Прискорення збіжності рядів

У математиці пришвидшення ряду є одним із ^[en] для покращення швидкості збіжності ряду. Методи пришвидшення рядів часто застосовуються в чисельному аналізі, де вони використовуються для підвищення швидкості чисельного інтегрування. Методи пришвидшення ряду також можуть бути використані, наприклад, для отримання різноманітних тотожностей для спеціальних функцій. Наприклад, перетворення Ейлера, застосоване до гіпергеометричного ряду, дає деякі з класичних, добре відомих тотожностей для гіпергеометричних рядів.

Означення

Нехай задано послідовність

${\displaystyle S=\left\{{s_{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} },}$

що має границю

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\ell .}$

Пришвидшенним рядом є друга послідовність

${\displaystyle S^{\prime }=\left\{{s_{n}^{\prime }}\right\}_{n\in \mathbb {N} },}$

яка збігається швидше до ${\displaystyle \ell }$, ніж початкова послідовність, в сенсі, що

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{n}^{\prime }-\ell }{s_{n}-\ell }}=0.}$

Якщо початкова послідовність є ^[en], то ^[en] діє як метод екстраполяції на антиграницю ${\displaystyle \ell }$.

Відображення від початкового до перетвореного ряду можуть бути лінійними (як визначено в статті про ^[en]) або нелінійними. У загальному випадку, нелінійні перетворення послідовності мають тенденцію бути більш потужними.

Огляд

Двома класичними методами пришвидшення ряду є перетворення рядів Ейлера і ^[en]. У 20-му столітті було розроблено низку більш швидших та спеціальних методів, включаючи ^[en], яку запропонував ^[en] на початку 20-го століття, але який був відомий і використовувався ^[en] в 1722 році; ^[en], запропонований ^[en] у 1926 році, який також був відомий і використовувався Такакадзу Секі у 18-му столітті; епсілон метод, запропонований ^[en] у 1956 році; ${\displaystyle u}$-перетворення Левіна; метод Вілфа—Цейлбергера—Ехада; ^[en].

Для знакопереміжних рядів існує декілька потужних методів, описаних Коеном зі співавторами , які забезпечують швидкість збіжності від ${\displaystyle 5{,}828^{-n}}$ до ${\displaystyle 17{,}93^{-n}}$ для підсумовування ${\displaystyle n}$ членів.

Перетворення Ейлера

Основним прикладом ^[en], що забезпечує покращену збіжність, є перетворення Ейлера. Воно застосовується до знакопереміжних рядів і має вигляд

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+1}}},}$

де ${\displaystyle \Delta }$ — це оператор правих різниць:

${\displaystyle (\Delta ^{n}a)_{0}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{n-k}.}$

Якщо початковий ряд у лівій частині лише повільно збігається, то праві різниці будуть мати тенденцію до швидкого зменшення, а додаткова степінь двійки іще більше збільшує швидкість збіжності правої частини.

Особливо ефективною чисельною реалізацією перетворення Ейлера є перетворення ^[en].

Конформні відображення

Ряд

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

можна записати як ${\displaystyle f(1)}$, де функція ${\displaystyle f}$ визначається як

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

Функція ${\displaystyle f(z)}$ може мати особливості в комплексній площині точки розгалуження, полюси чи суттєві особливості), які обмежують радіус збіжності ряду. Якщо точка ${\displaystyle z=1}$ знаходиться поблизу або на межі круга збіжності, то ряд для ${\displaystyle S}$ буде збігатися дуже повільно. Можна покращити збіжність ряду за допомогою конформного відображення, яке переміщує сингулярності таким чином, що точка, яка відображається в ${\displaystyle z=1}$, опиняється глибше в новому крузі збіжності.

Конформне перетворення ${\displaystyle z=\Phi (w)}$ потрібно вибрати таким, що ${\displaystyle \Phi (0)=0}$, і зазвичай вибирають функцію, яка має скінченну похідну при ${\displaystyle w=0}$. Без втрати загальності можна вважати, що ${\displaystyle \Phi (1)=1}$, оскільки завжди можна перемасштабувати ${\displaystyle w}$ і перевизначити ${\displaystyle \Phi }$. Далі розглянемо функцію

${\displaystyle g(w)=f(\Phi (w)).}$

Оскільки ${\displaystyle \Phi (1)=1}$, то ${\displaystyle f(1)=g(1)}$. Можемо отримати розклад в ряд функції ${\displaystyle g(w)}$, поклавши ${\displaystyle z=\Phi (w)}$ у розкладі в ряд функції ${\displaystyle f(z)}$, оскільки ${\displaystyle \Phi (0)=0}$. Перші ${\displaystyle n}$ членів розкладу ряду для функції ${\displaystyle f(z)}$ дадуть перші ${\displaystyle n}$ членів розкладу ряду для функції ${\displaystyle g(w)}$, якщо ${\displaystyle \Phi '(0)\neq 0}$. Таким чином, поклавши ${\displaystyle w=1}$ у цьому розкладі в ряд, отримаємо ряд, який у випадку його збіжності, збігається до того ж значення, що й початковий ряд.

Нелінійні перетворення послідовності

Прикладами таких нелінійних перетворень послідовностей є апроксимації Паде, ^[en] та перетворення послідовностей типу Левіна.

Особливо нелінійні перетворення послідовностей часто забезпечують потужні числові методи для підсумовування ^[en] або асимптотичних рядів, які виникають, наприклад, у теорії збурень, і можуть бути використані як високоефективні методи екстраполяції.

Метод Ейткена

Основна стаття: ^[en]

Просте нелінійне перетворення послідовності (екстраполяція Ейткена або дельта-квадратичний метод):

${\displaystyle \mathbb {A} \colon \ S\to S^{\prime }=\mathbb {A} (S)={(s_{n}^{\prime })}_{n\in \mathbb {N} },}$

яке визначається наступним чином:

${\displaystyle s_{n}^{\prime }=s_{n+2}-{\frac {(s_{n+2}-s_{n+1})^{2}}{s_{n+2}-2s_{n+1}+s_{n}}}.}$

Це перетворення дуже часто використовується для покращення швидкості збіжності послідовності, що повільно збігається; евристично, таке перетворення усуває більшу частину абсолютної похибки.

Див. також

• ^[en]
• ^[en]
• ^[en]

Примітки

1. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. ``Chapter 3, eqn 3.6.27. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 16. . LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
2. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. ``Chapter 3, eqn 3.6.26. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 16. . LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
3. William H. Press, et al., Numerical Recipes in C, (1987) Cambridge University Press, (see Section 5.1).

Література

• C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, Extrapolation Methods. Theory and Practice, North-Holland, 1991.
• G. A. Baker Jr. and P. Graves-Morris, Padé Approximants, Cambridge U.P., 1996.
• Weisstein, Eric W. Convergence Improvement(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Herbert H. H. Homeier: Scalar Levin-Type Sequence Transformations, Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 122, no. 1–2, p 81 (2000). Homeier, H. H. H. (2000). Scalar Levin-type sequence transformations. Journal of Computational and Applied Mathematics. 122: 81. arXiv:math/0005209. Bibcode:2000JCoAM.122...81H. doi:10.1016/S0377-0427(00)00359-9., arXiv:math/0005209.
• Brezinski Claude and Redivo-Zaglia Michela : "The genesis and early developments of Aitken's process, Shanks transformation, the ${\displaystyle \epsilon }$-algorithm, and related fixed point methods", Numerical Algorithms, Vol.80, No.1, (2019), pp.11-133.
• Delahaye J. P. : "Sequence Transformations", Springer-Verlag, Berlin, (1988).
• Sidi Avram : "Vector Extrapolation Methods with Applications", SIAM, (2017).
• Brezinski Claude, Redivo-Zaglia Michela and Saad Yousef : "Shanks Sequence Transformations and Anderson Acceleration", SIAM Review, Vol.60, No.3 (2018), pp.646–669. doi:10.1137/17M1120725 .
• Brezinski Claude : "Reminiscences of ^[en]", Numerical Algorithms, Vol.80(2019), pp.5-10.
• Brezinski Claude and Redivo-Zaglia Michela : "Extrapolation and Rational Approximation", Springer, (2020).

Зовнішні лінки

• Convergence acceleration of series
• GNU Scientific Library, Series Acceleration
• Digital Library of Mathematical Functions