n v yakomu grupa G L n R displaystyle GL n mathbb R diye za dopomogoyu tenzornogo predstavlennya Napriklad T 1 0 M displaystyle T 1 0 M zbigayetsya z dotichnim rozsharuvannyam T M displaystyle T M nad M displaystyle M a T 0 1 M displaystyle T 0 1 M z T M displaystyle T M U zagalnomu vipadku tenzorne rozsharuvannya izomorfno tenzornomu dobutku dotichnih i kodotichnih rozsharuvan T p q M p T M q T M displaystyle T p q M cong overset p bigotimes T M bigotimes overset q bigotimes T M Sami rozsharuvannya ye lishe osnovoyu dlya pobudovi peretiniv tenzornih rozsharuvan tipu p q displaystyle p q yaki nazivayutsya tenzornimi polyami tipu p q displaystyle p q i ye osnovnim ob yektom doslidzhennya diferencialnoyi geometriyi Tak napriklad rimanova struktura na M displaystyle M ce gladkij peretin rozsharuvannya T 0 2 M displaystyle T 0 2 M znachennya yakogo ye pozitivno viznachenimi simetrichnimi formami Gladki peretini rozsharuvannya T p q M displaystyle T p q M utvoryuyut modul D p q M displaystyle D p q M nad algebroyu F M D 0 0 M displaystyle F infty M D 0 0 M gladkih funkcij na M displaystyle M Yaksho M displaystyle M parakompaktnij mnogovid to D p q M p D 1 M q D 1 M displaystyle D p q M cong overset p bigotimes D 1 M bigotimes overset q bigotimes D 1 M de D 1 M D 1 0 M displaystyle D 1 M D 1 0 M modul gladkih vektornih poliv D 1 M D 0 1 M displaystyle D 1 M D 0 1 M modul pfaffovih diferencialnih form a tenzorni dobutki berutsya nad F M displaystyle F infty M U klasichnij diferencialnij geometriyi tenzorni polya inodi nazivayut prosto tenzorami na M displaystyle M LiteraturaKobayasi Sh Nomidzu K Osnovy differencialnoj geometrii Novokuzneckij fiziko matematicheskij institut 1999 T 1 344 s ISBN 5 80323 180 0 Helgason S Differencialnaya geometriya gruppy Li i simmetricheskie prostranstva Faktorial Press 2005 608 s XX vek Matematika i mehanika ISBN 5 88688 076 3