У теорії ймовірностей та статистиці Теоре́ма Ба́єса (або ж Зако́н Ба́єса, чи Правило Баєса) описує ймовірність події, спираючись на обставини, що могли би бути пов'язані з цією подією. Наприклад, припустімо, що хтось цікавиться, чи має рак певна особа, і знає вік цієї особи. Якщо рак пов'язаний з віком, то, застосовуючи теорему Баєса, інформацію про вік осіб можливо використати для точнішої оцінки ймовірності того, що вони мають рак.
При застосуванні задіяні у теоремі Баєса ймовірності можуть мати різні інтерпретації. В одній із цих інтерпретацій теорема Баєса використовується безпосередньо у певному підході до статистичного висновування. При баєсовій інтерпретації ймовірності ця теорема виражає, як повинна раціонально змінюватися суб'єктивна міра впевненості при врахуванні свідчення: це є баєсовим висновуванням, що є фундаментальним для баєсової статистики. Тим не менш, теорема Баєса має численні застосування у широкому спектрі обчислень із залученням ймовірностей, а не лише у баєсовому висновуванні.
Теорему Баєса названо на честь прп. Томаса Баєса ([ˈbeɪz]; 1701—1761), який першим запропонував рівняння, яке дозволяє новим свідченням уточнювати переконання. Її було розвинуто далі П'єром-Симоном Лапласом, який вперше опублікував це сучасне формулювання у своїй праці 1812 року «Аналітична теорія ймовірностей». Сер Гарольд Джеффріс поклав баєсів алгоритм та лапласове формулювання на аксіоматичну основу. Джеффріс писав, що теорема Баєса «є для теорії ймовірностей тим, чим теорема Піфагора є для геометрії».
Твердження теореми
Теорема Баєса задається математично таким рівнянням:
- ,
де та є подіями.
- та є ймовірностями та безвідносно одна до одної.
- , умовна ймовірність, є ймовірністю події за умови істинності .
- є ймовірністю за умови істинності .
Приклади
Рак у віці 65 років
Припустимо, що ми хочемо знати ймовірність того, що якась особа має рак, але ми нічого не знаємо про неї. Незважаючи на відсутність жодних відомостей про особу, якусь імовірність може бути призначено на основі загальної поширеності раку. Заради цього прикладу уявімо, що нею є 1%. Це є відомим як базовий рівень, або апріорна ймовірність мати рак. «Апріорна» відповідає часу до того моменту, як нас буде поінформовано про даний конкретний випадок.
Далі, уявімо, що ми з'ясували, що тій особі 65 років. Якщо припустити, що рак та вік є пов'язаними, то цю нову порцію інформації можна використати для кращої оцінки ризику тієї особи мати рак. Точніше, ми хотіли би знати ймовірність того, що особа має рак, якщо відомо, що їй 65 років. Ця величина є відомою як поточна ймовірність, де «поточна» відповідає теоретичній ситуації після з'ясування інформації про даний конкретний випадок.
Для того, щоби застосувати знання про вік тієї особи в поєднанні з теоремою Баєса, потрібні дві додаткові порції інформації. Зауважте, проте, що ця додаткова інформація не стосується конкретно тієї особи. Потрібна така інформація:
- Ймовірність мати вік 65 років. Припустімо, що нею є 0,2%.
- Ймовірність того, що особа, яка має рак, має вік 65 років. Припустімо, що нею є 0,5%. Зауважте, що вона є більшою за попереднє значення. Це відображає той факт, що люди з раком є непропорційно 65-річними.
Знаючи це, разом із базовим рівнем, ми можемо обчислити, що особа, яка має вік 65 років, має ймовірність мати рак, що дорівнює
Може стати несподіванкою, що хоча перебування у віці 65 років і збільшує ризик мати рак, ймовірність тієї особи мати рак однаково є досить низькою. Це тому, що низьким є базовий рівень раку (незалежно від віку). Це показує як важливість базового рівня, так і те, що ним зазвичай нехтують.Нехтування базовим рівнем призводить до серйозного спотворення інтерпретації статистики; отже, потрібно приділяти особливу увагу тому, щоб уникати таких помилок. Знайомство з теоремою Баєса є одним із шляхів боротьби з природною схильністю нехтувати базовими рівнями.
Задачі із застосуванням теореми Баєса часто легше зрозуміти, застосовуючи задані в задачі умови до великого набору спостережень. Припустімо, наприклад, що якась спільнота складається зі 100 000 людей. Відповідно до умови задачі, 1% цієї генеральної сукупності, або 1 000 людей, матимуть рак. 0,2% від цієї генеральної сукупності, або 200 людей, матимуть вік 65 років. Із 1 000 людей з раком лише 0,5%, або 5 людей, будуть 65-річними. Таким чином, очікується, що з 200 людей, які мають вік 65 років, лише 5 матимуть рак. 5/200 = 2,5%.
Перевірка на вживання наркотиків
Припустімо, що тест на вживання наркотиків має чутливість 99% та специфічність 99%. Тобто, цей тест даватиме 99% правильних позитивних результатів для тих, хто вживає наркотики, і 99% правильних негативних результатів для тих, хто не вживає. Припустімо, що 0,5% людей вживають наркотики. Якщо для випадково вибраної особи перевірка виявляється позитивною, то якою є ймовірність, що вона вживає наркотики?
Знаменник має таку форму відповідно до Формули повної ймовірності. У даному разі це означає, що ймовірність отримати «чорну мітку» складається із суми двох імовірностей: бути виявленим, якщо ти вживаєш (тут має значення чутливість), і бути «виявленим», хоч ти і «чистий» (а тут — специфічність).
Незважаючи на видиму точність перевірки, все ж якщо індивідуальна перевірка особи дає позитивний результат, то ймовірніше, що ця особа не вживає наркотиків, ніж що вона їх вживає. Це ще раз свідчить про важливість базових рівнів, і як формування політики може бути кричуще помилковим, якщо базовими рівнями нехтують.
Цей несподіваний результат виникає тому, що кількість тих, хто не вживає, є дуже великою у порівнянні з кількістю тих, хто вживає; таким чином, кількість хибних позитивних результатів (0,995%) переважує кількість правильних позитивних результатів (0,495%). На конкретних цифрах, якщо перевірено 1000 осіб, то очікується 995 тих, хто не вживає наркотиків, і 5 тих, хто вживає. Із 995 тих, хто не вживає, очікується 0,01 × 995 ≃ 10 хибних позитивних результатів. Із 5 тих, хто вживає, очікується 0,99 × 5 ≃ 5 правильних позитивних результатів. Із 15 позитивних результатів лише 5, близько 33%, є істинними.
Примітка: Важливість специфічності може бути проілюстровано показуванням, що навіть якщо чутливість є 100%, а специфічність є 99%, то ймовірність того, що особа вживає наркотики, є ≈33%, але якщо специфічність змінюється до 99,5%, а чутливість падає до 99%, то ймовірність того, що особа вживає наркотики, виростає до 49,8%.
Складніший приклад
Вся продукція заводу виробляється на трьох верстатах. На ці три верстати приходяться 20%, 30% та 50% продукції відповідно. Частка бракованих виробів є такою: 5% для першого верстата, 3% для другого верстата та 1% для третього. Якщо виріб, вибраний навмання із загального обсягу продукції, виявився бракованим, то якою є ймовірність того, що його було зроблено на третьому верстаті?
Розв'язання є таким. Нехай позначає подію, що випадково вибраний виріб було зроблено на -тому верстаті (для ). Нехай позначає подію, що випадково вибраний виріб є бракованим. Тоді ми маємо наступну інформацію:
Якщо виріб було зроблено на верстаті , то ймовірністю його бракованості є 0,05, тобто . Загалом ми маємо
Для отримання відповіді на початкове запитання ми спочатку знаходимо . Це можна зробити наступним чином:
Отже, 2,4% загального обсягу продукції заводу є бракованими.
Нам задано, що сталося, і ми хочемо обчислити умовну ймовірність . За теоремою Баєса
- .
За умови бракованості виробу ймовірністю того, що його виготовили на третьому верстаті, є лише 5/24. Незважаючи на те, що верстат 3 виробляє половину загального обсягу продукції, він видає значно меншу частку бракованих виробів. Тому знання того, що вибраний виріб є бракованим, дозволяє нам замінити апріорну ймовірність меншою апостеріорною ймовірністю .
Знову ж таки, цієї відповіді можна досягнути без вдавання до формули, шляхом застосування умов до будь-якого гіпотетичного числа випадків. Наприклад, у 100 000 виробах, вироблених заводом, 20 000 буде вироблено верстатом A, 30 000 — верстатом B, і 50 000 — верстатом C. Верстат A виробить 1 000 бракованих виробів, верстат B — 900, а верстат C — 500. Із загального числа 2 400 бракованих виробів лише 500, або 5/24, буде вироблено верстатом C.
Інтерпретації
Інтерпретація теореми Баєса залежить від інтерпретацій імовірності, що приписуються її членам. Нижче описано дві головні інтерпретації.
Баєсова інтерпретація
У баєсовій (або епістемологічній) інтерпретації ймовірність вимірює міру впевненості. Теорема Баєса, таким чином, пов'язує міру впевненості у висловленні до та після врахування свідчення. Наприклад, припустімо, що вважається із впевненістю 50%, що монета вдвічі ймовірніше падає гербом, ніж номіналом. Якщо монету підкидають кілька разів та спостерігають результати, то міра впевненості може рости, зменшуватися чи залишатися незмінною залежно від результатів.
Для висловлення та свідчення
- , апріорна, — це початкова міра впевненості в .
- , апостеріорна, — це міра впевненості із врахуванням .
- частка представляє підтримку, що її надає для .
Для подальшої інформації про застосування теореми Баєса при баєсовій інтерпретації ймовірності див. баєсове висновування.
Частотницька інтерпретація
У частотницькій інтерпретації ймовірність вимірює частку результатів. Наприклад, припустімо, що експеримент проводиться багато разів. є часткою результатів із властивістю , а — із властивістю . є часткою результатів із властивістю серед результатів із властивістю , а — часткою тих, що з серед тих, що з .
Роль теореми Баєса найкраще візуалізується за допомогою деревоподібних схем, як показано праворуч. Ці дві діаграми розділюють одні й ті самі результати за та у протилежному порядку, для отримання зворотних ймовірностей. Теорема Баєса слугує зв'язком між цими двома розділюваннями.
Приклад
Ентомолог спостерігає за, можливо, рідкісним підвидом жука, оскільки у жука є візерунок на спині. Відомо, що 98 % жуків з рідкісного підвиду мають цей візерунок, або, формально, P(Візерунок|Рідкісний) = 98 %. У поширеного підвиду цей візерунок мають 5 % створінь. Рідкісний підвид налічує лише 0,1 % від популяції двох видів. Наскільки ймовірно, що жук з візерунком, за яким спостерігає ентомолог, є рідкісним? Тобто, чому дорівнює P(Рідкісний|Візерунок)?
Скористаємося розширеною формою теореми Баєса (оскільки будь-який жук популяції може бути лише рідкісним або поширеним):
Тобто, ймовірність того, що ентомолог спостерігає саме рідкісний підвид жука — незначна, а саме 1,9 % або 0,019.
Форми
Події
Проста форма
Для подій та , за умови, що ,
У багатьох застосуваннях, наприклад, у баєсовому висновуванні, подія під час розгляду є фіксованою, і ми хочемо розглядати вплив того, що трапилося її спостереження, на нашу впевненість у різних можливих подіях . У такій ситуації знаменник крайнього виразу, ймовірність заданого свідчення , є фіксованим, а варіювати ми хочемо . Тоді теорема Баєса показує, що апостеріорні ймовірності є пропорційними до чисельника:
- (пропорційність за для заданого ).
Словами: апостеріорне пропорційне апріорній кількості разів правдоподібності.
Якщо події є взаємовиключними та вичерпними, тобто, одна з них точно відбувається, але жодні дві не можуть відбуватися одночасно, і ми знаємо їхні ймовірності з точністю до пропорційності, то ми можемо визначити коефіцієнт пропорційності, використовуючи той факт, що їхні ймовірності повинні давати в сумі одиницю. Наприклад, для заданої події сама подія та її доповнення є взаємовиключними та вичерпними. При позначенні коефіцієнту пропорційності через ми маємо
- та
Шляхом додавання цих двох формул ми виводимо
Альтернативна форма
Іншою формою теореми Баєса, що звичайно зустрічається при розгляді двох конкурентних тверджень або гіпотез, є
Для епістемологічної інтерпретації:
Для висловлення та свідчення або передумови ,
- , апріорна ймовірність, є початковою мірою впевненості в .
- є відповідною ймовірністю початкової міри впевненості проти :
- , умовна ймовірність або правдоподібність, є мірою впевненості в за умови істинності висловлення .
- , умовна ймовірність або правдоподібність, є мірою впевненості в за умови хибності висловлення .
- , апостеріорна ймовірність, є ймовірністю після врахування за та проти .
Розширена форма
Часто для деякого розбиття простору вибірки цей простір подій задається або умоглядно представляється у термінах та . У такому випадку зручно обчислювати із використанням закону повної ймовірності:
В окремому випадку, коли є [en]:
Випадкові змінні
Розгляньмо простір подій , породжуваний двома випадковими змінними та . В принципі, теорема Баєса застосовується до подій та . Однак, члени стають нульовими у точках, де будь-яка зі змінних має скінченну густину імовірності. Щоби теорема Баєса залишалася придатною, її може бути сформульовано у термінах доречних густин (див. Виведення).
Проста форма
Якщо є безперервною, а — дискретною,
- .
Якщо є дискретною, а — безперервною,
- .
Якщо як , так і є безперервними,
- .
Розширена форма
Безперервний простір подій часто представляється у термінах чисельників. Часто зручно виключати знаменник, використовуючи закон повної ймовірності. Для це стає інтегралом
- .
Правило Баєса
Правило Баєса — це теорема Баєса у [en].
де
називається коефіцієнтом Баєса, або відношенням правдоподібності, і шанси між двома подіями є просто відношенням ймовірностей цих двох подій. Отже,
- ,
- .
Таким чином, це правило говорить, що апостеріорні шанси є апріорними шансами, помноженими на коефіцієнт Баєса, або, іншими словами, апостеріорне пропорційне апріорній кількості разів правдоподібності.
Виведення
Для подій
Теорему Баєса може бути виведено з визначення умовної ймовірності:
- , якщо ,
- , якщо ,
- ,
- , якщо .
Для випадкових змінних
Для двох безперервних випадкових змінних та теорему Баєса може бути виведено аналогічно з визначення умовної густини:
- .
Історія
Теорему Баєса названо на честь преподобного Томаса Баєса (1701—1761), який вивчав, як обчислювати розподіл для параметру ймовірності біноміального розподілу (у сучасній термінології). Неопублікований рукопис Баєса було суттєво відредаговано [en] до того, як його було посмертно прочитано в Королівському товаристві. Прайс відредагував головну працю Баєса, [en]» (1763), що з'явилася в журналі Philosophical Transactions, і містить теорему Баєса. Прайс написав передмову до цієї праці, що подає дещо з філософських основ баєсової статистики. У 1765 році його було обрано Членом Королівського товариства, на визнання його праці над спадком Баєса.
Французький математик П'єр-Симон Лаплас відтворив та узагальнив результати Баєса у 1774 році, очевидно, не підозрюючи про працю Баєса.[en] у 1983 році висловив думку, що теорему Баєса було відкрито [en] за деякий час до Баєса. Проте ця інтерпретація була спірною.
Мартін Купер та Шарон Мак-Грейн стверджують, що внесок [en] був істотним:
За сучасними стандартами ми повинні посилатися на правило Баєса — Прайса. Прайс відкрив працю Баєса, усвідомив її важливість, виправив її, вніс до статті, та знайшов їй застосування. Сучасний звичай використовувати саме лише ім'я Баєса є несправедливим, але він настільки вкорінився, що все інше має мало сенсу. Оригінальний текст (англ.) By modern standards, we should refer to the Bayes–Price rule. Price discovered Bayes's work, recognized its importance, corrected it, contributed to the article, and found a use for it. The modern convention of employing Bayes's name alone is unfair but so entrenched that anything else makes little sense. |
Див. також
- Баєсове висновування
- [en]
Примітки
- Bayes, Mr; Price, Mr (1763). "An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances. By the Late Rev. Mr. Bayes, F. R. S. Communicated by Mr. Price, in a Letter to John Canton, A. M. F. R. S". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 53: 370–418.
- Jeffreys, Harold (1973). Scientific Inference (вид. III). Cambridge University Press. с. 31. ISBN . (англ.)
- Stuart, A.; Ord, K. (1994), Kendall's Advanced Theory of Statistics: Volume I—Distribution Theory, [en], §8.7 (англ.)
- Daniel Kahneman (25 жовтня 2011). Thinking, Fast and Slow. Macmillan. ISBN . Процитовано 8 квітня 2012. (англ.)
- Lee, Peter M. (2012). Bayesian Statistics. . ISBN . (англ.)
- . Trinity University. Архів оригіналу за 7 серпня 2014. Процитовано 22 березня 2015. (англ.)
- Richard Allen (1999). David Hartley on Human Nature. SUNY Press. с. 243—4. ISBN . Процитовано 16 червня 2013. (англ.)
- Holland, pp. 46–7. (англ.)
- Richard Price (1991). Price: Political Writings. Cambridge University Press. с. xxiii. ISBN . Процитовано 16 червня 2013. (англ.)
- Лаплас вдосконалював теорему Баєса протягом десятиліть:
- Лаплас оголосив про своє незалежне відкриття теореми Баєса у праці Laplace (1774) "Mémoire sur la probabilité des causes par les événements," Mémoires de l'Académie royale des Sciences de MI (Savants étrangers), 4: 621–656. Передруковано у: Laplace, Oeuvres complètes (Paris, France: Gauthier-Villars et fils, 1841), vol. 8, pp. 27–65. Доступно інтерактивно на: Gallica. (фр.) Теорема Баєса з'являється на стор. 29.
- Лаплас представив вдосконалення теореми Баєса у праці Laplace (прочитано: 1783 / опубліковано: 1785) "Mémoire sur les approximations des formules qui sont fonctions de très grands nombres," Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Paris, 423–467. Передруковано у: Laplace, Oeuvres complètes (Paris, France: Gauthier-Villars et fils, 1844), vol. 10, pp. 295–338. Доступно інтерактивно на: Gallica. (фр.) Теорему Баєса наведено на сторінці 301.
- Див. також: Laplace, Essai philosophique sur les probabilités (Paris, France: Mme. Ve. Courcier [Madame veuve (тобто, вдова) Courcier], 1814), page 10. (фр.) Англомовний переклад: Pierre Simon, Marquis de Laplace with F. W. Truscott and F. L. Emory, trans., A Philosophical Essay on Probabilities (New York, New York: John Wiley & Sons, 1902), page 15. (англ.)
- Daston, Lorraine (1988). Classical Probability in the Enlightenment. Princeton Univ Press. с. 268. ISBN . (англ.)
- Stigler, Stephen M (1983). Who Discovered Bayes' Theorem?. The American Statistician. 37 (4): 290—296. doi:10.1080/00031305.1983.10483122. (англ.)
- Edwards, A. W. F. (1986). Is the Reference in Hartley (1749) to Bayesian Inference?. The American Statistician. 40 (2): 109—110. doi:10.1080/00031305.1986.10475370. (англ.)
- Hooper, Martyn (2013). Richard Price, Bayes' theorem, and God. Significance. 10 (1): 36—39. doi:10.1111/j.1740-9713.2013.00638.x. (англ.)
- McGrayne, S. B. (2011). The Theory That Would Not Die: How Bayes' Rule Cracked the Enigma Code, Hunted Down Russian Submarines & Emerged Triumphant from Two Centuries of Controversy. Yale University Press. ISBN . (англ.)
Джерела
- Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- Bruss, F. Thomas (2013), "250 years of 'An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chance. By the late Rev. Mr. Bayes, communicated by Mr. Price, in a letter to John Canton, A. M. F. R. S.' ", DOI 10.1365/s13291-013-0077-z, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Springer Verlag, Vol. 115, Issue 3-4 (2013), 129-133. (англ.)
- Gelman, Andrew; Carlin, John B.; Stern, Hal S.; Dunson, David B.; Vehtari, Aki; Rubin, Donald B. (2013). Bayesian Data Analysis (вид. III). CRC Press. ISBN . (англ.)
- Grinstead, CM and Snell, JL (1997), "Introduction to Probability (2nd edition)", American Mathematical Society (free pdf available) [1]. (англ.)
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), formula Bayes formula, Математична енциклопедія, , ISBN (англ.)
- McGrayne, SB (2011). The Theory That Would Not Die: How Bayes' Rule Cracked the Enigma Code, Hunted Down Russian Submarines & Emerged Triumphant from Two Centuries of Controversy. Yale University Press. ISBN . (англ.)
- Laplace, P (1774/1986), "Memoir on the Probability of the Causes of Events", Statistical Science 1(3):364–378. (англ.)
- Lee, PM (2012), "Bayesian Statistics: An Introduction", Wiley. (англ.)
- Rosenthal, JS (2005), "Struck by Lightning: the Curious World of Probabilities". Harper Collings. (англ.)
- Stigler, SM (1986). Laplace's 1774 Memoir on Inverse Probability. Statistical Science. 1 (3): 359—363. doi:10.1214/ss/1177013620. (англ.)
- Stone, JV (2013), download chapter 1 of "Bayes' Rule: A Tutorial Introduction to Bayesian Analysis", Sebtel Press, England. (англ.)
- Зельнер А. Байесовские методы в эконометрии. — М.: Статистика, 1980. — 438 с. (рос.)
Посилання
- Bayes's theorem в онлайн-версії «Encyclopædia Britannica». (англ.)
- The Theory That Would Not Die by Sharon Bertsch McGrayne New York Times Book Review by [en] on 5 August 2011 (англ.)
- Візуальне пояснення Баєса з використанням дерев на YouTube (англ.) (укр.)
- Візуальне пояснення частотницької інтерпретації Баєса на YouTube (англ.)
- Найраніші відомі використання деяких слів математики (B). Містить витоки "Bayesian", "Bayes' Theorem", "Bayes Estimate/Risk/Solution", "Empirical Bayes" та "Bayes Factor". (англ.)
- Weisstein, Eric W. Bayes' Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Bayes' theorem на PlanetMath.(англ.)
- (англ.)
- A tutorial on probability and Bayes' theorem devised for Oxford University psychology students (англ.)
- An Intuitive Explanation of Bayes' Theorem by Eliezer S. Yudkowsky (англ.)
- «Пропорции — ключ к теореме Байеса» (рос.) — переклад статті Understanding Bayes Theorem With Ratios | BetterExplained(англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U teoriyi jmovirnostej ta statistici Teore ma Ba yesa abo zh Zako n Ba yesa chi Pravilo Bayesa opisuye jmovirnist podiyi spirayuchis na obstavini sho mogli bi buti pov yazani z ciyeyu podiyeyu Napriklad pripustimo sho htos cikavitsya chi maye rak pevna osoba i znaye vik ciyeyi osobi Yaksho rak pov yazanij z vikom to zastosovuyuchi teoremu Bayesa informaciyu pro vik osib mozhlivo vikoristati dlya tochnishoyi ocinki jmovirnosti togo sho voni mayut rak Sinij en sho pokazuye proste tverdzhennya teoremi Bayesa Pri zastosuvanni zadiyani u teoremi Bayesa jmovirnosti mozhut mati rizni interpretaciyi V odnij iz cih interpretacij teorema Bayesa vikoristovuyetsya bezposeredno u pevnomu pidhodi do statistichnogo visnovuvannya Pri bayesovij interpretaciyi jmovirnosti cya teorema virazhaye yak povinna racionalno zminyuvatisya sub yektivna mira vpevnenosti pri vrahuvanni svidchennya ce ye bayesovim visnovuvannyam sho ye fundamentalnim dlya bayesovoyi statistiki Tim ne mensh teorema Bayesa maye chislenni zastosuvannya u shirokomu spektri obchislen iz zaluchennyam jmovirnostej a ne lishe u bayesovomu visnovuvanni Teoremu Bayesa nazvano na chest prp Tomasa Bayesa ˈ b eɪ z 1701 1761 yakij pershim zaproponuvav rivnyannya yake dozvolyaye novim svidchennyam utochnyuvati perekonannya Yiyi bulo rozvinuto dali P yerom Simonom Laplasom yakij vpershe opublikuvav ce suchasne formulyuvannya u svoyij praci 1812 roku Analitichna teoriya jmovirnostej Ser Garold Dzheffris poklav bayesiv algoritm ta laplasove formulyuvannya na aksiomatichnu osnovu Dzheffris pisav sho teorema Bayesa ye dlya teoriyi jmovirnostej tim chim teorema Pifagora ye dlya geometriyi Tverdzhennya teoremiVizualizaciya teoremi Bayesa superpoziciyeyu dvoh derev uhvalennya rishen Teorema Bayesa zadayetsya matematichno takim rivnyannyam P A B P B A P A P B displaystyle P A mid B frac P B mid A P A P B de A displaystyle A ta B displaystyle B ye podiyami P A displaystyle P A ta P B displaystyle P B ye jmovirnostyami A displaystyle A ta B displaystyle B bezvidnosno odna do odnoyi P A B displaystyle P A mid B umovna jmovirnist ye jmovirnistyu podiyi A displaystyle A za umovi istinnosti B displaystyle B P B A displaystyle P B mid A ye jmovirnistyu B displaystyle B za umovi istinnosti A displaystyle A PrikladiRak u vici 65 rokiv Pripustimo sho mi hochemo znati jmovirnist togo sho yakas osoba maye rak ale mi nichogo ne znayemo pro neyi Nezvazhayuchi na vidsutnist zhodnih vidomostej pro osobu yakus imovirnist mozhe buti priznacheno na osnovi zagalnoyi poshirenosti raku Zaradi cogo prikladu uyavimo sho neyu ye 1 Ce ye vidomim yak bazovij riven abo apriorna jmovirnist mati rak Apriorna vidpovidaye chasu do togo momentu yak nas bude poinformovano pro danij konkretnij vipadok Dali uyavimo sho mi z yasuvali sho tij osobi 65 rokiv Yaksho pripustiti sho rak ta vik ye pov yazanimi to cyu novu porciyu informaciyi mozhna vikoristati dlya krashoyi ocinki riziku tiyeyi osobi mati rak Tochnishe mi hotili bi znati jmovirnist togo sho osoba maye rak yaksho vidomo sho yij 65 rokiv Cya velichina ye vidomoyu yak potochna jmovirnist de potochna vidpovidaye teoretichnij situaciyi pislya z yasuvannya informaciyi pro danij konkretnij vipadok Dlya togo shobi zastosuvati znannya pro vik tiyeyi osobi v poyednanni z teoremoyu Bayesa potribni dvi dodatkovi porciyi informaciyi Zauvazhte prote sho cya dodatkova informaciya ne stosuyetsya konkretno tiyeyi osobi Potribna taka informaciya Jmovirnist mati vik 65 rokiv Pripustimo sho neyu ye 0 2 Jmovirnist togo sho osoba yaka maye rak maye vik 65 rokiv Pripustimo sho neyu ye 0 5 Zauvazhte sho vona ye bilshoyu za poperednye znachennya Ce vidobrazhaye toj fakt sho lyudi z rakom ye neproporcijno 65 richnimi Znayuchi ce razom iz bazovim rivnem mi mozhemo obchisliti sho osoba yaka maye vik 65 rokiv maye jmovirnist mati rak sho dorivnyuye 0 5 1 0 2 2 5 displaystyle 0 5 times 1 div 0 2 2 5 Mozhe stati nespodivankoyu sho hocha perebuvannya u vici 65 rokiv i zbilshuye rizik mati rak jmovirnist tiyeyi osobi mati rak odnakovo ye dosit nizkoyu Ce tomu sho nizkim ye bazovij riven raku nezalezhno vid viku Ce pokazuye yak vazhlivist bazovogo rivnya tak i te sho nim zazvichaj nehtuyut Nehtuvannya bazovim rivnem prizvodit do serjoznogo spotvorennya interpretaciyi statistiki otzhe potribno pridilyati osoblivu uvagu tomu shob unikati takih pomilok Znajomstvo z teoremoyu Bayesa ye odnim iz shlyahiv borotbi z prirodnoyu shilnistyu nehtuvati bazovimi rivnyami Zadachi iz zastosuvannyam teoremi Bayesa chasto legshe zrozumiti zastosovuyuchi zadani v zadachi umovi do velikogo naboru sposterezhen Pripustimo napriklad sho yakas spilnota skladayetsya zi 100 000 lyudej Vidpovidno do umovi zadachi 1 ciyeyi generalnoyi sukupnosti abo 1 000 lyudej matimut rak 0 2 vid ciyeyi generalnoyi sukupnosti abo 200 lyudej matimut vik 65 rokiv Iz 1 000 lyudej z rakom lishe 0 5 abo 5 lyudej budut 65 richnimi Takim chinom ochikuyetsya sho z 200 lyudej yaki mayut vik 65 rokiv lishe 5 matimut rak 5 200 2 5 Perevirka na vzhivannya narkotikiv Derevna shema sho ilyustruye priklad perevirki na vzhivannya narkotikiv U u ta ye podiyami sho predstavlyayut vzhivannya nevzhivannya pozitivnij rezultat ta negativnij rezultat Vidsotki u duzhkah obchislyuyutsya Pripustimo sho test na vzhivannya narkotikiv maye chutlivist 99 ta specifichnist 99 Tobto cej test davatime 99 pravilnih pozitivnih rezultativ dlya tih hto vzhivaye narkotiki i 99 pravilnih negativnih rezultativ dlya tih hto ne vzhivaye Pripustimo sho 0 5 lyudej vzhivayut narkotiki Yaksho dlya vipadkovo vibranoyi osobi perevirka viyavlyayetsya pozitivnoyu to yakoyu ye jmovirnist sho vona vzhivaye narkotiki P vzhivaye P vzhivaye P vzhivaye P P vzhivaye P vzhivaye P vzhivaye P vzhivaye P ne vzhivaye P ne vzhivaye 0 99 0 0050 99 0 005 0 01 0 995 33 2 displaystyle begin aligned P text vzhivaye mid text amp frac P text mid text vzhivaye times P text vzhivaye P text amp frac P text mid text vzhivaye times P text vzhivaye P text mid text vzhivaye times P text vzhivaye P text mid text ne vzhivaye times P text ne vzhivaye 8pt amp frac 0 99 times 0 005 0 99 times 0 005 0 01 times 0 995 8pt amp approx 33 2 end aligned Znamennik maye taku formu vidpovidno do Formuli povnoyi jmovirnosti U danomu razi ce oznachaye sho jmovirnist otrimati chornu mitku skladayetsya iz sumi dvoh imovirnostej buti viyavlenim yaksho ti vzhivayesh tut maye znachennya chutlivist i buti viyavlenim hoch ti i chistij a tut specifichnist Nezvazhayuchi na vidimu tochnist perevirki vse zh yaksho individualna perevirka osobi daye pozitivnij rezultat to jmovirnishe sho cya osoba ne vzhivaye narkotikiv nizh sho vona yih vzhivaye Ce she raz svidchit pro vazhlivist bazovih rivniv i yak formuvannya politiki mozhe buti krichushe pomilkovim yaksho bazovimi rivnyami nehtuyut Cej nespodivanij rezultat vinikaye tomu sho kilkist tih hto ne vzhivaye ye duzhe velikoyu u porivnyanni z kilkistyu tih hto vzhivaye takim chinom kilkist hibnih pozitivnih rezultativ 0 995 perevazhuye kilkist pravilnih pozitivnih rezultativ 0 495 Na konkretnih cifrah yaksho perevireno 1000 osib to ochikuyetsya 995 tih hto ne vzhivaye narkotikiv i 5 tih hto vzhivaye Iz 995 tih hto ne vzhivaye ochikuyetsya 0 01 995 10 hibnih pozitivnih rezultativ Iz 5 tih hto vzhivaye ochikuyetsya 0 99 5 5 pravilnih pozitivnih rezultativ Iz 15 pozitivnih rezultativ lishe 5 blizko 33 ye istinnimi Primitka Vazhlivist specifichnosti mozhe buti proilyustrovano pokazuvannyam sho navit yaksho chutlivist ye 100 a specifichnist ye 99 to jmovirnist togo sho osoba vzhivaye narkotiki ye 33 ale yaksho specifichnist zminyuyetsya do 99 5 a chutlivist padaye do 99 to jmovirnist togo sho osoba vzhivaye narkotiki virostaye do 49 8 Skladnishij priklad Vsya produkciya zavodu viroblyayetsya na troh verstatah Na ci tri verstati prihodyatsya 20 30 ta 50 produkciyi vidpovidno Chastka brakovanih virobiv ye takoyu 5 dlya pershogo verstata 3 dlya drugogo verstata ta 1 dlya tretogo Yaksho virib vibranij navmannya iz zagalnogo obsyagu produkciyi viyavivsya brakovanim to yakoyu ye jmovirnist togo sho jogo bulo zrobleno na tretomu verstati Rozv yazannya ye takim Nehaj Ai displaystyle A i poznachaye podiyu sho vipadkovo vibranij virib bulo zrobleno na i displaystyle i tomu verstati dlya i 1 2 3 displaystyle i 1 2 3 Nehaj B displaystyle B poznachaye podiyu sho vipadkovo vibranij virib ye brakovanim Todi mi mayemo nastupnu informaciyu P A1 0 2 P A2 0 3 P A3 0 5 displaystyle P A 1 0 2 P A 2 0 3 P A 3 0 5 Yaksho virib bulo zrobleno na verstati A1 displaystyle A 1 to jmovirnistyu jogo brakovanosti ye 0 05 tobto P B A1 0 05 displaystyle P B mid A 1 0 05 Zagalom mi mayemo P B A1 0 05 P B A2 0 03 P B A3 0 01 displaystyle P B mid A 1 0 05 P B mid A 2 0 03 P B mid A 3 0 01 Dlya otrimannya vidpovidi na pochatkove zapitannya mi spochatku znahodimo P B displaystyle P B Ce mozhna zrobiti nastupnim chinom P B i 13P B Ai P Ai 0 05 0 2 0 03 0 3 0 01 0 5 0 024 displaystyle P B sum i 1 3 P B mid A i P A i 0 05 0 2 0 03 0 3 0 01 0 5 0 024 Otzhe 2 4 zagalnogo obsyagu produkciyi zavodu ye brakovanimi Nam zadano sho B displaystyle B stalosya i mi hochemo obchisliti umovnu jmovirnist A3 displaystyle A 3 Za teoremoyu Bayesa P A3 B P B A3 P A3 P B 0 01 0 50 0 024 524 displaystyle P A 3 mid B frac P B mid A 3 P A 3 P B frac 0 01 0 50 0 024 frac 5 24 Za umovi brakovanosti virobu jmovirnistyu togo sho jogo vigotovili na tretomu verstati ye lishe 5 24 Nezvazhayuchi na te sho verstat 3 viroblyaye polovinu zagalnogo obsyagu produkciyi vin vidaye znachno menshu chastku brakovanih virobiv Tomu znannya togo sho vibranij virib ye brakovanim dozvolyaye nam zaminiti apriornu jmovirnist P A3 1 2 displaystyle P A 3 1 2 menshoyu aposteriornoyu jmovirnistyu P A3 B 5 24 displaystyle P A 3 mid B 5 24 Znovu zh taki ciyeyi vidpovidi mozhna dosyagnuti bez vdavannya do formuli shlyahom zastosuvannya umov do bud yakogo gipotetichnogo chisla vipadkiv Napriklad u 100 000 virobah viroblenih zavodom 20 000 bude virobleno verstatom A 30 000 verstatom B i 50 000 verstatom C Verstat A virobit 1 000 brakovanih virobiv verstat B 900 a verstat C 500 Iz zagalnogo chisla 2 400 brakovanih virobiv lishe 500 abo 5 24 bude virobleno verstatom C InterpretaciyiGeometrichna vizualizaciya teoremi Bayesa Znachennya 2 3 6 ta 9 u tablici zadayut vidnosnu vagu kozhnih z vidpovidnih umov ta vipadkiv Figuri poznachayut klitinki tablici zalucheni do kozhnogo z pokaznikiv de jmovirnist ye zatemnenoyu chastkoyu figuri Ce pokazuye sho P A B P B P B A P A tobto P A B P B A P A P B Shozhi mirkuvannya mozhe buti zastosovano shobi pokazati sho P A B P B A P A P B i tak dali Interpretaciya teoremi Bayesa zalezhit vid interpretacij imovirnosti sho pripisuyutsya yiyi chlenam Nizhche opisano dvi golovni interpretaciyi Bayesova interpretaciya U bayesovij abo epistemologichnij interpretaciyi jmovirnist vimiryuye miru vpevnenosti Teorema Bayesa takim chinom pov yazuye miru vpevnenosti u vislovlenni do ta pislya vrahuvannya svidchennya Napriklad pripustimo sho vvazhayetsya iz vpevnenistyu 50 sho moneta vdvichi jmovirnishe padaye gerbom nizh nominalom Yaksho monetu pidkidayut kilka raziv ta sposterigayut rezultati to mira vpevnenosti mozhe rosti zmenshuvatisya chi zalishatisya nezminnoyu zalezhno vid rezultativ Dlya vislovlennya A displaystyle A ta svidchennya B displaystyle B P A displaystyle P A apriorna ce pochatkova mira vpevnenosti v A displaystyle A P A B displaystyle P A mid B aposteriorna ce mira vpevnenosti iz vrahuvannyam B displaystyle B chastka P B A P B displaystyle frac P B mid A P B predstavlyaye pidtrimku sho yiyi B displaystyle B nadaye dlya A displaystyle A Dlya podalshoyi informaciyi pro zastosuvannya teoremi Bayesa pri bayesovij interpretaciyi jmovirnosti div bayesove visnovuvannya Chastotnicka interpretaciya Ilyustraciya chastotnickoyi interpretaciyi za dopomogoyu en Teorema Bayesa zv yazuye umovni jmovirnosti z obernenimi do nih U chastotnickij interpretaciyi jmovirnist vimiryuye chastku rezultativ Napriklad pripustimo sho eksperiment provoditsya bagato raziv P A displaystyle P A ye chastkoyu rezultativ iz vlastivistyu A displaystyle A a P B displaystyle P B iz vlastivistyu B displaystyle B P B A displaystyle P B mid A ye chastkoyu rezultativ iz vlastivistyu B displaystyle B sered rezultativ iz vlastivistyu A displaystyle A a P A B displaystyle P A mid B chastkoyu tih sho z A displaystyle A sered tih sho z B displaystyle B Rol teoremi Bayesa najkrashe vizualizuyetsya za dopomogoyu derevopodibnih shem yak pokazano pravoruch Ci dvi diagrami rozdilyuyut odni j ti sami rezultati za A displaystyle A ta B displaystyle B u protilezhnomu poryadku dlya otrimannya zvorotnih jmovirnostej Teorema Bayesa sluguye zv yazkom mizh cimi dvoma rozdilyuvannyami Priklad Derevna shema sho ilyustruye chastotnickij priklad R C P ta P z riskoyu ce podiyi sho predstavlyayut ridkisnij poshirenij z vizerunkom ta bez vizerunku Vidsotki u duzhkah obchislyuyutsya Zauvazhte sho nadano tri nezalezhni znachennya otzhe ye mozhlivim obchisliti obernene derevo div ilyustraciyu vishe Entomolog sposterigaye za mozhlivo ridkisnim pidvidom zhuka oskilki u zhuka ye vizerunok na spini Vidomo sho 98 zhukiv z ridkisnogo pidvidu mayut cej vizerunok abo formalno P Vizerunok Ridkisnij 98 U poshirenogo pidvidu cej vizerunok mayut 5 stvorin Ridkisnij pidvid nalichuye lishe 0 1 vid populyaciyi dvoh vidiv Naskilki jmovirno sho zhuk z vizerunkom za yakim sposterigaye entomolog ye ridkisnim Tobto chomu dorivnyuye P Ridkisnij Vizerunok Skoristayemosya rozshirenoyu formoyu teoremi Bayesa oskilki bud yakij zhuk populyaciyi mozhe buti lishe ridkisnim abo poshirenim P Ridkisnij Vizerunok P Vizerunok Ridkisnij P Ridkisnij P Vizerunok P Vizerunok Ridkisnij P Ridkisnij P Vizerunok Ridkisnij P Ridkisnij P Vizerunok Poshirenij P Poshirenij 0 98 0 0010 98 0 001 0 05 0 999 1 9 displaystyle begin aligned amp P text Ridkisnij mid text Vizerunok frac P text Vizerunok mid text Ridkisnij P text Ridkisnij P text Vizerunok 8pt amp frac P text Vizerunok mid text Ridkisnij P text Ridkisnij P text Vizerunok mid text Ridkisnij P text Ridkisnij P text Vizerunok mid text Poshirenij P text Poshirenij 8pt amp frac 0 98 times 0 001 0 98 times 0 001 0 05 times 0 999 approx 1 9 end aligned Tobto jmovirnist togo sho entomolog sposterigaye same ridkisnij pidvid zhuka neznachna a same 1 9 abo 0 019 FormiPodiyi Prosta forma Dlya podij A displaystyle A ta B displaystyle B za umovi sho P B 0 displaystyle P B neq 0 P A B P B A P A P B displaystyle P A mid B frac P B mid A P A P B cdot U bagatoh zastosuvannyah napriklad u bayesovomu visnovuvanni podiya B displaystyle B pid chas rozglyadu ye fiksovanoyu i mi hochemo rozglyadati vpliv togo sho trapilosya yiyi sposterezhennya na nashu vpevnenist u riznih mozhlivih podiyah A displaystyle A U takij situaciyi znamennik krajnogo virazu jmovirnist zadanogo svidchennya B displaystyle B ye fiksovanim a variyuvati mi hochemo A displaystyle A Todi teorema Bayesa pokazuye sho aposteriorni jmovirnosti ye proporcijnimi do chiselnika P A B P A P B A displaystyle P A mid B propto P A cdot P B mid A proporcijnist za A displaystyle A dlya zadanogo B displaystyle B Slovami aposteriorne proporcijne apriornij kilkosti raziv pravdopodibnosti Yaksho podiyi A1 A2 displaystyle A 1 A 2 ldots ye vzayemoviklyuchnimi ta vicherpnimi tobto odna z nih tochno vidbuvayetsya ale zhodni dvi ne mozhut vidbuvatisya odnochasno i mi znayemo yihni jmovirnosti z tochnistyu do proporcijnosti to mi mozhemo viznachiti koeficiyent proporcijnosti vikoristovuyuchi toj fakt sho yihni jmovirnosti povinni davati v sumi odinicyu Napriklad dlya zadanoyi podiyi A displaystyle A sama podiya A displaystyle A ta yiyi dopovnennya A displaystyle lnot A ye vzayemoviklyuchnimi ta vicherpnimi Pri poznachenni koeficiyentu proporcijnosti cherez c displaystyle c mi mayemo P A B c P A P B A displaystyle P A mid B c cdot P A cdot P B mid A ta P A B c P A P B A displaystyle P neg A mid B c cdot P neg A cdot P B mid neg A cdot Shlyahom dodavannya cih dvoh formul mi vivodimo c 1P A P B A P A P B A displaystyle c frac 1 P A cdot P B mid A P neg A cdot P B mid neg A Alternativna forma Inshoyu formoyu teoremi Bayesa sho zvichajno zustrichayetsya pri rozglyadi dvoh konkurentnih tverdzhen abo gipotez ye P A B P B A P A P B A P A P B A P A displaystyle P A mid B frac P B mid A P A P B mid A P A P B mid neg A P neg A cdot Dlya epistemologichnoyi interpretaciyi Dlya vislovlennya A displaystyle A ta svidchennya abo peredumovi B displaystyle B P A displaystyle P A apriorna jmovirnist ye pochatkovoyu miroyu vpevnenosti v A displaystyle A P A displaystyle P neg A ye vidpovidnoyu jmovirnistyu pochatkovoyi miri vpevnenosti proti A displaystyle A 1 P A P A displaystyle 1 P A P neg A P B A displaystyle P B mid A umovna jmovirnist abo pravdopodibnist ye miroyu vpevnenosti v B displaystyle B za umovi istinnosti vislovlennya A displaystyle A P B A displaystyle P B mid neg A umovna jmovirnist abo pravdopodibnist ye miroyu vpevnenosti v B displaystyle B za umovi hibnosti vislovlennya A displaystyle A P A B displaystyle P A mid B aposteriorna jmovirnist ye jmovirnistyu A displaystyle A pislya vrahuvannya B displaystyle B za ta proti A displaystyle A Rozshirena forma Chasto dlya deyakogo rozbittya Aj displaystyle A j prostoru vibirki cej prostir podij zadayetsya abo umoglyadno predstavlyayetsya u terminah P Aj displaystyle P A j ta P B Aj displaystyle P B mid A j U takomu vipadku zruchno obchislyuvati P B displaystyle P B iz vikoristannyam zakonu povnoyi jmovirnosti P B jP B Aj P Aj displaystyle P B sum j P B mid A j P A j P Ai B P B Ai P Ai jP B Aj P Aj displaystyle Rightarrow P A i mid B frac P B mid A i P A i sum limits j P B mid A j P A j cdot V okremomu vipadku koli A displaystyle A ye en P A B P B A P A P B A P A P B A P A displaystyle P A mid B frac P B mid A P A P B mid A P A P B mid neg A P neg A cdot Vipadkovi zminni Shema sho ilyustruye znachennya teoremi Bayesa pri zastosuvanni do prostoru podij porodzhuvanogo bezperervnimi vipadkovimi zminnimi X ta Y Zauvazhte sho isnuye vipadok teoremi Bayesa dlya bud yakoyi tochki oblasti viznachennya Na praktici ci vipadki mozhe buti parametrizovano zapisuvannyam vkazanih gustin jmovirnosti yak funkciyi vid x ta y Rozglyanmo prostir podij W displaystyle Omega porodzhuvanij dvoma vipadkovimi zminnimi X displaystyle X ta Y displaystyle Y V principi teorema Bayesa zastosovuyetsya do podij A X x displaystyle A X x ta B Y y displaystyle B Y y Odnak chleni stayut nulovimi u tochkah de bud yaka zi zminnih maye skinchennu gustinu imovirnosti Shobi teorema Bayesa zalishalasya pridatnoyu yiyi mozhe buti sformulovano u terminah dorechnih gustin div Vivedennya Prosta forma Yaksho X displaystyle X ye bezperervnoyu a Y displaystyle Y diskretnoyu fX x Y y P Y y X x fX x P Y y displaystyle f X x mid Y y frac P Y y mid X x f X x P Y y Yaksho X displaystyle X ye diskretnoyu a Y displaystyle Y bezperervnoyu P X x Y y fY y X x P X x fY y displaystyle P X x mid Y y frac f Y y mid X x P X x f Y y Yaksho yak X displaystyle X tak i Y displaystyle Y ye bezperervnimi fX x Y y fY y X x fX x fY y displaystyle f X x mid Y y frac f Y y mid X x f X x f Y y Rozshirena forma Shema sho ilyustruye yak chasto umoglyadno predstavlyayut prostir podij porodzhuvanij bezperervnimi vipadkovimi zminnimi X ta Y Bezperervnij prostir podij chasto predstavlyayetsya u terminah chiselnikiv Chasto zruchno viklyuchati znamennik vikoristovuyuchi zakon povnoyi jmovirnosti Dlya fY y displaystyle f Y y ce staye integralom fY y fY y X 3 fX 3 d3 displaystyle f Y y int infty infty f Y y mid X xi f X xi d xi Pravilo Bayesa Dokladnishe Pravilo Bayesa Pravilo Bayesa ce teorema Bayesa u en O A1 A2 B O A1 A2 L A1 A2 B displaystyle O A 1 A 2 mid B O A 1 A 2 cdot Lambda A 1 A 2 mid B de L A1 A2 B P B A1 P B A2 displaystyle Lambda A 1 A 2 mid B frac P B mid A 1 P B mid A 2 nazivayetsya koeficiyentom Bayesa abo vidnoshennyam pravdopodibnosti i shansi mizh dvoma podiyami ye prosto vidnoshennyam jmovirnostej cih dvoh podij Otzhe O A1 A2 P A1 P A2 displaystyle O A 1 A 2 frac P A 1 P A 2 O A1 A2 B P A1 B P A2 B displaystyle O A 1 A 2 mid B frac P A 1 mid B P A 2 mid B Takim chinom ce pravilo govorit sho aposteriorni shansi ye apriornimi shansami pomnozhenimi na koeficiyent Bayesa abo inshimi slovami aposteriorne proporcijne apriornij kilkosti raziv pravdopodibnosti VivedennyaDlya podij Teoremu Bayesa mozhe buti vivedeno z viznachennya umovnoyi jmovirnosti P A B P A B P B displaystyle P A mid B frac P A cap B P B yaksho P B 0 displaystyle P B neq 0 P B A P A B P A displaystyle P B mid A frac P A cap B P A yaksho P A 0 displaystyle P A neq 0 P A B P A B P B P B A P A displaystyle Rightarrow P A cap B P A mid B P B P B mid A P A P A B P B A P A P B displaystyle Rightarrow P A mid B frac P B mid A P A P B yaksho P B 0 displaystyle P B neq 0 Dlya vipadkovih zminnih Dlya dvoh bezperervnih vipadkovih zminnih X displaystyle X ta Y displaystyle Y teoremu Bayesa mozhe buti vivedeno analogichno z viznachennya umovnoyi gustini fX x Y y fX Y x y fY y displaystyle f X x mid Y y frac f X Y x y f Y y fY y X x fX Y x y fX x displaystyle f Y y mid X x frac f X Y x y f X x fX x Y y fY y X x fX x fY y displaystyle Rightarrow f X x mid Y y frac f Y y mid X x f X x f Y y IstoriyaTeoremu Bayesa nazvano na chest prepodobnogo Tomasa Bayesa 1701 1761 yakij vivchav yak obchislyuvati rozpodil dlya parametru jmovirnosti binomialnogo rozpodilu u suchasnij terminologiyi Neopublikovanij rukopis Bayesa bulo suttyevo vidredagovano en do togo yak jogo bulo posmertno prochitano v Korolivskomu tovaristvi Prajs vidredaguvav golovnu pracyu Bayesa en 1763 sho z yavilasya v zhurnali Philosophical Transactions i mistit teoremu Bayesa Prajs napisav peredmovu do ciyeyi praci sho podaye desho z filosofskih osnov bayesovoyi statistiki U 1765 roci jogo bulo obrano Chlenom Korolivskogo tovaristva na viznannya jogo praci nad spadkom Bayesa Francuzkij matematik P yer Simon Laplas vidtvoriv ta uzagalniv rezultati Bayesa u 1774 roci ochevidno ne pidozryuyuchi pro pracyu Bayesa en u 1983 roci visloviv dumku sho teoremu Bayesa bulo vidkrito en za deyakij chas do Bayesa Prote cya interpretaciya bula spirnoyu Martin Kuper ta Sharon Mak Grejn stverdzhuyut sho vnesok en buv istotnim Za suchasnimi standartami mi povinni posilatisya na pravilo Bayesa Prajsa Prajs vidkriv pracyu Bayesa usvidomiv yiyi vazhlivist vipraviv yiyi vnis do statti ta znajshov yij zastosuvannya Suchasnij zvichaj vikoristovuvati same lishe im ya Bayesa ye nespravedlivim ale vin nastilki vkorinivsya sho vse inshe maye malo sensu Originalnij tekst angl By modern standards we should refer to the Bayes Price rule Price discovered Bayes s work recognized its importance corrected it contributed to the article and found a use for it The modern convention of employing Bayes s name alone is unfair but so entrenched that anything else makes little sense Div takozhBayesove visnovuvannya en PrimitkiBayes Mr Price Mr 1763 An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances By the Late Rev Mr Bayes F R S Communicated by Mr Price in a Letter to John Canton A M F R S Philosophical Transactions of the Royal Society of London 53 370 418 Jeffreys Harold 1973 Scientific Inference vid III Cambridge University Press s 31 ISBN 978 0 521 18078 8 angl Stuart A Ord K 1994 Kendall s Advanced Theory of Statistics Volume I Distribution Theory en 8 7 angl Daniel Kahneman 25 zhovtnya 2011 Thinking Fast and Slow Macmillan ISBN 978 1 4299 6935 2 Procitovano 8 kvitnya 2012 angl Lee Peter M 2012 Bayesian Statistics Wiley ISBN 978 1 1183 3257 3 angl Trinity University Arhiv originalu za 7 serpnya 2014 Procitovano 22 bereznya 2015 angl Richard Allen 1999 David Hartley on Human Nature SUNY Press s 243 4 ISBN 978 0 7914 9451 6 Procitovano 16 chervnya 2013 angl Holland pp 46 7 angl Richard Price 1991 Price Political Writings Cambridge University Press s xxiii ISBN 978 0 521 40969 8 Procitovano 16 chervnya 2013 angl Laplas vdoskonalyuvav teoremu Bayesa protyagom desyatilit Laplas ogolosiv pro svoye nezalezhne vidkrittya teoremi Bayesa u praci Laplace 1774 Memoire sur la probabilite des causes par les evenements Memoires de l Academie royale des Sciences de MI Savants etrangers 4 621 656 Peredrukovano u Laplace Oeuvres completes Paris France Gauthier Villars et fils 1841 vol 8 pp 27 65 Dostupno interaktivno na Gallica fr Teorema Bayesa z yavlyayetsya na stor 29 Laplas predstaviv vdoskonalennya teoremi Bayesa u praci Laplace prochitano 1783 opublikovano 1785 Memoire sur les approximations des formules qui sont fonctions de tres grands nombres Memoires de l Academie royale des Sciences de Paris 423 467 Peredrukovano u Laplace Oeuvres completes Paris France Gauthier Villars et fils 1844 vol 10 pp 295 338 Dostupno interaktivno na Gallica fr Teoremu Bayesa navedeno na storinci 301 Div takozh Laplace Essai philosophique sur les probabilites Paris France Mme Ve Courcier Madame veuve tobto vdova Courcier 1814 page 10 fr Anglomovnij pereklad Pierre Simon Marquis de Laplace with F W Truscott and F L Emory trans A Philosophical Essay on Probabilities New York New York John Wiley amp Sons 1902 page 15 angl Daston Lorraine 1988 Classical Probability in the Enlightenment Princeton Univ Press s 268 ISBN 0 691 08497 1 angl Stigler Stephen M 1983 Who Discovered Bayes Theorem The American Statistician 37 4 290 296 doi 10 1080 00031305 1983 10483122 angl Edwards A W F 1986 Is the Reference in Hartley 1749 to Bayesian Inference The American Statistician 40 2 109 110 doi 10 1080 00031305 1986 10475370 angl Hooper Martyn 2013 Richard Price Bayes theorem and God Significance 10 1 36 39 doi 10 1111 j 1740 9713 2013 00638 x angl McGrayne S B 2011 The Theory That Would Not Die How Bayes Rule Cracked the Enigma Code Hunted Down Russian Submarines amp Emerged Triumphant from Two Centuries of Controversy Yale University Press ISBN 978 0 300 18822 6 angl DzherelaGnyedenko B V Kurs teoriyi jmovirnostej Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2010 464 s Kartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros Bruss F Thomas 2013 250 years of An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chance By the late Rev Mr Bayes communicated by Mr Price in a letter to John Canton A M F R S DOI 10 1365 s13291 013 0077 z Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung Springer Verlag Vol 115 Issue 3 4 2013 129 133 angl Gelman Andrew Carlin John B Stern Hal S Dunson David B Vehtari Aki Rubin Donald B 2013 Bayesian Data Analysis vid III CRC Press ISBN 978 1439840955 angl Grinstead CM and Snell JL 1997 Introduction to Probability 2nd edition American Mathematical Society free pdf available 1 angl Hazewinkel Michiel red 2001 formula Bayes formula Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 angl McGrayne SB 2011 The Theory That Would Not Die How Bayes Rule Cracked the Enigma Code Hunted Down Russian Submarines amp Emerged Triumphant from Two Centuries of Controversy Yale University Press ISBN 978 0 300 18822 6 angl Laplace P 1774 1986 Memoir on the Probability of the Causes of Events Statistical Science 1 3 364 378 angl Lee PM 2012 Bayesian Statistics An Introduction Wiley angl Rosenthal JS 2005 Struck by Lightning the Curious World of Probabilities Harper Collings angl Stigler SM 1986 Laplace s 1774 Memoir on Inverse Probability Statistical Science 1 3 359 363 doi 10 1214 ss 1177013620 angl Stone JV 2013 download chapter 1 of Bayes Rule A Tutorial Introduction to Bayesian Analysis Sebtel Press England angl Zelner A Bajesovskie metody v ekonometrii M Statistika 1980 438 s ros PosilannyaBayes s theorem v onlajn versiyi Encyclopaedia Britannica angl The Theory That Would Not Die by Sharon Bertsch McGrayne New York Times Book Review by en on 5 August 2011 angl Vizualne poyasnennya Bayesa z vikoristannyam derev na YouTube angl ukr Vizualne poyasnennya chastotnickoyi interpretaciyi Bayesa na YouTube angl Najranishi vidomi vikoristannya deyakih sliv matematiki B Mistit vitoki Bayesian Bayes Theorem Bayes Estimate Risk Solution Empirical Bayes ta Bayes Factor angl Weisstein Eric W Bayes Theorem angl na sajti Wolfram MathWorld Bayes theorem na PlanetMath angl angl A tutorial on probability and Bayes theorem devised for Oxford University psychology students angl An Intuitive Explanation of Bayes Theorem by Eliezer S Yudkowsky angl Proporcii klyuch k teoreme Bajesa ros pereklad statti Understanding Bayes Theorem With Ratios BetterExplained angl