У топології топологічний простір називається локально зв'язаним у точці , якщо для будь-якого околу точки існує менший відкритий зв'язаний окіл , тобто . Простір називається локально зв'язаним, якщо він є локально зв'язаним у всіх своїх точках. Еквівалентно простір є локально зв'язаним, якщо для нього існує базис із відкритих зв'язаних підмножин.
Еквівалентні означення
Наступні твердження є еквівалентними:
- Топологічний простір є локально зв'язаним, згідно означення даного вище.
- Будь-яка компонента зв'язності довільного відкритого підпростору простору є відкритою підмножиною.
- Будь-яка відкрита підмножина, як топологічний простір, є диз'юнктивним об'єднанням своїх компонент зв'язності із диз'юнктивною топологією.
- Припустимо, що є локально зв'язаним, — відкрита підмножина і — її компонента зв'язності. Нехай . Тоді також і тому існує відкритий зв'язаний окіл точки . Цей окіл має бути підмножиною , оскільки є компонентою зв'язності .
- Тому є об'єднанням відкритих множин і теж є відкритою множиною. Тому з першого означення випливає друге.
- Припустимо тепер, що кожна компонента зв'язності довільної відкритої підмножини теж є відкритою множиною. Зокрема ми отримуємо відрите покриття простору компонентами зв'язності. Формуючи перетини із цим покриттям довільної відкритої підмножини в отримуємо, що довільна така підмножина є диз'юнктивним об'єднанням відкритих підмножин компонент зв'язності. Таким чином із другого означення випливає перше.
- Припустимо, що будь-яка відкрита підмножина є диз'юнктивним об'єднанням своїх компонент зв'язності. Нехай — точка і — її окіл. За означенням містить відкритий окіл точки і згідно припущення цей окіл є диз'юнктивним об'єднанням своїх компонент зв'язності, що є відкритими підмножинами. Одна з цих підмножин містить і задовольняє вимоги з означення локальної зв'язності.
Властивості
- Будь-яка відкрита підмножина локально зв'язаного простору є локально зв'язаним простором.
- Будь-яка компонента зв'язності локально зв'язаного простору є відкрито-замкнутою.
- Будь-який компактний локально зв'язаний простір має скінченну кількість компонент зв'язності.
- Якщо простір є локально зв'язаним, а відображення — неперервне, відкрите і сюр'єктивне. Тоді теж є локально зв'язаним.
- Нехай — довільна точка і — будь-який окіл точки . Із неперервності відображення випливає, що є околом точки . Згідно локальної зв'язаності простору існує відкритий зв'язаний окіл точки , що є підмножиною . Зважаючи на неперервність і відкритість відображення , множина теж є відкритою і зв'язаною і також очевидно . Тобто вимоги локальної зв'язаності виконуються.
- Нехай — деяка сім'я топологічних просторів і їх добуток є локально зв'язаним. Тоді усі простори теж є локально зв'язаними, оскільки кожна проєкція на множник є неперервним відкритим сюр'єктивним відображенням.
- Довільний скінченний добуток локально зв'язаних просторів є локально зв'язаним простором. Для нескінченного добутку це твердження не є правильним. Прикладом може бути простір .
- Натомість якщо є сім'єю локально зв'язаних і також зв'язаних топологічних просторів, то їх добуток є локально зв'язаним.
- Фактор-простір локально зв'язаного топологічного простору теж є локально зв'язаним.
- Нехай — відображення на фактор-простір і — відкритий окіл точки . Позначимо компоненту зв'язності , що містить точку ; достатньо довести, що є відкритою підмножиною . Для цього достатньо довести, що є відкритою підмножиною . Нехай . Оскільки є локально зв'язаним, компонента зв'язності точки у є відкритою і підмножина є зв'язаною; тому (оскільки є компонентою зв'язності що містить ). Тому , і точка є внутрішньою у . Зважаючи на довільність вибору точки множина є відкритою, що завершує доведення.
- Простір є локально зв'язаним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого сімейства підмножин має місце включення , де — межа множини, a позначає замикання множини .
Приклади
- Для додатного цілого числа , евклідів простір є локально зв'язаним і зв'язаним.
- Підпростір дійсної прямої є локально зв'язаним але не зв'язаним.
- Стандартним прикладом простору, що є зв'язаним але не локально зв'язаним є синус тополога. Цей простір є підмножиною точок на площині із індукованою топологією.
- Простір не є локально зв'язаним і не є зв'язаним.
- Будь-який локально лінійно зв'язаний простір є локально зв'язаним.
- Зліченна множина із кофінітною топологією (в якій замкнутими множинами є скінченні множини і весь простір) є локально зв'язаною але не локально лінійно зв'язаною.
- Будь-який повний метричний локально зв'язаний простір є локально лінійно зв'язаним (теорема Мазуркевича — Мура — Менгера)
Слабка локальна зв'язаність
Простір X називається слабко локально зв'язаним у точці x якщо для кожного околу V точки x існує зв'язаний але не обов'язково відкритий окіл N точки x, що є підмножиною V .
Простір X називають слабко локально зв'язаним якщо він є слабко локально зв'язаним у всіх точках x. Насправді проте поняття слабкої локальної зв'язаності для всього простору є еквівалентним поняттю локальної зв'язаності.
Теорема
Якщо X є слабко локально зв'язаним простором, то він є локально зв'язаним.
Доведення
Нехай U є відкритою підмножиною X, C — компонента зв'язності U і x — елемент C. Тоді існує зв'язаний окіл A точки x у X, що є підмножиною U. Оскільки A є зв'язаною підмножиною і містить x, A є підмножиною C. Згідно з означенням околу існує відкрита множина V , що містить x і є підмножиною A і тому підмножиною C. Тому точка x є внутрішньою у C. Оскільки точка x була довільною то C є відкритою множиною. Тобто довільна компонента зв'язності довільної відкритої підмножини є відкритою і тому X є локально зв'язаним.
Натомість простір може бути слабко локально зв'язаним у точці але не локально зв'язаним у ній. Прикладом може бути простір утворений із нескінченної послідовності просторів, що називаються замкнутою нескінченною мітлою. Замкнутою нескінченною мітлою називається об'єднання відрізків на площині, що сполучають точку (0,0) із точками з координатами (1, 1/n) для всіх натуральних чисел n, а також з точкою (1,0).
Нескінченна послідовність отримується якщо замість точки (0,0) брати послідовно точки виду ((n-1)/n,0) для всіх натуральних чисел і пропорційно зменшити замкнуту нескінченну мітлу так, щоб горизонтальний відрізок мав довжину .
Вставивши послідовно ці простори у відповідні точки отримаємо зв'язаний топологічний простір , що є об'єднанням нескінченної кількості пропорційно зменшених копій замкнутої нескінченної мітли. У точці (1,0) цей прості є слабко локально зв'язаним але не є локально зв'язаним.
Примітки
- Steen & Seebach, pp. 137–138
- Steen & Seebach, pp. 49–50
- Steen & Seebach, example 119.4, p. 139
Див. також
Посилання
- Локально зв'язаний простір [ 5 січня 2018 у Wayback Machine.] у проекті nLab.
Джерела
- Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
- Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, (англ.)
- Isadore Singer, John A. Thorpe (1967), Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (англ.)
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., ISBN , MR 1382863(англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U topologiyi topologichnij prostir X displaystyle X nazivayetsya lokalno zv yazanim u tochci x displaystyle x yaksho dlya bud yakogo okolu V displaystyle V tochki x displaystyle x isnuye menshij vidkritij zv yazanij okil U displaystyle U tobto x U V displaystyle x in U subset V Prostir nazivayetsya lokalno zv yazanim yaksho vin ye lokalno zv yazanim u vsih svoyih tochkah Ekvivalentno prostir ye lokalno zv yazanim yaksho dlya nogo isnuye bazis iz vidkritih zv yazanih pidmnozhin Ekvivalentni oznachennyaNastupni tverdzhennya ye ekvivalentnimi Topologichnij prostir X displaystyle X ye lokalno zv yazanim zgidno oznachennya danogo vishe Bud yaka komponenta zv yaznosti dovilnogo vidkritogo pidprostoru prostoru X displaystyle X ye vidkritoyu pidmnozhinoyu Bud yaka vidkrita pidmnozhina yak topologichnij prostir ye diz yunktivnim ob yednannyam svoyih komponent zv yaznosti iz diz yunktivnoyu topologiyeyu Pripustimo sho X displaystyle X ye lokalno zv yazanim U X displaystyle U subset X vidkrita pidmnozhina i U0 U displaystyle U 0 subset U yiyi komponenta zv yaznosti Nehaj x U0 displaystyle x in U 0 Todi takozh x U displaystyle x in U i tomu isnuye vidkritij zv yazanij okil Ux 0 U displaystyle U x 0 subset U tochki X displaystyle X Cej okil maye buti pidmnozhinoyu U0 displaystyle U 0 oskilki U0 displaystyle U 0 ye komponentoyu zv yaznosti U displaystyle U dd Tomu U0 x U0Ux 0 displaystyle U 0 underset x in U 0 cup U x 0 ye ob yednannyam vidkritih mnozhin i tezh ye vidkritoyu mnozhinoyu Tomu z pershogo oznachennya viplivaye druge dd Pripustimo teper sho kozhna komponenta zv yaznosti dovilnoyi vidkritoyi pidmnozhini U displaystyle U tezh ye vidkritoyu mnozhinoyu Zokrema mi otrimuyemo vidrite pokrittya prostoru U displaystyle U komponentami zv yaznosti Formuyuchi peretini iz cim pokrittyam dovilnoyi vidkritoyi pidmnozhini v U displaystyle U otrimuyemo sho dovilna taka pidmnozhina ye diz yunktivnim ob yednannyam vidkritih pidmnozhin komponent zv yaznosti Takim chinom iz drugogo oznachennya viplivaye pershe dd Pripustimo sho bud yaka vidkrita pidmnozhina ye diz yunktivnim ob yednannyam svoyih komponent zv yaznosti Nehaj x displaystyle x tochka i Ux x displaystyle U x supset x yiyi okil Za oznachennyam Ux displaystyle U x mistit vidkritij okil tochki x displaystyle x i zgidno pripushennya cej okil ye diz yunktivnim ob yednannyam svoyih komponent zv yaznosti sho ye vidkritimi pidmnozhinami Odna z cih pidmnozhin mistit x displaystyle x i zadovolnyaye vimogi z oznachennya lokalnoyi zv yaznosti dd VlastivostiBud yaka vidkrita pidmnozhina lokalno zv yazanogo prostoru ye lokalno zv yazanim prostorom Bud yaka komponenta zv yaznosti lokalno zv yazanogo prostoru ye vidkrito zamknutoyu Bud yakij kompaktnij lokalno zv yazanij prostir maye skinchennu kilkist komponent zv yaznosti Yaksho prostir X displaystyle X ye lokalno zv yazanim a vidobrazhennya f X Y displaystyle f X to Y neperervne vidkrite i syur yektivne Todi Y displaystyle Y tezh ye lokalno zv yazanim Nehaj f x Y displaystyle f x in Y dovilna tochka i U displaystyle U bud yakij okil tochki f x displaystyle f x Iz neperervnosti vidobrazhennya viplivaye sho f 1 U displaystyle f 1 U ye okolom tochki x displaystyle x Zgidno lokalnoyi zv yazanosti prostoru X displaystyle X isnuye vidkritij zv yazanij okil V displaystyle V tochki x displaystyle x sho ye pidmnozhinoyu f 1 U displaystyle f 1 U Zvazhayuchi na neperervnist i vidkritist vidobrazhennya f displaystyle f mnozhina f V displaystyle f V tezh ye vidkritoyu i zv yazanoyu i takozh ochevidno f x f V U displaystyle f x in f V subset U Tobto vimogi lokalnoyi zv yazanosti Y displaystyle Y vikonuyutsya dd Nehaj Xi i I displaystyle X i i in I deyaka sim ya topologichnih prostoriv i yih dobutok X i IXi displaystyle X prod i in I X i ye lokalno zv yazanim Todi usi prostori Xi displaystyle X i tezh ye lokalno zv yazanimi oskilki kozhna proyekciya na mnozhnik ye neperervnim vidkritim syur yektivnim vidobrazhennyam Dovilnij skinchennij dobutok lokalno zv yazanih prostoriv ye lokalno zv yazanim prostorom Dlya neskinchennogo dobutku ce tverdzhennya ne ye pravilnim Prikladom mozhe buti prostir 0 1 N displaystyle 0 1 mathbb N Natomist yaksho Xi i I displaystyle X i i in I ye sim yeyu lokalno zv yazanih i takozh zv yazanih topologichnih prostoriv to yih dobutok X i IXi displaystyle X prod i in I X i ye lokalno zv yazanim Faktor prostir lokalno zv yazanogo topologichnogo prostoru tezh ye lokalno zv yazanim Nehaj q X Y displaystyle q X to Y vidobrazhennya na faktor prostir i V Y displaystyle V subseteq Y vidkritij okil tochki y Y displaystyle y in Y Poznachimo C y displaystyle C y komponentu zv yaznosti V displaystyle V sho mistit tochku y displaystyle y dostatno dovesti sho C y displaystyle C y ye vidkritoyu pidmnozhinoyu Y displaystyle Y Dlya cogo dostatno dovesti sho C q 1 C y displaystyle C q 1 C y ye vidkritoyu pidmnozhinoyu X displaystyle X Nehaj x C displaystyle x in C Oskilki X displaystyle X ye lokalno zv yazanim komponenta zv yaznosti Ux displaystyle U x tochki x displaystyle x u q 1 V displaystyle q 1 V ye vidkritoyu i pidmnozhina q Ux V displaystyle q U x subseteq V ye zv yazanoyu tomu q Ux C y displaystyle q U x subseteq C y oskilki C y displaystyle C y ye komponentoyu zv yaznosti sho mistit q x displaystyle q x Tomu Ux q 1 C y C displaystyle U x subseteq q 1 C y C i tochka x displaystyle x ye vnutrishnoyu u C displaystyle C Zvazhayuchi na dovilnist viboru tochki x displaystyle x mnozhina C displaystyle C ye vidkritoyu sho zavershuye dovedennya dd Prostir X displaystyle X ye lokalno zv yazanim todi i tilki todi koli dlya bud yakogo simejstva Xi i I displaystyle X i i in I pidmnozhin X displaystyle X maye misce vklyuchennya i IXi i I Xi displaystyle partial left bigcup i in I X i right subset overline bigcup i in I partial X i de displaystyle partial mezha mnozhini a A displaystyle overline A poznachaye zamikannya mnozhini A displaystyle A PrikladiSinus topologa Dlya dodatnogo cilogo chisla n displaystyle n evklidiv prostir Rn displaystyle mathbb R n ye lokalno zv yazanim i zv yazanim Pidprostir 0 1 2 3 displaystyle 0 1 cup 2 3 dijsnoyi pryamoyi R1 displaystyle mathbb R 1 ye lokalno zv yazanim ale ne zv yazanim Standartnim prikladom prostoru sho ye zv yazanim ale ne lokalno zv yazanim ye sinus topologa Cej prostir ye pidmnozhinoyu tochok na ploshini T x sin 1x x 0 1 0 0 displaystyle T left left left x sin frac 1 x right right x in 0 1 right cup 0 0 iz indukovanoyu topologiyeyu Prostir Q displaystyle mathbb Q ne ye lokalno zv yazanim i ne ye zv yazanim Bud yakij lokalno linijno zv yazanij prostir ye lokalno zv yazanim Zlichenna mnozhina iz kofinitnoyu topologiyeyu v yakij zamknutimi mnozhinami ye skinchenni mnozhini i ves prostir ye lokalno zv yazanoyu ale ne lokalno linijno zv yazanoyu Bud yakij povnij metrichnij lokalno zv yazanij prostir ye lokalno linijno zv yazanim teorema Mazurkevicha Mura Mengera Slabka lokalna zv yazanistNeskinchenna mitla U zamknutij neskinchennij mitli dodayetsya tezh ves vidrizok vid pochatku koordinat do tochki 1 0 Prostir X nazivayetsya slabko lokalno zv yazanim u tochci x yaksho dlya kozhnogo okolu V tochki x isnuye zv yazanij ale ne obov yazkovo vidkritij okil N tochki x sho ye pidmnozhinoyu V Prostir X nazivayut slabko lokalno zv yazanim yaksho vin ye slabko lokalno zv yazanim u vsih tochkah x Naspravdi prote ponyattya slabkoyi lokalnoyi zv yazanosti dlya vsogo prostoru ye ekvivalentnim ponyattyu lokalnoyi zv yazanosti Teorema Yaksho X ye slabko lokalno zv yazanim prostorom to vin ye lokalno zv yazanim Dovedennya Nehaj U ye vidkritoyu pidmnozhinoyu X C komponenta zv yaznosti U i x element C Todi isnuye zv yazanij okil A tochki x u X sho ye pidmnozhinoyu U Oskilki A ye zv yazanoyu pidmnozhinoyu i mistit x A ye pidmnozhinoyu C Zgidno z oznachennyam okolu isnuye vidkrita mnozhina V sho mistit x i ye pidmnozhinoyu A i tomu pidmnozhinoyu C Tomu tochka x ye vnutrishnoyu u C Oskilki tochka x bula dovilnoyu to C ye vidkritoyu mnozhinoyu Tobto dovilna komponenta zv yaznosti dovilnoyi vidkritoyi pidmnozhini ye vidkritoyu i tomu X ye lokalno zv yazanim Natomist prostir mozhe buti slabko lokalno zv yazanim u tochci ale ne lokalno zv yazanim u nij Prikladom mozhe buti prostir utvorenij iz neskinchennoyi poslidovnosti prostoriv sho nazivayutsya zamknutoyu neskinchennoyu mitloyu Zamknutoyu neskinchennoyu mitloyu nazivayetsya ob yednannya vidrizkiv na ploshini sho spoluchayut tochku 0 0 iz tochkami z koordinatami 1 1 n dlya vsih naturalnih chisel n a takozh z tochkoyu 1 0 Neskinchenna poslidovnist otrimuyetsya yaksho zamist tochki 0 0 brati poslidovno tochki vidu n 1 n 0 dlya vsih naturalnih chisel i proporcijno zmenshiti zamknutu neskinchennu mitlu tak shob gorizontalnij vidrizok mav dovzhinu nn 1 n 1n displaystyle frac n n 1 frac n 1 n Vstavivshi poslidovno ci prostori u vidpovidni tochki otrimayemo zv yazanij topologichnij prostir sho ye ob yednannyam neskinchennoyi kilkosti proporcijno zmenshenih kopij zamknutoyi neskinchennoyi mitli U tochci 1 0 cej prosti ye slabko lokalno zv yazanim ale ne ye lokalno zv yazanim PrimitkiSteen amp Seebach pp 137 138 Steen amp Seebach pp 49 50 Steen amp Seebach example 119 4 p 139Div takozhZv yazanij prostir Lokalno linijno zv yazanij prostirPosilannyaLokalno zv yazanij prostir 5 sichnya 2018 u Wayback Machine u proekti nLab DzherelaBurbaki N Zagalna topologiya Osnovni strukturi 3 e M Nauka 1968 S 276 Elementi matematiki ros Gaal Steven A 1966 Point set topology New York Dover Publications ISBN 978 0 486 47222 5 angl Isadore Singer John A Thorpe 1967 Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology Springer Verlag ISBN 0 387 90202 3 angl Steen Lynn Arthur Seebach J Arthur Jr 1995 1978 Counterexamples in Topology vid Dover reprint of 1978 Mineola NY Dover Publications Inc ISBN 978 0 486 68735 3 MR 1382863 angl