Парадокс воронів (англ. Raven paradox), відомий також як парадокс Гемпеля (нім. Hempels paradox) або во́рони Гемпеля — логічний парадокс, сформульований німецьким математиком Карлом Густавом Гемпелем в 1940-х роках, для ілюстрації того, що індуктивна логіка іноді входить у протиріччя з інтуїцією.
Парадокс воронів | |
Названо на честь | Карл Густав Гемпель |
---|---|
Формула | |
Підтримується Вікіпроєктом |
Гемпель описав цей парадокс таким чином. Нехай існує теорія, відповідно до якої всі ворони чорні. Відповідно до формальної логіки, ця теорія еквівалентна теорії, що всі предмети, які не є чорними, не є воронами. Якщо людина побачить багато чорних воронів, то її впевненість у тому, що ця теорія є правильною, збільшиться. Якщо ж вона побачить багато червоних яблук, то це збільшить її впевненість у тому, що всі не чорні предмети не є воронами, і, відповідно до вищесказаного, повинна також збільшитись і її впевненість у тому, що всі ворони чорні.
Але цей висновок суперечить інтуїтивному сприйняттю ситуації людиною — в реальному житті так не відбувається. Спостереження червоних яблук збільшить впевненість спостерігача в тому, що всі не чорні предмети не є воронами, але при цьому не збільшить його впевненість у тому, що всі ворони чорні.
Найбільш поширений метод розв'язання цього парадоксу полягає в застосуванні теореми Баєса, яка співвідносить умовну та .
Принцип індукції
Принцип індукції стверджує, що:
Спостереження явища Х, яке відповідає теорії Т, збільшує ймовірність того, що теорія Т істинна.
широко застосовуються в науці. Думка про істинність багатьох наукових законів (таких, як, наприклад, закони руху Ньютона або закон всесвітнього тяжіння) базується на тому, що численні спостереження підтверджують їхню істинність, в той час як не існує спостережень, які суперечили б цим законам (в тих умовах, де ці закони повинні бути застосовні згідно з теорією).
У парадоксі чорних воронів перевіряється (виступає як «закон») твердження «Всі ворони чорні». Оскільки це твердження еквівалентне твердженню «Всі предмети, які не є чорними, не є воронами», а ймовірність істинності останнього повинна, згідно з принципом індукції, збільшуватися при спостереженні будь-яких не чорних предметів, які не є воронами, то виходить, що спостереження червоних яблук повинно збільшувати ймовірність того, що всі ворони чорні.
Пропоновані розв'язання
Джерело парадоксу лежить у тому факті, що хоча твердження «Всі ворони чорні» і «Всі предмети, які не є чорними, не є воронами», безсумнівно, еквівалентні, дія по знаходженню чорного ворона не має нічого спільного з дією по знаходженню не чорного предмета, який не є вороном. Тому в реальному житті спостереження червоних яблук не впливає на впевненість в істинності твердження «Всі ворони чорні».
Філософи пропонували кілька способів вирішення цього парадоксу. Наприклад, американський логік пропонував доповнити обмеженням, згідно з яким явище не повинно розглядатися як таке, що підтримує теорію «Всі є », якщо воно також підтримує теорію «Жодне з того, що не , не є ».
Інші філософи ставили під сумнів еквівалентність двох тверджень стосовно до індуктивних умовиводів. У цій концепції спостереження червоних яблук збільшує впевненість у тому, що всі не чорні предмети не є воронами, без збільшення впевненості в тому, що всі ворони чорні. Однак у класичній логіці, якщо спостерігач знає, що два твердження або одночасно вірні, або одночасно помилкові, він не може вважати одне з них більш відповідним істині, ніж інше.
Гудман, а потім і інший філософ, Віллард Квайн, пропонували концепцію так званих проективних і непроективних предикатів. Твердження, які допускають узагальнення за допомогою індуктивної логіки (такі, як «Всі ворони чорні»), вони називали проективними предикатами, а твердження, до яких індуктивна логіка незастосовна (наприклад, «Всі не чорні предмети не є воронами» ) — не проективні. Куайн пропонував визначати, які з предикатів є проективними, а які ні, на основі досвіду і здорового глузду. Він вказував також, що не проективні предикати не можуть підтверджуватися безпосереднім спостереженням описуваних у них явищ, але підтверджуються спостереженням явищ, описуваних проективними предикатами, еквівалентних вихідним. У цій концепції спостереження не чорного яблука не збільшує ймовірність не тільки того, що всі ворони чорні, але й того, що всі нечорні предмети не є воронами; замість цього обидва твердження підтверджуються тільки спостереженням чорних воронів.
Використання теореми Байєса
Альтернативою використанню принципу індукції є застосування теореми Байєса, яка є однією з фундаментальних теорем в теорії ймовірностей і математичній статистиці. Нехай X — явище, яке підтверджує теорію T, і нехай I — наші знання про навколишнє оточення, окрім самого явища X.
Нехай — ймовірність того, що теорія T вірна, за умови, що відомо, що X та I вірні. Тоді
де — ймовірність того, що теорія T вірна, за умови, що тільки про I відомо, що воно вірне; — ймовірність того, що X вірно, за умови, що про T і I відомо, що вони вірні; та — ймовірність того, що X вірно, за умови, що тільки про I відомо, що воно вірне.
При використанні цієї теореми парадокс не з'являється. Якщо спостерігач вибирає яблуко випадковим чином, то ймовірність побачити червоне яблуко ( X) не залежить від того, чи є всі ворони чорними чи ні ( T). Друга частина чисельника буде дорівнювати знаменнику, і ймовірність вибрати червоне яблуко не зміниться . Спостереження X та теорія T не пов'язані, і спостереження червоного яблука не збільшить впевненості в тому, що всі ворони чорні.
Розглянемо другий варіант застосування теореми Байєса. Якщо спостерігач вибирає випадковим чином який-небудь не чорний предмет, і він виявиться яблуком, то друга частина чисельника буде більша від знаменника лише на дуже малу величину . У цьому сценарії спостереження червоного яблука збільшить імовірність того, що всі ворони чорні, але дуже незначно. Чим більше не чорних предметів ми будемо спостерігати, не знаходячи серед них воронів, тим більше буде наша впевненість у тому, що всі ворони чорні, але темпи зростання цієї впевненості будуть настільки малі, що не будуть відчуватися інтуїтивно. У граничному ж випадку, якби спостерігач міг побачити всі не чорні предмети у Всесвіті і не знайти серед них воронів, то він, очевидно, переконався б у тому, що всі ворони чорні.
Література
- Hempel, C. G. A Purely Syntactical Definition of Confirmation. J. Symb. Logic 8, 122–143, 1943.
- Hempel, C. G. Studies in Logic and Confirmation. Mind 54, 1-26, 1945.
- Hempel, C. G. Studies in Logic and Confirmation. II. Mind 54, 97-121, 1945.
- Hempel, C. G. Studies in the Logic of Confirmation. In Marguerite H. Foster and Michael L. Martin, eds. Probability, Confirmation, and Simplicity. New York: Odyssey Press, 1966. 145–183.
- Salmon W. Conformation : ( )[англ.] // Scientific American. — Май 1973.
- Schlesinger G. Hempel's Paradox : ( )[англ.] // Confirmation and Confirmability. — Oxford : Oxford University Press, 1974.
Посилання
- Енциклопедія PRIME [ 11 грудня 2005 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Paradoks voroniv angl Raven paradox vidomij takozh yak paradoks Gempelya nim Hempels paradox abo vo roni Gempelya logichnij paradoks sformulovanij nimeckim matematikom Karlom Gustavom Gempelem v 1940 h rokah dlya ilyustraciyi togo sho induktivna logika inodi vhodit u protirichchya z intuyiciyeyu Paradoks voroniv Nazvano na chestKarl Gustav Gempel FormulaP F a E n F l P F a n l displaystyle P Fa E frac n F lambda P Fa n lambda Pidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt MatematikaChornij voron Gempel opisav cej paradoks takim chinom Nehaj isnuye teoriya vidpovidno do yakoyi vsi voroni chorni Vidpovidno do formalnoyi logiki cya teoriya ekvivalentna teoriyi sho vsi predmeti yaki ne ye chornimi ne ye voronami Yaksho lyudina pobachit bagato chornih voroniv to yiyi vpevnenist u tomu sho cya teoriya ye pravilnoyu zbilshitsya Yaksho zh vona pobachit bagato chervonih yabluk to ce zbilshit yiyi vpevnenist u tomu sho vsi ne chorni predmeti ne ye voronami i vidpovidno do visheskazanogo povinna takozh zbilshitis i yiyi vpevnenist u tomu sho vsi voroni chorni Ale cej visnovok superechit intuyitivnomu sprijnyattyu situaciyi lyudinoyu v realnomu zhitti tak ne vidbuvayetsya Sposterezhennya chervonih yabluk zbilshit vpevnenist sposterigacha v tomu sho vsi ne chorni predmeti ne ye voronami ale pri comu ne zbilshit jogo vpevnenist u tomu sho vsi voroni chorni Najbilsh poshirenij metod rozv yazannya cogo paradoksu polyagaye v zastosuvanni teoremi Bayesa yaka spivvidnosit umovnu ta Princip indukciyiPrincip indukciyi stverdzhuye sho Sposterezhennya yavishaH yake vidpovidaye teoriyiT zbilshuye jmovirnist togo sho teoriyaT istinna shiroko zastosovuyutsya v nauci Dumka pro istinnist bagatoh naukovih zakoniv takih yak napriklad zakoni ruhu Nyutona abo zakon vsesvitnogo tyazhinnya bazuyetsya na tomu sho chislenni sposterezhennya pidtverdzhuyut yihnyu istinnist v toj chas yak ne isnuye sposterezhen yaki superechili b cim zakonam v tih umovah de ci zakoni povinni buti zastosovni zgidno z teoriyeyu U paradoksi chornih voroniv pereviryayetsya vistupaye yak zakon tverdzhennya Vsi voroni chorni Oskilki ce tverdzhennya ekvivalentne tverdzhennyu Vsi predmeti yaki ne ye chornimi ne ye voronami a jmovirnist istinnosti ostannogo povinna zgidno z principom indukciyi zbilshuvatisya pri sposterezhenni bud yakih ne chornih predmetiv yaki ne ye voronami to vihodit sho sposterezhennya chervonih yabluk povinno zbilshuvati jmovirnist togo sho vsi voroni chorni Proponovani rozv yazannyaNe chorni predmeti yaki ne ye voronami Dzherelo paradoksu lezhit u tomu fakti sho hocha tverdzhennya Vsi voroni chorni i Vsi predmeti yaki ne ye chornimi ne ye voronami bezsumnivno ekvivalentni diya po znahodzhennyu chornogo vorona ne maye nichogo spilnogo z diyeyu po znahodzhennyu ne chornogo predmeta yakij ne ye voronom Tomu v realnomu zhitti sposterezhennya chervonih yabluk ne vplivaye na vpevnenist v istinnosti tverdzhennya Vsi voroni chorni Filosofi proponuvali kilka sposobiv virishennya cogo paradoksu Napriklad amerikanskij logik proponuvav dopovniti obmezhennyam zgidno z yakim yavishe ne povinno rozglyadatisya yak take sho pidtrimuye teoriyu Vsi P displaystyle P ye Q displaystyle Q yaksho vono takozh pidtrimuye teoriyu Zhodne z togo sho ne Q displaystyle Q ne ye P displaystyle P Inshi filosofi stavili pid sumniv ekvivalentnist dvoh tverdzhen stosovno do induktivnih umovivodiv U cij koncepciyi sposterezhennya chervonih yabluk zbilshuye vpevnenist u tomu sho vsi ne chorni predmeti ne ye voronami bez zbilshennya vpevnenosti v tomu sho vsi voroni chorni Odnak u klasichnij logici yaksho sposterigach znaye sho dva tverdzhennya abo odnochasno virni abo odnochasno pomilkovi vin ne mozhe vvazhati odne z nih bilsh vidpovidnim istini nizh inshe Gudman a potim i inshij filosof Villard Kvajn proponuvali koncepciyu tak zvanihproektivnih ineproektivnih predikativ Tverdzhennya yaki dopuskayut uzagalnennya za dopomogoyu induktivnoyi logiki taki yak Vsi voroni chorni voni nazivali proektivnimi predikatami a tverdzhennya do yakih induktivna logika nezastosovna napriklad Vsi ne chorni predmeti ne ye voronami ne proektivni Kuajn proponuvav viznachati yaki z predikativ ye proektivnimi a yaki ni na osnovi dosvidu i zdorovogo gluzdu Vin vkazuvav takozh sho ne proektivni predikati ne mozhut pidtverdzhuvatisya bezposerednim sposterezhennyam opisuvanih u nih yavish ale pidtverdzhuyutsya sposterezhennyam yavish opisuvanih proektivnimi predikatami ekvivalentnih vihidnim U cij koncepciyi sposterezhennya ne chornogo yablukane zbilshuye jmovirnist ne tilki togo sho vsi voroni chorni ale j togo sho vsi nechorni predmeti ne ye voronami zamist cogo obidva tverdzhennya pidtverdzhuyutsya tilki sposterezhennyam chornih voroniv Vikoristannya teoremi BajyesaAlternativoyu vikoristannyu principu indukciyi ye zastosuvannya teoremi Bajyesa yaka ye odniyeyu z fundamentalnih teorem v teoriyi jmovirnostej i matematichnij statistici NehajX yavishe yake pidtverdzhuye teoriyuT i nehajI nashi znannya pro navkolishnye otochennya okrim samogo yavishaX Nehaj P T X I displaystyle mathbb P T mid XI jmovirnist togo sho teoriyaT virna za umovi sho vidomo shoX taI virni Todi P T X I P T I P X T I P X I displaystyle mathbb P T mid XI frac mathbb P T mid I cdot mathbb P X mid TI mathbb P X mid I de P T I displaystyle mathbb P T mid I jmovirnist togo sho teoriyaT virna za umovi sho tilki proI vidomo sho vono virne P X T I displaystyle mathbb P X mid TI jmovirnist togo shoX virno za umovi sho proT iI vidomo sho voni virni ta P X I displaystyle mathbb P X mid I jmovirnist togo shoX virno za umovi sho tilki proI vidomo sho vono virne Pri vikoristanni ciyeyi teoremi paradoks ne z yavlyayetsya Yaksho sposterigach vibiraye yabluko vipadkovim chinom to jmovirnist pobachiti chervone yabluko X ne zalezhit vid togo chi ye vsi voroni chornimi chi ni T Druga chastina chiselnika bude dorivnyuvati znamenniku i jmovirnist vibrati chervone yabluko ne zminitsya P X T I P X I displaystyle mathbb P X mid TI mathbb P X mid I SposterezhennyaX ta teoriyaT ne pov yazani i sposterezhennya chervonogo yabluka ne zbilshit vpevnenosti v tomu sho vsi voroni chorni Rozglyanemo drugij variant zastosuvannya teoremi Bajyesa Yaksho sposterigach vibiraye vipadkovim chinom yakij nebud ne chornij predmet i vin viyavitsya yablukom to druga chastina chiselnika bude bilsha vid znamennika lishe na duzhe malu velichinu P X T I P X I e displaystyle mathbb P X mid TI mathbb P X mid I varepsilon U comu scenariyi sposterezhennya chervonogo yabluka zbilshit imovirnist togo sho vsi voroni chorni ale duzhe neznachno Chim bilshe ne chornih predmetiv mi budemo sposterigati ne znahodyachi sered nih voroniv tim bilshe bude nasha vpevnenist u tomu sho vsi voroni chorni ale tempi zrostannya ciyeyi vpevnenosti budut nastilki mali sho ne budut vidchuvatisya intuyitivno U granichnomu zh vipadku yakbi sposterigach mig pobachiti vsi ne chorni predmeti u Vsesviti i ne znajti sered nih voroniv to vin ochevidno perekonavsya b u tomu sho vsi voroni chorni LiteraturaHempel C G A Purely Syntactical Definition of Confirmation J Symb Logic 8 122 143 1943 Hempel C G Studies in Logic and Confirmation Mind 54 1 26 1945 Hempel C G Studies in Logic and Confirmation II Mind 54 97 121 1945 Hempel C G Studies in the Logic of Confirmation In Marguerite H Foster and Michael L Martin eds Probability Confirmation and Simplicity New York Odyssey Press 1966 145 183 Salmon W Conformation angl Scientific American Maj 1973 Schlesinger G Hempel s Paradox angl Confirmation and Confirmability Oxford Oxford University Press 1974 PosilannyaEnciklopediya PRIME 11 grudnya 2005 u Wayback Machine