Калібрувальні перетворення

Калібрува́льна інваріа́нтність — вимога незалежності фізичних теорій від певних перетворень, які відображають приховану симетрію фізичних полів. Поняття калібрувальної інваріантності важливе для сучасної фізики, оскільки допомагає навести порядок у ганебно^[] великій різноманітності елементарних частинок.

Перетворення, щодо яких вимагається інваріантність фізичних теорій, називають калібрувальними перетвореннями, а самі такі теорії калібрувальними.

Прикладом калібрувальних перетворень є множення хвильової функції на довільне комплексне число з модулем, рівним одиниці, тобто число виду ${\displaystyle e^{i\alpha }}$. Оскільки значення спостережуваних фізичних величин у квантовій механіці отримують як матричні елементи, в які входить добуток хвильової функції на комплексно спряжену, таке перетворення нічого не змінює в фізичних результатах теорії. Тобто, мовою математики та теоретичної фізики, квантова механіка є калібрувальною теорією щодо перетворень групи симетрії U(1).

Калібрувальна інваріантність електромагнітних полів

Симетрія у фізиці
Перетворення	Відповідна інваріантність	Відповідний закон збереження
⭥Трансляції часу	Однорідність часу	…енергії
⊠ C, P, CP і T-симетрії	Ізотропність часу	…парності
⭤ Трансляції простору	Однорідність простору	…імпульсу
↺ Обертання простору	Ізотропність простору	…моменту імпульсу
⇆ Група Лоренца (бусти)	Відносність Лоренц-коваріантність	(…руху центра мас)
~ Калібрувальне перетворення	Калібрувальна інваріантність	…заряду

В електродинаміці калібрувальна або градієнтна інваріантність вимагається щодо перетворень, які здійснюються над потенціалами електромагнітного поля — заміни

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\prime }=\mathbf {A} +\nabla f}$,

${\displaystyle \varphi ^{\prime }=\varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial f}{\partial t}}}$,

де ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — векторний потенціал, ${\displaystyle \varphi }$ — потенціал електричного поля, c — швидкість світла у вакуумі, f — довільна функція від просторових змінних і часу.

За вказаної вище заміни не змінюються значення напруженості електричного поля і магнітної індукції, які визначаються формулами:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$.

${\displaystyle \mathbf {B} ={\text{rot}}\;\mathbf {A} }$.

Таким чином, калібрувальна інваріантність вимагає, щоб дійсними фізичиними величинами в теорії були електричне і магнітне поле, а не значення їхніх потенціалів.

На практиці калібрувальна інваріантність допомагає вибрати потенціали в такій формі, щоб занулити певні члени в рівняннях. Використовується кулонівське калібрування або лоренцівське калібрування (дивіться (Калібрування_векторного_потенціалу#Приклади_калібрувань)). Потенціал електричного поля здебільшого вибирають так, щоб він дорівнював нулю на нескінченості.

За теоремою Нетер наслідком калібрувальної інваріантності є закон збереження електричного заряду. Теореми Нетер встановлюють закони збереження й умови зв'язку, які слідують з інваріантності продукуючого функціоналу (функціоналу дії)

${\displaystyle S=\int L(\psi ;\psi _{\mu })dx}$

системи полів ${\displaystyle \{\psi ^{a}(x)\}}$ відносно ${\displaystyle r}$-параметричної групи Лі внутрішніх симетрій ${\displaystyle G}$ та локальної групи ${\displaystyle G(X)}$, яка отримується з ${\displaystyle G}$ заміною параметрів ${\displaystyle \omega ^{m}}$ групи ${\displaystyle G}$ функціями координат ${\displaystyle \omega ^{m}(x),\,\,x\in X.}$

Див. також

• Інваріантність щодо масштабу
• Нерозв'язані проблеми сучасної фізики

Примітки

1. Формули на цій сторінці записані в системі СГС (СГСГ). Для перетворення в Міжнародну систему величин (ISQ) дивись Правила переводу формул із системи СГС в систему ISQ.