Поширення похибки

Поши́рення неви́значеності (або поширення похибки) — у статистиці та чисельних методах, це вплив невизначеності змінних (або похибок, точніше випадкових помилок) на невизначеність функції, що ґрунтується на них.

Коли змінні є значеннями експериментальних вимірювань, вони мають невизначеності через обмеження вимірювань (наприклад, точність приладу), які поширюються через комбінування змінних у функції.

Невизначеність u може бути виражена кількома способами. Вона може бути визначена абсолютною похибкою Δx. Невизначеність також можна визначити відносною похибкою (Δx)/x, яка зазвичай записується у відсотках. Найчастіше невизначеність величини кількісно визначають за стандартним відхиленням σ, яке є додатним квадратним коренем із дисперсії. Тоді значення величини та її похибка виражаються як інтервал x ± u.

Однак найзагальніший спосіб охарактеризувати невизначеність полягає в визначенні її розподілу ймовірностей. Якщо розподіл ймовірностей змінної відомий або його можна припустити, теоретично можна отримати будь-яку його статистику. Зокрема, можна вивести довірчий інтервал для опису області, в якій справжнє значення змінної може знаходитись.

Якщо невизначеності корелюють, то коваріацію необхідно брати до уваги. Кореляція може виникати з двох різних джерел. По-перше, похибки вимірювання можуть бути корельовані. По-друге, коли базові значення корелюють в генеральній сукупності, невизначеності в середніх значеннях будуть корельовані.

Лінійні функції

Докладніше: Коваріаційна матриця

Нелінійні функції

Докладніше: Ряд Тейлора, Часткова похідна, Матриця Якобі та Момент (математика)

Приклади

Для дійсних функцій однієї змінної ${\displaystyle A,B}$ зі стандартними відхиленнями ${\displaystyle \sigma _{A},\sigma _{B},}$ коваріацією ${\displaystyle \sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B},}$ і кореляцією ${\displaystyle \rho _{AB}.}$ Дійсні коефіцієнти ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ є відомими точно, тобто, ${\displaystyle \sigma _{a}=\sigma _{b}=0.}$

В стовбцях справа, ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$ є математичними сподіваннями, а ${\displaystyle f}$ — функцією, обчисленою на цих значеннях.

Function	Дисперсія	Стандартне відхилення
${\displaystyle f=aA\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}=|a|\sigma _{A}}$
${\displaystyle f=A+B}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+2\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+2\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=A-B}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=aA+bB}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=aA-bB}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=AB}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${\displaystyle f={\frac {A}{B}}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${\displaystyle f={\frac {A}{A+B}}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx {\frac {f^{2}}{\left(A+B\right)^{2}}}\left({\frac {B^{2}}{A^{2}}}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2{\frac {B}{A}}\sigma _{AB}\right)}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|{\frac {f}{A+B}}\right|{\sqrt {{\frac {B^{2}}{A^{2}}}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2{\frac {B}{A}}\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=aA^{b}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right)^{2}=\left({\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right)^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|{a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right|=\left|{\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right|}$
${\displaystyle f=a\ln(bA)}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right|}$
${\displaystyle f=a\log _{10}(bA)}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right)^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right|}$
${\displaystyle f=ae^{bA}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left(b\sigma _{A}\right)^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|\left(b\sigma _{A}\right)\right|}$
${\displaystyle f=a^{bA}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}(b\ln(a)\sigma _{A})^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|b\ln(a)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\sin(bA)}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\cos(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\cos(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\cos \left(bA\right)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sin(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sin(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\tan \left(bA\right)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=A^{B}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}\right]}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f={\sqrt {aA^{2}\pm bB^{2}}}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx {\sqrt {\left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}}}$

Примітки

1. (PDF). с. 2. Архів оригіналу (PDF) за 13 грудня 2016. Процитовано 4 квітня 2016.
2. Propagation of Uncertainty through Mathematical Operations (PDF). с. 5. Процитовано 4 квітня 2016.
3. Strategies for Variance Estimation (PDF). с. 37. Процитовано 18 січня 2013.
4. Harris, Daniel C. (2003), Quantitative chemical analysis (вид. 6th), Macmillan, с. 56, ISBN 
5. Error Propagation tutorial (PDF). Foothill College. 9 жовтня 2009. Процитовано 1 березня 2012.