Диференціал (диференціальна геометрія)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Диференціал.

Диференціа́л (від лат. differentia — різниця, відмінність) у математиці — лінійна частина приросту диференційовної функції або відображення. Це поняття тісно пов'язане з поняттям похідної за напрямком.

Якщо відображення, φ, переводить кожну точку многовида M у многовид N, тоді диференціал φ переводить вектори дотичного простору у кожній точці в M у дотичний простір для відповідної точки в N.

Необхідні знання

Для повного розуміння цієї статті від читача потрібні початкові уявлення про гладкі многовиди і їх дотичні простори.

Позначення

Зазвичай диференціал ${\displaystyle f}$ позначається ${\displaystyle df}$. Деякі автори позначають ${\displaystyle \operatorname {d} f}$ шрифтом прямого накреслення, бажаючи підкреслити, що диференціал є оператором. Диференціал у точці ${\displaystyle x}$ позначається ${\displaystyle d_{x}f}$, а інколи ${\displaystyle df_{x}}$ або ${\displaystyle df[x]}$. (${\displaystyle d_{x}f}$ є лінійна функція на дотичному просторі у точці ${\displaystyle x}$.)

Якщо ${\displaystyle v}$ є дотичним вектором у точці ${\displaystyle x}$, то значення диференціала на ${\displaystyle v}$ зазвичай позначають ${\displaystyle df(v)}$, у цьому позначення ${\displaystyle x}$ зайве, але позначення ${\displaystyle d_{x}f(v)}$, ${\displaystyle df_{x}(v)}$ і ${\displaystyle df[x](v)}$ також правомірні.

Використовується так само позначення ${\displaystyle f_{*}}$; останнє зв'язане з тим, що диференціал ${\displaystyle f\colon M\to N}$ є єдиним підняттям ${\displaystyle f}$ на кодотичні розшарування до многовидів ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle N}$.

Означення

Для дійснозначних функцій

Нехай ${\displaystyle M}$ — гладкий многовид і ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ гладка функція. Диференціал ${\displaystyle f}$ являє собою 1-форму на ${\displaystyle M}$, що зазвичай позначається ${\displaystyle df}$ і визначається наступним співвідношенням

${\displaystyle df(X)=d_{p}f(X)=Xf,}$

де ${\displaystyle Xf}$ позначає похідну ${\displaystyle f}$ за напрямком дотичного вектора ${\displaystyle X}$ у точці ${\displaystyle p\in M}$.

Для відображень гладких многовидів

Диференціал гладкого відображення із гладкого многовиду у многовид ${\displaystyle F\colon M\to N}$ є відображенням між їх дотичними розшаруваннями, ${\displaystyle dF\colon TM\to TN}$, таким що для будь-якої гладкої функції ${\displaystyle g\colon N\to \mathbb {R} }$ маємо

${\displaystyle [dF(X)]g=X(g\circ F),}$

де ${\displaystyle Xf}$ позначає похідну ${\displaystyle f}$ за напрямком ${\displaystyle X}$. (У лівій частині рівності береться похідна у ${\displaystyle N}$ функції ${\displaystyle g}$ за ${\displaystyle dF(X)}$; у правій — в ${\displaystyle M}$ функції ${\displaystyle g\circ F}$ за ${\displaystyle X}$).

Це поняття природним чином узагальнює поняття диференціала функції.

Пов'язані означення

• Точка ${\displaystyle x}$ многовиду ${\displaystyle M}$ називається критичною точкою відображення ${\displaystyle f:M\to N}$, якщо диференціал ${\displaystyle d_{x}f:T_{x}M\to T_{f(x)}N}$ не є сюр'єктивним. (див. також теорема Сарда)
  • У цьому випадку ${\displaystyle f(x)}$ називається критичним значенням ${\displaystyle f}$.
  • Точка ${\displaystyle y\in N}$ називається регулярною, якщо вона не є критичною.
• Гладке відображення ${\displaystyle F\colon M\to N}$ називається субмерсією, якщо для будь-якої точки ${\displaystyle x\in M}$, диференціал ${\displaystyle d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N}$ є сюр'єктивним.
• Гладке відображення ${\displaystyle F\colon M\to N}$ називається гладким зануренням, якщо для будь-якої точки ${\displaystyle x\in M}$, диференціал ${\displaystyle d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N}$ є ін'єктивним.

Властивості

• Диференціал композиції рівний композиції диференціалів:

  ${\displaystyle d(F\circ G)=dF\circ dG}$ или ${\displaystyle d_{x}(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_{x}G}$

Приклади

• Нехай у відкритій множині ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} }$ задана гладка функція ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$. Тоді ${\displaystyle df=f'\,dx}$, де ${\displaystyle f'}$ позначає похідну ${\displaystyle f}$, а ${\displaystyle dx}$ є сталою формою, що визначається ${\displaystyle dx(V)=V}$.
• Нехай у відкритій множині ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ задана гладка функція ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$. Тоді ${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}}$. Форма ${\displaystyle dx_{i}}$ може бути визначена співвідношенням ${\displaystyle dx_{i}(V)=v_{i}}$, для вектора ${\displaystyle V=(v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n})}$.
• Нехай у відкритій множині ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ задано гладке відображення ${\displaystyle F\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$. Тоді

  ${\displaystyle d_{x}F(v)=J(x)v,}$

де ${\displaystyle J(x)}$ є матрицею Якобі відображення ${\displaystyle F}$ у точці ${\displaystyle x}$.

Див. також

• Кодиференціал (диференціальна геометрія)