Стала Хінчина

Стала Хінчина — дійсна константа ${\displaystyle K_{0}\approx 2{,}685452}$, що дорівнює середньому геометричному елементів розкладу в ланцюговий дріб будь-якого з майже всіх дійсних чисел.

Стала Хінчина
Названо на честь	^d
Числове значення	2,685452001 ± 1,0E−10
Підтримується Вікіпроєктом
Стала Хінчина у Вікісховищі

Сталу Хінчина назвали на честь ^[ru], який знайшов і довів існування цієї сталої і формулу для неї 1935 року. Позначення ${\displaystyle K_{0}}$ або ${\displaystyle K}$ відповідає першій букві транслітерації прізвища «Хінчин» в європейських мовах.

Визначення

Для майже будь-якого дійсного числа ${\displaystyle x}$ елементи ${\displaystyle a_{i}}$ його розкладу в ланцюговий дріб мають скінченне середнє геометричне, яке не залежить від ${\displaystyle x}$. Ця величина і називається сталою Хінчина.

Іншими словами, якщо

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;}$ ,

де ${\displaystyle a_{0}}$ ціле, а решта ${\displaystyle a_{i}}$ натуральні, то для майже всіх ${\displaystyle x}$ виконується

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2{,}6854520010\ldots }$ (послідовність A002210 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

При цьому сталу Хінчина ${\displaystyle K_{0}}$ можна виразити у вигляді нескінченного добутку

${\displaystyle K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2}r}}$ .

Значимість

Розклад у ланцюговий дріб будь-якого дійсного числа — це послідовність натуральних чисел, і будь-яка послідовність натуральних чисел є розкладом у ланцюговий дріб якогось дійсного числа, що лежить між 0 і 1. Проте, якщо будь-яким чином випадково вибирати елементи послідовності натуральних чисел, то середнє геометричне елементів, взагалі кажучи, зовсім не обов'язково буде однаковим для всіх або майже всіх одержуваних послідовностей. Тому існування сталої Хінчина — та обставина, що середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб виявляється однаковим для багатьох дійсних чисел, — це фундаментальне твердження про дійсні числа та їх розклади в ланцюговий дріб, витончений і глибокий результат, один з найбільш вражаючих фактів у математиці.

Схема доведення

Тут наводиться доведення існування сталої Хінчина і формули для неї, що належить ^[pl], яке простіше від доведення Хінчина, який не використовував ергодичної теорії.

Оскільки перший елемент ${\displaystyle a_{0}}$ розкладу числа ${\displaystyle x}$ у ланцюговий дріб не має ніякого значення у твердженні, що доводиться, і оскільки міра Лебега раціональних чисел дорівнює нулю, то ми можемо обмежитися розглядом ірраціональних чисел на відрізку ${\displaystyle (0,1)}$, Тобто множиною ${\displaystyle I=[0,1]\setminus \mathbb {Q} }$. Ці числа мають взаємно-однозначну відповідність з ланцюговими дробами вигляду ${\displaystyle [0;a_{1},a_{2},a_{3}\ldots ]}$. Введемо ${\displaystyle T\colon I\to I}$ :

${\displaystyle T([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=[0;a_{2},a_{3},\ldots ]}$ .

Для кожної борелівської підмножини ${\displaystyle E}$ множини ${\displaystyle I}$ також визначимо міру Гаусса — Кузьміна:

${\displaystyle \mu (E)={\frac {1}{\ln 2}}\int _{E}{\frac {dx}{1+x}}}$ .

тоді ${\displaystyle \mu }$ — імовірнісна міра на сигма-алгебрі борелівських підмножин ${\displaystyle I}$. Міра ${\displaystyle \mu }$ еквівалентна мірі Лебега на ${\displaystyle I}$, але володіє додатковою властивістю: перетворення ${\displaystyle T}$ зберігає міру ${\displaystyle \mu }$. Більше того, можна показати, що ${\displaystyle T}$ — ергодичне перетворення вимірюваного простору ${\displaystyle I}$, забезпеченого мірою ${\displaystyle \mu }$ (це найскладніший момент у доведенні). Тоді каже, що для будь-якої ${\displaystyle \mu }$ -інтегровної функції ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle I}$ середнє значення ${\displaystyle f\left(T^{k}x\right)}$ — однакове майже для всіх ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x)=\int _{I}f\,d\mu }$ для майже всіх ${\displaystyle x\in I}$ за мірою ${\displaystyle \mu }$.

Вибираючи функцію ${\displaystyle f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=\ln a_{1}}$, отримуємо:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln(a_{k})=\int _{I}f\,d\mu =\sum _{r=1}^{\infty }\ln r{\frac {\ln {\bigl (}1+{\frac {1}{r(r+2)}}{\bigr )}}{\ln 2}}}$

для майже всіх ${\displaystyle [0;a_{1},a_{2},\ldots ]}$ з ${\displaystyle I}$.

Беручи (експоненту) від обох частин рівності, отримуємо зліва середнє геометричне перших ${\displaystyle n}$ елементів ланцюгового дробу при ${\displaystyle n\to \infty }$, а праворуч — постійну Хінчина.

Розкладання в ряд

Постійна Хінчина може бути подана у вигляді ряду:

${\displaystyle \ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}}$ ,

або, розділяючи члени ряду,

${\displaystyle \ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\left[-\sum _{k=2}^{N}\ln \left({\frac {k-1}{k}}\right)\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n,N+1)}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\right]}$ ,

де ${\displaystyle N}$ — деяке фіксоване ціле число, ${\displaystyle \zeta (s,q)}$ — дзета-функція Гурвіца. Обидва ряди швидко збігаються, тому що ${\displaystyle \zeta (n)-1}$ швидко наближається до нуля зі зростанням ${\displaystyle n}$. Можна також дати розклад через дилогарифм:

${\displaystyle \ln K_{0}=\ln 2+{\frac {1}{\ln 2}}\left[\mathrm {Li} _{2}\left({\frac {-1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\mathrm {Li} _{2}\left({\frac {4}{k^{2}}}\right)\right]}$ .

Середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб різних чисел

Середні геометричні від перших ${\displaystyle n}$ елементів розкладу в ланцюговий дріб різних чисел залежно від ${\displaystyle n}$. Зелений графік відповідає числу ${\displaystyle \sin 1}$ — схоже, що він збігається до сталої Хінчина, але це не доведено. Жовтий графік відповідає описаному в тексті числу, спеціально побудованому так, щоб графік сходився до сталої Хінчина. Червоний і синій графіки відповідають числу e і числу ${\displaystyle {\sqrt {31}}}$, Відповідно; вони не збігаються до сталої Хінчина.

Хоча середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб дорівнює ${\displaystyle K_{0}}$ для майже всіх чисел, але це не доведено практично для жодного конкретного числа ${\displaystyle x}$, крім тих, які спеціально сконструйовані так, щоб задовольняти цьому твердженню. Таке число можна побудувати, задаючи відразу елементи його розкладу в ланцюговий дріб, наприклад, так: будь-яке скінченне число елементів на початку ніяк не вплинуть на граничне значення середнього геометричного, тому їх можна взяти будь-якими (наприклад, можна взяти перші 60 елементів рівними 4); кожний наступний елемент береться рівним 2 або 3, залежно від того, більше чи менше від постійної Хінчина середнє геометричне всіх попередніх елементів. Для даного конкретного прикладу, проте, не виконується статистика Гаусса — Кузьміна.

До чисел ${\displaystyle x}$, про які відомо, що середнє геометричне елементів їх розкладу в ланцюговий дріб не може дорівнювати сталій Хінчина, відносяться раціональні числа, квадратичні ірраціональності (корені всіх квадратних рівнянь з цілими коефіцієнтами) і основа натурального логарифма ${\displaystyle e}$. Хоча раціональних чисел і квадратичних ірраціональностей нескінченно багато, але вони утворюють множину міри нуль, і тому їх не потрібно включати до «майже всіх» чисел з визначення сталої Хінчина.

Середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб деяких чисел, схоже (виходячи з безпосередніх обчислень середніх для великих ${\displaystyle n}$), збігається до сталої Хінчина, хоча в жодному з цих випадків рівність в границі не доведена. Зокрема, до цих чисел відносяться число π, стала Ейлера — Маскероні, число ${\displaystyle \sin 1}$, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$, сама стала Хінчина. Остання обставина дозволяє припустити, що стала Хінчина ірраціональна, але точно невідомо, чи є стала Хінчина раціональним, алгебраїчним чи трансцендентним числом.

Середні степеневі

Можна розглядати сталу Хінчина як окремий випадок середнього степеневого елементів розкладу чисел у ланцюговий дріб. Для будь-якої послідовності ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ середнє степеня ${\displaystyle p}$ дорівнює

${\displaystyle K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}}$ .

Якщо ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ — елементи розкладу числа ${\displaystyle x}$ у ланцюговий дріб, то ${\displaystyle K_{p}}$ для будь-якого ${\displaystyle p<1}$ і майже всіх ${\displaystyle x}$ задаються формулою

${\displaystyle K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}}$ .

Вона отримується обчисленням відповідного степеневого середнього за статистикою Гаусса — Кузьміна і відповідає вибору функції ${\displaystyle f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=a_{1}^{p}}$ у вищевикладеному доведенні. Можна показати, що значення ${\displaystyle K_{0}}$ виходить в границі ${\displaystyle p\to 0}$.

Зокрема, можна отримати середнє гармонійне елементів розкладу в ланцюговий дріб. Це число дорівнює

${\displaystyle K_{-1}=1{,}74540566240\ldots }$ (послідовність A087491 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Примітки

1. Хинчин А. Я. Metrische Kettenbruchprobleme : ( )[нім.] // Compositio Mathematica. — 1935. — Bd. 1. — С. 361—382.MR1556899
2. Bailey, Borwein & Crandall, 1997.
3. Weisstein, Eric W. Khinchin's constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
4. Хинчин, 1960.
5. McLeman, Cam. The Ten Coolest Numbers (PDF). Архів (PDF) оригіналу за 24 лютого 2012. Процитовано 18 січня 2016.
6. Александр Яковлевич Хинчин (к шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. — 1955. — Т. 10, вип. 3(65). — С. 197–212.
7. Finch, Steven R. Mathematical Constants. — Cambridge University Press, 2003. — P. 60. — .
8. Ryll-Nardzewski, Czesław. On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions) : ( )[англ.] // Studia Mathematica. — 1951. — Vol. 12. — P. 74–79. MR13:757b.
9. Kac, Marc. Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory. — Math. Association of America, and John Wiley & Sons, 1959. — .
10. Bailey, Borwein & Crandall, 1997. В цій статті використано дещо відмінне від стандартного визначення дзета-функції Гурвіца.
11. Wieting T. A Khinchin Sequence // Proc. of the American Mathematical Society. — 2008. — Vol. 136, no. 3. — P. 815—824. — DOI:10.1090/S0002-9939-07-09202-7. MR2361853. См. послідовність A089618 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Література

• Цепные дроби. — М. : Физматлит, 1960. — 112 с.
• Bailey D. H., Borwein J. M., Crandall R. E. On the Khinchine constant : ( )[англ.] // Mathematics of Computation. — 1997. — Vol. 66, № 217. — С. 417—431. — DOI:10.1090/s0025-5718-97-00800-4. MR1377659.

Посилання

• 1000000 знаків сталої Хінчина після коми на сайті факультету математики Барселонського університету