Ергоди́чність (або транзитивність) — спеціальна властивість деяких (динамічних) систем, яка полягає в тому, що в процесі еволюції такої системи майже кожна точка її з певною ймовірністю проходить поблизу будь-якої іншої точки системи. Тоді при розрахунках час, який важко розраховувати, можна замінити фазовими (просторовими) показниками. Система, в якій фазові середні збігаються з часовими, називається ергодичною.
Опис
Перевага ергодичних динамічних систем полягає в тому, що при достатньому часу спостереження такі системи можна описувати статистичними методами. Наприклад, температура газу — це міра середньої енергії молекули, ринкова ціна компанії — це міра похідних функцій від даних бухгалтерської звітності. Звісно, необхідно попередньо довести ергодичність даної системи.
Для ергодичних систем математичне сподівання по часових рядах має збігатися з математичним сподіванням по просторових рядах.
Ергодична теорія — один з розділів загальної динаміки.
Е.Лоренц висловив думку, що кліматична система є майже ергодичною, тобто її фазовий простір розпадається на ряд множин із певними умовними ймовірностними мірами
, і фазові траєкторії можуть тривалий, але скінченний час перебувати у кожній з цих множин (відвторюючи відповідний клімат
) та рідко переходити з однієї з цих множин до іншої.
Едварду Лоренцу належить математичний приклад майже інтразитивної (ергодичної) системи - ідеалізована нестаціонарна тримодова роликова конвекція рідини, у якій безрозмірні функції течії й відхилення температури від лінійного вертикального профілю
у площині
мають вигляд
а залежність амплітуд від часу
описується рівняннями:
де - числові сталі (
- Число Прандтля,
- відношення Числа Релея до його критичного значення, за якого починається роликова конвекція).
Приклади
Див. також
Література
- Аносов Д. В., Синай Я. Г. Некоторые гладкие эргодические системы // Успехи математических наук. — 1967. — Т. 22, вип. 5. — С. 137.
- Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. — М. : Наука, 1980. — 384 с.
- Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М. : ГИТТЛ, 1949. — 448 с.
- Синай Я. Г. Введение в эргодическую теорию. — М. : Фазис, 1996. — 132 с.
- Халмош П. Лекции по эргодической теории. — М. : ИЛ, 1959. — 148 с.
- Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики. — М.-Л. : ГИТТЛ, 1943. — 128 с.
- G. D. Birkhoff, Proof of the ergodic theorem, (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, 17 pp 656—660.
- J. von Neumann, Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 70-82.
- J. von Neumann, Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 263—266.
- U. Krengel. Ergodic Theorems. Berlin — New York: W. de Gruyter, 1985.
Посилання
- Стаття «Ергодична теорія»[недоступне посилання з липня 2019] У ВРЕ
- Що таке ергодичність [ 10 грудня 2020 у Wayback Machine.] (англ.)
- А.С.Монин - Введение в теорию климата.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ergodi chnist abo tranzitivnist specialna vlastivist deyakih dinamichnih sistem yaka polyagaye v tomu sho v procesi evolyuciyi takoyi sistemi majzhe kozhna tochka yiyi z pevnoyu jmovirnistyu prohodit poblizu bud yakoyi inshoyi tochki sistemi Todi pri rozrahunkah chas yakij vazhko rozrahovuvati mozhna zaminiti fazovimi prostorovimi pokaznikami Sistema v yakij fazovi seredni zbigayutsya z chasovimi nazivayetsya ergodichnoyu OpisPerevaga ergodichnih dinamichnih sistem polyagaye v tomu sho pri dostatnomu chasu sposterezhennya taki sistemi mozhna opisuvati statistichnimi metodami Napriklad temperatura gazu ce mira serednoyi energiyi molekuli rinkova cina kompaniyi ce mira pohidnih funkcij vid danih buhgalterskoyi zvitnosti Zvisno neobhidno poperedno dovesti ergodichnist danoyi sistemi Dlya ergodichnih sistem matematichne spodivannya po chasovih ryadah maye zbigatisya z matematichnim spodivannyam po prostorovih ryadah Ergodichna teoriya odin z rozdiliv zagalnoyi dinamiki E Lorenc visloviv dumku sho klimatichna sistema ye majzhe ergodichnoyu tobto yiyi fazovij prostir rozpadayetsya na ryad mnozhin A i displaystyle mathfrak A i iz pevnimi umovnimi jmovirnostnimi mirami P i A A A i displaystyle P i A A in mathfrak A i i fazovi trayektoriyi mozhut trivalij ale skinchennij chas perebuvati u kozhnij z cih mnozhin vidvtoryuyuchi vidpovidnij klimat P i A A A i displaystyle P i A A subset mathfrak A i ta ridko perehoditi z odniyeyi z cih mnozhin do inshoyi Edvardu Lorencu nalezhit matematichnij priklad majzhe intrazitivnoyi ergodichnoyi sistemi idealizovana nestacionarna trimodova rolikova konvekciya ridini u yakij bezrozmirni funkciyi techiyi ps displaystyle psi j vidhilennya temperaturi vid linijnogo vertikalnogo profilyu ϑ displaystyle vartheta u ploshini x y displaystyle x y mayut viglyad ps X 2 sin k 1 x H sin p z H displaystyle psi X sqrt 2 sin frac k 1 x H sin frac pi z H ϑ Y 2 cos k 1 x H sin p z H Z sin 2 p z H displaystyle vartheta Y sqrt 2 cos frac k 1 x H sin frac pi z H Z sin frac 2 pi z H a zalezhnist amplitud X Y Z displaystyle X Y Z vid chasu t displaystyle t opisuyetsya rivnyannyami d X D t s X s Y d Y d t r X Y X Z d Z d t b Z X Y displaystyle begin matrix dX Dt sigma X sigma Y dY dt rX Y XZ dZ dt bZ XY end matrix de s r b displaystyle sigma r b chislovi stali s displaystyle sigma Chislo Prandtlya r displaystyle r vidnoshennya Chisla Releya do jogo kritichnogo znachennya za yakogo pochinayetsya rolikova konvekciya PrikladiDiv takozhSinergiya Peremishuvannya Determinovanij haos Lancyugi Markova Ergodichna teorema KibertekstLiteraturaAnosov D V Sinaj Ya G Nekotorye gladkie ergodicheskie sistemy Uspehi matematicheskih nauk 1967 T 22 vip 5 S 137 Kornfeld I P Sinaj Ya G Fomin S V Ergodicheskaya teoriya M Nauka 1980 384 s Nemyckij V V Stepanov V V Kachestvennaya teoriya differencialnyh uravnenij M GITTL 1949 448 s Sinaj Ya G Vvedenie v ergodicheskuyu teoriyu M Fazis 1996 132 s Halmosh P Lekcii po ergodicheskoj teorii M IL 1959 148 s Hinchin A Ya Matematicheskie osnovaniya statisticheskoj mehaniki M L GITTL 1943 128 s G D Birkhoff Proof of the ergodic theorem 1931 Proc Natl Acad Sci U S A 17 pp 656 660 J von Neumann Proof of the Quasi ergodic Hypothesis 1932 Proc Natl Acad Sci U S A 18 pp 70 82 J von Neumann Physical Applications of the Ergodic Hypothesis 1932 Proc Natl Acad Sci U S A 18 pp 263 266 U Krengel Ergodic Theorems Berlin New York W de Gruyter 1985 PosilannyaStattya Ergodichna teoriya nedostupne posilannya z lipnya 2019 U VRE Sho take ergodichnist 10 grudnya 2020 u Wayback Machine angl A S Monin Vvedenie v teoriyu klimata