Рівнобедрений прямокутний трикутник

Рівнобе́дрений прямоку́тний трику́тник — це особливий випадок рівнобедреного і прямокутного трикутника, у якому внутрішній кут дорівнює 45°:

Рівнобедрений прямокутний трикутник

Описане та вписане коло у рівнобедреному прямокутному трикутнику. Відстань між центрами кіл однакова ${\displaystyle d=r\,}$.

Рівнобедрений прямокутний трикутник і рівнобедрений трикутник з рівними описаним і вписаним колом і однаковій відстані між їх центрами ${\displaystyle d=r\,}$.

${\displaystyle \alpha =\beta =45^{\circ }={\frac {\pi }{4}}\!\,,}$

третій внутрішній кут є прямим:

${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\!\,,}$

так що внутрішні кути відносяться як 1 : 1 : 2.

Бічні сторони трикутника дорівнюють:

${\displaystyle a=b={\frac {c{\sqrt {2}}}{2}}\!\,,}$

основа дорівнює:

${\displaystyle c=a{\sqrt {2}}\!\,,}$

тому сторони відносяться як 1 : 1 : √2. Бічні сторони є катетами, основа є гіпотенузою.

Чотири таких трикутники утворюють квадрат, у яких основа така ж, як квадрат площі. Якщо основа дорівнює діагоналі квадрата, то квадрат складається з двох таких трикутників.

Висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині:

${\displaystyle v_{c}={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}={\frac {c}{2}}=R\!\,,}$

де R — радіус описаного кола.

У евклідовій геометрії трикутники з такими внутрішніми кутами є єдиними можливими трикутниками, які є одночасно прямокутними і рівнобедреними. У сферичній та гіперболічній геометрії існує нескінченно багато форм прямокутного рівнобедреного трикутника.

Периметр

Периметр рівнобедреного прямокутного трикутника:

${\displaystyle P=a+b+c=a(2+{\sqrt {2}})\!\,.}$

Площа

Площа рівнобедреного прямокутного трикутника:

${\displaystyle S={\frac {a^{2}}{2}}={\frac {c^{2}}{4}}\!\,.}$

Площу рівнобедреного прямокутного трикутника можна подати за допомогою формули Герона:

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)^{2}(p-a{\sqrt {2}})}}\!\,,}$

де p — півпериметр рівнобедреного прямокутного трикутника:

${\displaystyle p={\frac {P}{2}}=a\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!\,.}$

Загальні характеристики

Описане і вписане коло

Рівнобедрений прямокутний трикутник, як і всі трикутники, є біцентричним. У ньому:

${\displaystyle r\!\,}$	${\displaystyle R\!\,}$	${\displaystyle a\!\,}$	${\displaystyle c\!\,}$
${\displaystyle R\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)={\frac {c}{2}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\!\,}$	${\displaystyle {\frac {r}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {c}{2}}\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{2-{\sqrt {2}}}}=R{\sqrt {2}}={\frac {c}{2}}{\sqrt {2}}\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{{\sqrt {2}}-1}}=2R=a{\sqrt {2}}\!\,}$

Тут r — радіус вписаного кола, R — радіус описаного кола, a — довжина катетів та c — довжина основи рівнобедреного прямокутного трикутника.

Відстань між центрами вписаного та описаного кіл d дорівнює радіусу вписаного кола r і дається рівнянням Ейлера:

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)={\frac {a^{2}}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)\!\,}$

${\displaystyle d=r={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)}}\approx 0,2928932\,a\!\,.}$

Рівнобедрений трикутник, що має те саме описане і вписане коло і однакову відстань між їх центрами (${\displaystyle d=r\,}$), має кути:

${\displaystyle \alpha =\beta =\operatorname {arc\,tg} {\frac {4-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}{\sqrt {8{\sqrt {2}}-11}}}}\approx 72,968751^{\circ }\!\,,}$

${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha \approx 34,062496^{\circ }\!\,.}$

Теорема Піфагора для рівнобедреного прямокутного трикутника

Квадрат гіпотенузи дорівнює подвоєнному квадрату катета:

${\displaystyle c^{2}=2a^{2}}$