Тотожність кол-пут

У фінансовій математиці кол-пут-тотожність — формула, що задає співвідношення ціни кол-опціону і ціни пут-опціону (для опціонів з однаковими параметрами, ціною виконання, волатильністю, базовим активом та ін.). Для того щоб вивести кол-пут-тотожність, потрібно накласти умову, що опціони погашаються тільки коли закінчується їх термін дії (тобто розглядати європейські опціони).

Виведення

Припущення

Як і будь-яка тотожність, кол-пут-тотожність також базується на деяких припущеннях. Ці припущення стосуються ринку і по суті вимагають досить ідеального ринкового середовища. Маємо три припущення:

(i) відсоткові стаки сталі і незмінні в часі як для позичальника так і для того хто позичає,
(ii) дивіденди на акції відомі і певні (за такої умови можна без обмеження загальності вважати, що дивіденди взагалі відсутні),
(iii) базовий актив (акція в даному випадку) є високоліквідним і немає ніяких торговильних бар'єрів.

Міркування

Ми розглянемо опціон на акцію без дивідендів. Нехай ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ базовий актив (акція). Нехай ${\displaystyle T\in \mathbb {R} ^{+}}$ термін до погашення кол- і пут-опціонів на акцію ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$, а ${\displaystyle K\in \mathbb {R} }$ їх ціна виконання (Страйк), ${\displaystyle S,C,P:[0,T]\to \mathbb {R} }$ ціни на базову акцію ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$, кол-опціон і пут-опціон відповідно. Тепер розглянемо два портфоліо:

${\displaystyle \Pi ^{(1)}}$: 1 пут-опціон + 1 акція ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$. Вартість цього портфоліо при погашенні дорівнює ${\displaystyle \Pi _{T}=\operatorname {max} \{K-S_{T},0\}+S_{T}=\operatorname {max} \{K,S_{T}\}}$.

${\displaystyle \Pi ^{(2)}}$: 1 кол-опціон + ${\displaystyle K}$ облігацій. Вартість цього портфоліо при погашенні дорівнює ${\displaystyle \Pi _{T}=\operatorname {max} \{S_{T}-K,0\}+K=\operatorname {max} \{S_{T},K\}}$.

Отже, вартість обидвох портфоліо при погашенні однакова. Тепер, оскільки ринок завжди запобігає арбітражу (без-ризиковому прибутку) вартість цих портфоліо повинна бути однаковою в довільний момент часу до виконання. Інакше, якщо вартості потфоліо відрізняються деякий агент на ринку може купити дешевше портфоліо і продати дорожче, оскільки при погашенні вартості обидвох рівні, то така стратегія без-ризикова і до того ж приносить прибуток (різниця цін між двома портфоліо). Тому для довільного моменту часу ${\displaystyle t\in [0,T)}$ маємо ${\displaystyle \Pi _{t}^{(2)}=\Pi _{t}^{(1)}}$. Тобто,

${\displaystyle \displaystyle C(t)+K\cdot B(t;T)=P(t)+S(t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)}$

Тут ${\displaystyle B(t;T)}$ — вартість облігації, що має бути погашений в час ${\displaystyle T}$. Ці міркування показують як можна отримати кол-пут-тотожність в інших ситуаціях.

Кол-пут-тотожність для американських опціонів

Для американських опціонів, коли опціон може бути виконаний у будь-який момент часу до дозрівання, ми маємо підкорегувати вартість облігації ${\displaystyle B(t,T)}$ в рівнянні (1). Кол-пут-тотожність справедлива тільки для європейських опціонів або для опціонів американського типу якщо їх не виконують завчасно.

${\displaystyle C+{\textbf {PV}}(K)=P+S_{0}}$

Див. також

• Опціон

Джерела

1. www.maxi-pedia.com Кол-пут-тотожність (англ.)

Примітки

1. Якщо акція виплачує дивіденди, то вони мають бути враховані в ${\displaystyle B(t;T)}$, бо зазвичай ціни опціонів не враховують дивідендів. Якщо відсоткова ставка (або в неперервному випадку сила відсотка) є стала ${\displaystyle r}$, тоді ${\displaystyle B(t,T)=\exp(-r(T-t))}$.