Описана трапеція

У евклідовій геометрії тангенціальна трапеція, або описана трапеція, — це трапеція, усі чотири сторони якої дотикаються до одного й того ж кола (вписане коло). Це окремий випадок описаного чотирикутника, у якому принаймні одна пара протилежних сторін паралельна. Як і для інших трапецій, паралельні сторони називаються основами, а дві інші сторони — бічними сторонами (катетами). Бічні сторони можуть бути рівними, але це не обов'язково.

Описана трапеція.

Ознака

Якщо вписане коло дотикається до сторін AB і CD в точках W і Y відповідно, то описаний чотирикутник ABCD також є трапецією з паралельними сторонами AB і CD тоді і тільки тоді, коли ^{:Tеорема 2}

${\displaystyle {\overline {AW}}\cdot {\overline {DY}}={\overline {BW}}\cdot {\overline {CY}}}$

і AD і BC є паралельними сторонами трапеції тоді і тільки тоді, коли

${\displaystyle {\overline {AW}}\cdot {\overline {BW}}={\overline {CY}}\cdot {\overline {DY}}.}$

Площа

Формулу для площі трапеції можна спростити за допомогою теореми Піто, щоб отримати формулу для площі описаної трапеції. Якщо основи мають довжину a, b, а будь-яка з двох інших сторін має довжину c, тоді площа S визначається формулою (Цю формулу можна використовувати лише у випадках, коли основи паралельні)

${\displaystyle S={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}.}$

Площа може бути виражена через довжини відрізків дотичних e, f, g, h як ^{:стор.129}

${\displaystyle S={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

Інрадіус (радіус вписаного кола)

Використовуючи ті самі позначення, що й для площі, радіус вписаного кола дорівнює

${\displaystyle r={\frac {S}{a+b}}={\frac {\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}{|b-a|}}.}$

Діаметр вписаного кола дорівнює висоті описаної трапеції.

Інрадіус також можна виразити через довжини відрізків дотичних як ^{:стор.129}

${\displaystyle r={\sqrt[{4}]{efgh}}.}$

Крім того, якщо довжини відрізків дотичних e, f, g, h виходять відповідно з вершин A, B, C, D і AB паралельна DC, то

${\displaystyle r={\sqrt {eh}}={\sqrt {fg}}.}$

Властивості інцентра (центра вписаного кола)

Якщо вписане коло дотикається до основ у точках P, Q, то точки P, I, Q лежать на одній прямій, де I — центр вписаного.

Кути ∠ AID і ∠ BIC в описаній трапеції ABCD з основами AB і DC є прямими.

Центр вписаного кола лежить на медіані (її також називають середньою лінією, тобто відрізком, що з'єднує середини бічних сторін).

Інші властивості

Медіана (середня лінія) описаної трапеції дорівнює одній четвертій периметра трапеції. Вона також дорівнює половині суми основ, як і в усіх трапеціях.

Якщо накреслено два кола, діаметр кожного з яких збігається з бічними сторонами описаної трапеції, то ці два кола дотикаються одне до одного.

Прямокутна описана трапеція

Прямокутна описана трапеція.

Прямокутна описана трапеція — це описана трапеція, у якій два суміжні кути є прямими. Якщо основи мають довжини a, b, то інрадіус дорівнює

${\displaystyle r={\frac {ab}{a+b}}.}$

Таким чином, діаметр вписаного кола є середнім гармонічним основ.

Прямокутна описана трапеція має площу

${\displaystyle \displaystyle S=ab}$

а її периметр P дорівнює

${\displaystyle \displaystyle P=2(a+b).}$

Рівнобічна описана трапеція

Кожна рівнобічна описана трапеція є біцентричною.

Рівнобічна описана трапеція — це описана трапеція, у якої бічні сторони рівні. Оскільки рівнобічна трапеція є вписаним чотирикутником, то рівнобічна описана трапеція є біцентричним чотирикутником. Тобто вона має як вписане, так і описане коло.

Якщо основи дорівнюють a, b, то інрадіус визначається як

${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}.}$

Щоб вивести цю формулу, була використана задача Сангаку з Японії. З теореми Піто випливає, що довжини бічних сторін дорівнюють половині суми основ. Оскільки діаметр вписаного кола є коренем квадратним із добутку основ, рівнобічна описана трапеція дає гарну геометричну інтерпретацію середнього арифметичного та середнього геометричного основ як довжини бічної сторони та діаметра вписаного кола відповідно.

Площа S рівнобічної описаної трапеції з основами a, b визначається як

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}(a+b).}$

Примітки

1. Josefsson, Martin (2014), The diagonal point triangle revisited (PDF), Forum Geometricorum, 14: 381—385.
2. H. Lieber and F. von Lühmann, Trigonometrische Aufgaben, Berlin, Dritte Auflage, 1889, p. 154.
3. Josefsson, Martin (2010), Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral (PDF), Forum Geometricorum, 10: 119—130.
4. Problem Set 2.2. jwilson.coe.uga.edu. Процитовано 10 лютого 2022.
5. . math.chernomorsky.com. Архів оригіналу за 20 грудня 2021. Процитовано 10 лютого 2022.
6. Math Message Boards FAQ & Community Help | AoPS. artofproblemsolving.com. Процитовано 10 лютого 2022.
7. Inscribed Circle and Trapezoid | Mathematical Association of America. www.maa.org. Процитовано 10 лютого 2022.
8. Abhijit Guha, CAT Mathematics, PHI Learning Private Limited, 2014, p. 7-73.