Принцип Гамільтона

При́нцип Га́мільтона — у механіці системи матеріальних точок означає таке:

Гамільтонів принцип
Названо на честь	Вільям Ровен Гамільтон

Перехід з одного стану в інший за заданий інтервал часу ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ відбувається для системи такого роду так, що перша варіація функціонала

${\displaystyle I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(T-U){dt}}$

дорівнює нулю: рух системи здійснюється функціями, які серед всіх допустимих рухів роблять згаданий вище інтеграл стаціонарним, тобто рівняння руху системи збігається з (рівнянням Ойлера-Лаґранжа) для функціонала ${\displaystyle I}$. При цьому ${\displaystyle T}$ означає кінетичну, а ${\displaystyle U}$ — потенційну енергії системи, а ${\displaystyle L=T-U}$ — (функцію Лагранжа). Інтерес тут фокусується в першу чергу на зверненні першої варіації функціонала ${\displaystyle I}$ у нуль, а не на питанні про екстремум. Завдання такого роду також називають варіаційними завданнями.

Принцип Гамільтона є одним із формулювань принципу найменшої дії.

Приклад

Нехай матеріальна точка рухається під впливом сили тяжіння (вільне падіння). При цьому для кінетичної і потенційної енергії мають місце формули:

${\displaystyle T={\frac {m\cdot y'^{2}}{2}}}$

${\displaystyle U=m\cdot g\cdot y}$

(${\displaystyle m}$ — маса, ${\displaystyle y(t)}$ — висота точки до часу ${\displaystyle t_{0}}$)

Інтеграл для функції Лагранжа:

${\displaystyle I(y)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(T-U)dt=m{\int _{t_{0}}^{t_{1}}({y'}^{2}/2+{gy}){dt}}}$

Згідно з принципом Гамільтона рівняння руху системи є рівняння Ейлера-Лаґранжа для функціонала ${\displaystyle I(y)}$:

${\displaystyle mg-m{\frac {dy'}{dt}}=0}$,

тобто ${\displaystyle y''=g}$

таким чином

${\displaystyle y(t)=C_{1}+C_{2}t+{\frac {g\cdot t^{2}}{2}}}$

Це — рівняння руху для вільного падіння.

Відомий з механіки принцип Гамільтона можна перенести і на інші , так що варіаційні принципи є загальним методом складання рівнянь у математичній фізиці.

Інші завдання

Разом із завданнями для функціоналів вигляду

${\displaystyle I(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x,y,y')dx}$

існують також і інші постановки завдань.

Як необхідні умови екстремуму указуються тільки рівняння Ойлера-Лаґранжа. Існують і інші необхідні умови, аналогічні приведеним вище.

Значення

Варіаційне числення грає основоположну роль в складанні рівнянь механіки і теоретичної фізики. Більшість цих рівнянь можуть бути отримані на основі варіаційного принципу за допомогою поняття енергії.

Див. також

• Принцип найменшої дії
• Механіка Лагранжа
• Гамільтонова механіка

Література

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.