Обвідна

Обгортка сімейства кривих на площині — це крива, що в кожній своїй точці є дотичною хоча б до однієї кривої сімейства і кожним своїм відрізком дотична до нескінченної кількості кривих сімейства. Наприклад, будь-яка гладка крива, що не містить прямолінійних ділянок, буде обгорткою своїх дотичних.

Обгортка сімейства дотичних прямих.

Визначення

Нехай є сімейство гладких кривих ${\displaystyle S=\{\gamma _{\alpha }\}}$, залежне від параметру ${\displaystyle \alpha }$. Гладка крива ${\displaystyle \gamma \in C^{1}}$ буде обвідною сімейства S, якщо:

1. для кожної точки кривої ${\displaystyle \gamma }$ відповідає крива ${\displaystyle \gamma _{\alpha }\in S}$, дотична до ${\displaystyle \gamma }$ в цій точці,
2. для кожної кривої ${\displaystyle \gamma _{\alpha }\in S}$ відповідає точка на ${\displaystyle \gamma }$, в якій ${\displaystyle \gamma _{\alpha }}$ дотична до ${\displaystyle \gamma }$,
3. жодна крива сімейства S не має спільного відрізка з кривою ${\displaystyle \gamma }$.

Якщо сімейство кривих задано рівнянням ${\displaystyle F(x,y,\alpha )=0}$. Тоді обгортка сімейства кривих визначається системою

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}F(x,y,\alpha )&=0\\F_{\alpha }(x,y,\alpha )&=0\end{array}}\right.}$

Приклади

• Для сімейства кіл однакового радіуса з центрами на прямій обвідна — це дві паралельні прямі.
• Астроїда є обвідною сімейства відрізків однакової довжини, кінці яких закріплені на двох взаємно-перпендикулярних прямих.
• Парабола є обвідною сімейства серединних перпендикулярів для відрізків, що з'єднують фіксовану точку (фокус параболи) та фіксовану пряму (директрису параболи).

Див. також

• Геометричне місце точок

Примітки

1. Погорєлов та 42.
2. Борисенко та 61.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Envelope(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• «Enveloppe d'une Famille de Courbes Planes» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Література

• Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — 304 с. — .
• Погорєлов О. В. Диференціальна геометрія. — М. : Наука, 1974. — 184 с. — .