Площа фігури

Площа плоскої фігури — адитивна числова характеристика фігури, яка розташована в площині. У найпростішому випадку, коли фігуру можна розбити на кінцеву множину одиничних квадратів, площа дорівнює кількості квадратів.

Визначення та властивості площі

Формальне введення поняття площі і об'єму здійснюється з допомогою міри Жордана, тут наведено інтуїтивно зрозуміле визначення.

Площа — це дійснозначна функція, визначена на певному класі фігур евклідової площини і задовольняє чотирьом умовам:

1. Додатність — площа невід'ємна;
2. Нормування — квадрат зі стороною одиниця має площу 1;
3. Конгруентність — конгруентні фігури мають рівну площу;
4. Адитивність — площа об'єднання двох фігур без спільних внутрішніх точок дорівнює сумі площ.

Певний клас фігур повинен бути замкнений відносно операцій перетину та об'єднання, а також відносно рухів площини і включати в себе всі багатокутники. З цих аксіом слідує монотонність площі, тобто

• Якщо одна фігура міститься в іншій фігурі, то площа першої не перевершує площі другої: Найчастіше за «певний клас» беруть множину квадрованих фігур. Фігура ${\displaystyle F}$ називається квадрованою, якщо для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує пара багатокутників ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$, такі, що ${\displaystyle P\subset F\subset Q}$ i ${\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }$, де ${\displaystyle S(P)}$ позначає площу ${\displaystyle P}$.

Пов'язані визначення

• Дві фігури називаються рівновеликими, якщо вони мають однакову площу.

Коментарі

Існує математично строгий, але неоднозначний спосіб визначити площу для всіх обмежених підмножин площині. Тобто на множині всіх обмежених підмножин площині існують різні функції площі, що задовольняють вищенаведеним аксіомам, а множина квадрованих фігур є максимальною множиною фігур, на яких площа визначається однозначно.

Площі деяких фігур

Фігура	Формула	Коментар
Правильний трикутник	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {3}}a^{2}}$	${\displaystyle a}$ — довжина сторони трикутника.
Трикутник	${\displaystyle {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\,\!}$	Формула Герона. ${\displaystyle p}$ — півпериметр, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle c}$ — довжини сторін трикутника.
Трикутник	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(\alpha )\,\!}$	${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ — дві сторони трикутника, а ${\displaystyle \alpha }$ — кут між ними.
Трикутник	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}bh\,\!}$	${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle h}$ — сторона трикутника і висота, проведена до цієї сторони.
Квадрат	${\displaystyle a^{2}\,\!}$	${\displaystyle a}$ — довжина сторони квадрата.
Прямокутник	${\displaystyle ab}$	${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ — довжини сторін прямокутника.
Ромб	${\displaystyle a^{2}\sin \alpha ,{\tfrac {1}{2}}bc}$	${\displaystyle a}$ — сторона ромба, ${\displaystyle \alpha }$ — внутрішній кут, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — діагоналі.
Паралелограм	${\displaystyle bh}$	${\displaystyle b}$ — довжина однієї із сторін паралелограму, а ${\displaystyle h}$ — висота, проведена до цієї сторони.
Трапеція	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!}$	${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ — довжини паралельних сторін, а ${\displaystyle h}$ — відстань між ними (висота).
Правильний шестикутник	${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!}$	${\displaystyle a}$ — довжина сторони шестикутника.
Правильний восьмикутник	${\displaystyle 2\left(1+{\sqrt {2}}\right)a^{2}\,\!}$	${\displaystyle a}$ — довжина сторони восьмикутника.
Правильний багатокутник	${\displaystyle {\frac {na^{2}}{4\cdot \tan(\pi /n)}}\,\!}$	${\displaystyle a}$ — довжина сторони багатокутника, а ${\displaystyle n}$ — кількість сторін багатокутника.
Правильний багатокутник	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ap\,\!}$	${\displaystyle a}$ — апофема (або радіус вписаного в багатокутник кола), а ${\displaystyle p}$ — периметр багатокутника.
Коло	${\displaystyle \pi r^{2}}$ або ${\displaystyle {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!}$	${\displaystyle r}$ — радіус кола, а ${\displaystyle d}$ — його діаметр.
Сектор кола	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta \,\!}$	${\displaystyle r}$ i ${\displaystyle \theta }$ — відповідно радіус і кут сектора (в радіанах).
Еліпс	${\displaystyle \pi ab\,\!}$	${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ — велика і мала півосі еліпса.
Поверхня Циліндра	${\displaystyle 2\pi r(r+h)\,\!}$	${\displaystyle r}$ і ${\displaystyle h}$ — радіус і висота циліндра відповідно.
Бічна поверхня циліндра	${\displaystyle 2\pi rh\,\!}$	${\displaystyle r}$ і ${\displaystyle h}$ — радіус і висота циліндра відповідно.
Поверхня конуса	${\displaystyle \pi r(r+l)\,\!}$	${\displaystyle r}$ і ${\displaystyle l}$ — радіус та довжина твірної відповідно.
Бічна поверхня конуса	${\displaystyle \pi rl\,\!}$	${\displaystyle r}$ і ${\displaystyle l}$ — радіус та довжина твірної відповідно.
Поверхня сфери	${\displaystyle 4\pi r^{2}\ {\text{,}}\ \pi d^{2}\,\!}$	${\displaystyle r}$ i ${\displaystyle d}$ — радіус та діаметр, відповідно.
Поверхня еліпсоїда		див. статтю.

• Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

  ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah}$

• Площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін:

  ${\displaystyle S=ab}$

• Площа довільного чотирикутника ABCD дорівнює половині добутку діагоналей і синуса кута між ними:

  ${\displaystyle S_{ABCD}={\frac {1}{2}}AC\cdot BD\cdot \sin \beta }$,

де ${\displaystyle \beta }$ — кут між діагоналями.

• Площа ромба ABCD дорівнює половині добутку діагоналей:

  ${\displaystyle S_{ABCD}={\frac {1}{2}}AC\cdot BD}$

• Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони: ${\displaystyle S=ah}$

• Площа трапеції дорівнює добутку півсумі суми основ на висоту:

  ${\displaystyle S={\frac {a+b}{2}}\cdot h}$

Див. також

• Міра Бореля
• Міра Жордана
• Міра Лебега
• Орієнтована площа
• Площа поверхні
• Теорема Бойяі — Гервіна про рівноскладеність рівновеликих багатокутників
• Загадка зниклого квадрата

Література

• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 2. 7. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, , С. 224.

Ресурси Інтернету

• Gebiet in Kurvenintegrale und konservative Vektorfelder auf Mathematik Online (Uni Stuttgart) [ 21 травня 2016 у Wayback Machine.]
• В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. [ 5 травня 2017 у Wayback Machine.] Квант, № 5, 1977
• Б. П. Гейдман, Площади многоугольников [ 10 червня 2017 у Wayback Machine.], Библиотека «Математическое просвещение» [ 12 січня 2014 у Wayback Machine.], выпуск 16, (2002).
• В. А. Рохлин, Площадь и объём [ 11 квітня 2021 у Wayback Machine.], Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.