Модель ціноутворення опціонів Блека — Шоулза (англ. Black–Scholes Option Pricing Model, OPM) — це модель, що визначає теоретичну ціну на (європейські опціони), яка передбачає, що якщо базовим активом торгують на ринку, то його ціна неявним чином встановлюється самим ринком. Дана модель широко використовується на практиці, крім усього іншого, може використовуватися для оцінки усіх похідних паперів, включаючи варанти, конвертуємі цінні папери, та навіть для оцінки власного капіталу фінансово залежних фірм.
Згідно моделі Блека-Шоулза ключовим елементом визначення вартості опціону є очікувана волатильність базового активу. Залежно від коливання активу, ціна на нього зростає або знижується, що прямопропорційно впливає на вартість опціону. Таким чином, якщо відома вартість опціону, то можна визначити рівень очікуваної ринком волатильності.
Історія
Формула моделі оцінки опціонів уперше була виведена [ru] і Майроном Шоулзом у 1973 році в статті «Оцінка опціонів та комерційних облігацій» (The Pricing of Options and Corporate Liabilities). Їх дослідження базувалися на попередніх роботах Джека Трейнора, Пола Самуельсона, Джеймса Бонеса, та [en] і розроблялися в період швидкого зростання опціонної торгівлі.
Шість припущень теорії
Для того щоб вивести свою модель ціноутворення опціонів, Блек і Шоулз зробили наступні припущення:
- За базисним активом опціону дивіденди не виплачуються протягом усього терміну дії опціону.
- Немає транзакційних витрат, пов'язаних з купівлею або продажем акції або опціону.
- Короткострокова безризикова відсоткова ставка відома і є постійною протягом усього терміну дії опціону.
- Будь-який покупець цінного паперу може отримувати позики за короткостроковою безризиковою ставкою для оплати будь-якої частині її ціни.
- Короткий продаж дозволяється без обмежень, і при цьому продавець негайно отримує всю готівкову суму за проданий без покриття цінний папір за сьогоднішньою ціною.
- Торгівля цінними паперами (базовим активом) ведеться безперервно, і поведінка їх ціни підпорядковується моделі геометричного броунівського руху з відомими параметрами.
Висновок моделі ґрунтується на концепції безризикового хеджування. Купуючи акції й одночасно продаючи опціони call на ці акції, інвестор може конструювати безризикову позицію, де прибутки по акціях будуть точно компенсувати збитки по опціонах, і навпаки.
Безризикова хеджована позиція повинна приносити прибуток за ставкою, що дорівнює безризиковій відсотковій ставці, в іншому випадку існувала б можливість вилучення арбітражного прибутку та інвестори, намагаючись отримати переваги від цієї можливості, приводили б ціну опціону до рівноважного рівня, який визначається моделлю.
Формули
Ціна (європейського) опціону call:
- де
Ціна (європейського) опціону put:
Позначення:
- — поточна вартість опціону call в момент t до закінчення терміну опціону;
- — поточна вартість базисної акції;
- — ймовірність того, що відхилення буде менше в умовах стандартного нормального розподілу (таким чином, і обмежують область значень для функції стандартного нормального розподілу) (Для визначення можна використовувати таблиці для стандартної нормальної кривої або Excel- функцію НОРМСТРАСП (x). Вона повертає стандартний нормальний інтегральний розподіл, який має середнє, рівне нулю, і стандартне відхилення, рівне одиниці);
- — ціна виконання опціону;
- — безризикова відсоткова ставка;
- — час до закінчення терміну опціону (період опціону);
- — волатильність прибутковості (квадратний корінь з дисперсії) базисної акції.
«Греки»
Для характеристики чутливості ціни (премії) опціону до зміни тих чи інших величин застосовують різні коефіцієнти, які називають «греками». Назва іде від грецького алфавіту, буквами якого позначаються ці коефіцієнти (за винятком «веги»). «Греки» в рамках моделі Блека-Шоулза обчислюються явним чином:
«Грек» | Що | Опціони call | Опціони put |
---|---|---|---|
дельта | |||
гамма | |||
вега | |||
тета | |||
ро |
Цікаво, що формули гамма і вега однакові для опціонів put і call, що є логічним висновком теорії паритету опціонів put і call.
Наприклад, знання коефіцієнтів «дельта» і «гамма» дозволяють оцінити зміну ціни (премії) опціону при зміненні ціни фінансового інструменту , що лежить в основі опціону:
Ця формула виходить за допомогою розкладання в ряд Тейлора ціни опціону . Аналогічно, чим більше «тета», тим швидше відбувається тимчасової розпад опціону, і т. д.
Примітки
- Roger Lowenstein, «When genious failed» chapter 7 «Bank of volatility», p.124
- Не є грецькою літерою.
- так званий bastard greek. Українського перекладу даного терміну не існує, сенс полягає в тому, що диференціювання здійснюється по параметру, який вважався константою при виведенні формули. Тому використання bastard greeks може призвести до серйозних помилок при торгівлі та управлінні ризиками
Джерела
- Модель ціноутворення опціонів Блека-Шоулза [ 10 січня 2015 у Wayback Machine.]
Це незавершена стаття з фінансів. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Ця стаття не містить . (березень 2015) |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Model cinoutvorennya opcioniv Bleka Shoulza angl Black Scholes Option Pricing Model OPM ce model sho viznachaye teoretichnu cinu na yevropejski opcioni yaka peredbachaye sho yaksho bazovim aktivom torguyut na rinku to jogo cina neyavnim chinom vstanovlyuyetsya samim rinkom Dana model shiroko vikoristovuyetsya na praktici krim usogo inshogo mozhe vikoristovuvatisya dlya ocinki usih pohidnih paperiv vklyuchayuchi varanti konvertuyemi cinni paperi ta navit dlya ocinki vlasnogo kapitalu finansovo zalezhnih firm Zgidno modeli Bleka Shoulza klyuchovim elementom viznachennya vartosti opcionu ye ochikuvana volatilnist bazovogo aktivu Zalezhno vid kolivannya aktivu cina na nogo zrostaye abo znizhuyetsya sho pryamoproporcijno vplivaye na vartist opcionu Takim chinom yaksho vidoma vartist opcionu to mozhna viznachiti riven ochikuvanoyi rinkom volatilnosti IstoriyaFormula modeli ocinki opcioniv upershe bula vivedena ru i Majronom Shoulzom u 1973 roci v statti Ocinka opcioniv ta komercijnih obligacij The Pricing of Options and Corporate Liabilities Yih doslidzhennya bazuvalisya na poperednih robotah Dzheka Trejnora Pola Samuelsona Dzhejmsa Bonesa ta en i rozroblyalisya v period shvidkogo zrostannya opcionnoyi torgivli Shist pripushen teoriyiDlya togo shob vivesti svoyu model cinoutvorennya opcioniv Blek i Shoulz zrobili nastupni pripushennya Za bazisnim aktivom opcionu dividendi ne viplachuyutsya protyagom usogo terminu diyi opcionu Nemaye tranzakcijnih vitrat pov yazanih z kupivleyu abo prodazhem akciyi abo opcionu Korotkostrokova bezrizikova vidsotkova stavka vidoma i ye postijnoyu protyagom usogo terminu diyi opcionu Bud yakij pokupec cinnogo paperu mozhe otrimuvati poziki za korotkostrokovoyu bezrizikovoyu stavkoyu dlya oplati bud yakoyi chastini yiyi cini Korotkij prodazh dozvolyayetsya bez obmezhen i pri comu prodavec negajno otrimuye vsyu gotivkovu sumu za prodanij bez pokrittya cinnij papir za sogodnishnoyu cinoyu Torgivlya cinnimi paperami bazovim aktivom vedetsya bezperervno i povedinka yih cini pidporyadkovuyetsya modeli geometrichnogo brounivskogo ruhu z vidomimi parametrami Visnovok modeli gruntuyetsya na koncepciyi bezrizikovogo hedzhuvannya Kupuyuchi akciyi j odnochasno prodayuchi opcioni call na ci akciyi investor mozhe konstruyuvati bezrizikovu poziciyu de pributki po akciyah budut tochno kompensuvati zbitki po opcionah i navpaki Bezrizikova hedzhovana poziciya povinna prinositi pributok za stavkoyu sho dorivnyuye bezrizikovij vidsotkovij stavci v inshomu vipadku isnuvala b mozhlivist viluchennya arbitrazhnogo pributku ta investori namagayuchis otrimati perevagi vid ciyeyi mozhlivosti privodili b cinu opcionu do rivnovazhnogo rivnya yakij viznachayetsya modellyu FormuliCina yevropejskogo opcionu call C S t S N d 1 K e r T t N d 2 displaystyle C S t SN d 1 Ke r T t N d 2 de d 1 ln S K r s 2 2 T t s T t displaystyle d 1 frac ln S K r sigma 2 2 T t sigma sqrt T t d 2 d 1 s T t displaystyle d 2 d 1 sigma sqrt T t Cina yevropejskogo opcionu put P S t K e r T t N d 2 S N d 1 displaystyle P S t Ke r T t N d 2 SN d 1 Poznachennya C S t displaystyle C S t potochna vartist opcionu call v moment t do zakinchennya terminu opcionu S displaystyle S potochna vartist bazisnoyi akciyi N x displaystyle N x jmovirnist togo sho vidhilennya bude menshe v umovah standartnogo normalnogo rozpodilu takim chinom i obmezhuyut oblast znachen dlya funkciyi standartnogo normalnogo rozpodilu Dlya viznachennya N x displaystyle N x mozhna vikoristovuvati tablici dlya standartnoyi normalnoyi krivoyi abo Excel funkciyu NORMSTRASP x Vona povertaye standartnij normalnij integralnij rozpodil yakij maye serednye rivne nulyu i standartne vidhilennya rivne odinici K displaystyle K cina vikonannya opcionu r displaystyle r bezrizikova vidsotkova stavka T t displaystyle T t chas do zakinchennya terminu opcionu period opcionu s displaystyle sigma volatilnist pributkovosti kvadratnij korin z dispersiyi bazisnoyi akciyi Greki Dokladnishe Greki finansi Dlya harakteristiki chutlivosti cini premiyi opcionu do zmini tih chi inshih velichin zastosovuyut rizni koeficiyenti yaki nazivayut grekami Nazva ide vid greckogo alfavitu bukvami yakogo poznachayutsya ci koeficiyenti za vinyatkom vegi Greki v ramkah modeli Bleka Shoulza obchislyuyutsya yavnim chinom Grek Sho Opcioni call Opcioni put delta c S displaystyle frac partial c partial S N d 1 displaystyle N d 1 N d 1 N d 1 1 displaystyle N d 1 N d 1 1 gamma 2 c S 2 displaystyle frac partial 2 c partial S 2 N d 1 S s T t displaystyle frac N d 1 S sigma sqrt T t vega c s displaystyle frac partial c partial sigma S N d 1 T t displaystyle SN d 1 sqrt T t teta c t displaystyle frac partial c partial t S N d 1 s 2 T t r K e r T t N d 2 displaystyle frac SN d 1 sigma 2 sqrt T t rKe r T t N d 2 S N d 1 s 2 T t r K e r T t N d 2 displaystyle frac SN d 1 sigma 2 sqrt T t rKe r T t N d 2 ro c r displaystyle frac partial c partial r K T t e r T t N d 2 displaystyle K T t e r T t N d 2 K T t e r T t N d 2 displaystyle K T t e r T t N d 2 Cikavo sho formuli gamma i vega odnakovi dlya opcioniv put i call sho ye logichnim visnovkom teoriyi paritetu opcioniv put i call Napriklad znannya koeficiyentiv delta D displaystyle Delta i gamma G displaystyle Gamma dozvolyayut ociniti zminu cini premiyi opcionu d c displaystyle delta c pri zminenni cini finansovogo instrumentu d S displaystyle delta S sho lezhit v osnovi opcionu d c D d S G d S 2 2 displaystyle delta c approx Delta cdot delta S Gamma frac delta S 2 2 Cya formula vihodit za dopomogoyu rozkladannya v ryad Tejlora cini opcionu c S displaystyle c S Analogichno chim bilshe teta tim shvidshe vidbuvayetsya timchasovoyi rozpad opcionu i t d PrimitkiRoger Lowenstein When genious failed chapter 7 Bank of volatility p 124 Ne ye greckoyu literoyu tak zvanij bastard greek Ukrayinskogo perekladu danogo terminu ne isnuye sens polyagaye v tomu sho diferenciyuvannya zdijsnyuyetsya po parametru yakij vvazhavsya konstantoyu pri vivedenni formuli Tomu vikoristannya bastard greeks mozhe prizvesti do serjoznih pomilok pri torgivli ta upravlinni rizikamiDzherelaModel cinoutvorennya opcioniv Bleka Shoulza 10 sichnya 2015 u Wayback Machine Ce nezavershena stattya z finansiv Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno berezen 2015